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文档简介

第3章中值定理应用研究函数性质及曲线性态利用导数解决实际问题罗尔中值定理拉格朗日中值定理柯西中值定理泰勒公式推广微分中值定理一、罗尔(Rolle)定理第1节二、拉格朗日(Lagrange)

定理三、柯西(Cauchy)中值定理中值定理

第3章费马(fermat)定理一、罗尔定理且存在证:

设则费马证毕罗尔（Rolle）定理满足:(1)在区间[a,b]上连续(2)在区间(a,b)内可导(3)

f(a)=f(b)使证:故在[a,b]上取得最大值

M

和最小值m.若M=

m,则因此在(a,b)内至少存在一点若M>

m,则M和m

中至少有一个与端点值不等,不妨设则至少存在一点使注意:1)定理条件条件不全具备,结论不一定成立.则由费马定理得例如,使2)定理条件只是充分的.本定理可推广为在(a,b)内可导,且在(a,b)内至少存在一点证明提示:

设证

F(x)在[a,b]上满足罗尔定理.例1.

证明方程有且仅有一个小于1的正实根.证:1)存在性.则在[0,1]连续,且由零点定理知存在使即方程有小于1的正根2)唯一性.假设另有为端点的区间满足罗尔定理条件,至少存在一点但矛盾,故假设不真!设二、拉格朗日定理(1)在区间[a,b]上连续满足:(2)在区间(a,b)内可导至少存在一点使思路:利用逆向思维找出一个满足罗尔定理条件的函数作辅助函数显然,在[a,b]上连续,在(a,b)内可导,且证:问题转化为证由罗尔定理知至少存在一点即定理结论成立.拉氏证毕拉格朗日中值定理的有限增量形式:推论:若函数在区间I

上满足则在

I上必为常数.证:

在

I

上任取两点格朗日中值公式,得由的任意性知,在

I

上为常数.令则例2.

证明等式证:

设由推论可知(常数)令x=0,得又故所证等式在定义域上成立.自证:经验:欲证时只需证在

I

上例3.

证明不等式证:

设中值定理条件,即因为故因此应有三、柯西(Cauchy)中值定理分析:及(1)在闭区间[a,b]上连续(2)在开区间(a,b)内可导(3)在开区间(a,b)内至少存在一点使满足:问题转化为证柯西构造辅助函数证:

作辅助函数且使即由罗尔定理知,至少存在一点思考:

柯西定理的下述证法对吗?两个

不一定相同错!上面两式相比即得结论.例4.设至少存在一点使证:

问题转化为证设则在[0,1]上满足柯西中值定理条件,因此在(0,1)内至少存在一点

,使即证明例5.

设且在内可导,证明至少存在一点使提示:由结论可知,只需证即验证在上满足罗尔定理条件.设例6.

证明证:

设,则故时,单调增加,从而即内容小结1.微分中值定理的条件、结论及关系罗尔定理拉

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