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文档简介

恒成立问题常见类型及解法“恒成立”问题是数学中常见的问题，涉及到一次函数、二次函数、指数函数、对数函数的性质、图象,渗透着换主元、化归、数形结合、函数与方程等思想方法,在培养思维的灵活性、创造性等方面起到了积极的作用.因此也成为历年高考的一个热点。恒成立问题在解题过程中解法通常有:①变量分离法；②构造函数法；③更换主元法；④数形结合法.一、变量分离法：例1：当x∈[1,2]时，ax-2>0恒成立，求a的取值范围.变量分离法：将不等式中的两个变量分别置于不等号的两边，则可将恒成立问题转化成函数的最值问题求解.

例2:

当时，不等式恒成立，求的取值范围.

解：当时，由得.令则易知在上是减函数，，∴.所以二、构造函数法：nmoxynm

oxynoxym例1：当x∈[1,2]时，ax-2>0恒成立，求a的取值范围.例2:

当时，不等式恒成立，求的取值范围.

解：原不等式可转化为

对

例3：不等式

对

恒成立，求的范围。

ⅱ）当

时由图可得以下充要条件：得综合可得的取值范围为.ⅰ)当时，即时，对一切恒成立；恒成立1oyx原不等式等价于

则

另解：变式：不等式对恒成立，求的范围.令t=x-1>0,则p>-[t+4+4/t]∈(-∞,-8]例4：设

，如果

恒成立，求

的范围.设

解：原不等式等价于可求得三.变换主元法：

数形结合法4.数形结合法4.

数形结合思想在高考中占有非常重要的地位，其“数”与“形”结合，相互渗透，把代数式的精确刻划与几何图形的直观描述相结合，使代数问题、几何问题相互转化，使抽象思维和形象思维有机结合.应用数形结合思想，要熟练掌握一些概念和运算的几何意义及常见曲线的代数特征.

4.数形结合法要使对一切，恒成立，例6：当

时，不等式

恒成立，求的范围.

解：设则的图象为下图所示的抛物线，xyo121y1=(x-1)2显然,并且必须也只需当时，的函数值大于

的函数值即可。

y2=logaxxyo121y1=(x-1)2y2=logax归纳变量分离构造函数变换主元实质通过构造函数，化归到函数的性质（最值）或图像解决数

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