信号与系统（MATLAB版 微课视频版 第2版） 课件 2-1 连续时间系统的数学描述

2.1连续时间系统的数学描述连续时间系统处理连续时间信号，在时域中通常用微分方程和方框图来描述这类系统。在系统的微分方程中包含有激励和响应的时间函数以及它们对时间的各阶导数的线性组合，它描述了系统的响应与激励之间的数学运算关系，便于数学分析和计算，称为系统的输入输出描述法模型。微分方程的阶数就是系统的阶数。系统也可以用其传输算子来描述。有时可以借助方框图表示系统模型。各单元和子系统在系统中的作用和地位、系统输入输出之间的关系直观明了、便于系统的功能分解和合成以及软件设计模块化。这种系统的描述方法称为连续时间系统的时域模拟。系统的各种描述方法之间可以相互转换。2.1.1连续时间系统的数学模型——微分方程系统微分方程建立的依据：元件的约束特性VAR和互联的约束特性KCL与KVL。教材P51-P52例2-1式中Cn，Cn-1，…，C1，C0和Em，Em-1，…，E1，E0均为常数。对于线性时不变系统，其微分方程是常系数线性微分方程。一般情况，设激励信号为，系统响应为，描述n阶复杂系统的微分方程的一般表达式：2.1.2连续时间系统的时域模拟——方框图

在n阶常系数线性微分方程中的基本运算单元有微分运算、数乘运算、加法运算，积分运算是微分运算的逆运算。但在实际应用中因为积分器比微分器的抗干扰的性能好，所以往往选用积分单元。连续时间系统的方框图，是用方框（或圆圈）等图形符号表示一个具有某种数学运算功能的基本运算单元（也可以表示一个子系统），将各个基本运算单元（或子系统）按它们之间的运算关系和输入输出关系连接起来得到的模型。这种描述系统的方法称为连续时间系统的时域模拟。分别示出这三种基本运算单元的方框图及其运算功能，其中箭头所指方向为信号的流向。(a)积分(b)相加(c)数乘1、已知系统的方框图，写出系统的微分方程（3）消去中间变量，整理成标准的输入输出方程。一般步骤（1）设方框图最右端积分器的输出为中间变量，则此积分器的输入为的一阶导数，简写为，其左边的积分器的输入为的二阶导数，依此类推所有的积分器。若方框图中无数乘前馈支路及输出加法器，则无需另设中间变量。（2）写出每个加法器的输出信号方程。方框图中积分器的个数n即为描述该系统的微分方程的阶数。若方框图中只有n条负反馈支路，无数乘前馈支路及输出加法器，则描述该系统的微分方程只与输出变量、输出变量的各阶导数以及输入信号有关，与输入信号的各阶导数无关；若方框图中不仅有n条负反馈支路，还有m条数乘前馈支路及输出加法器，则描述该系统的微分方程不仅与输出变量、输出变量的各阶导数以及输入信号有关，还与输入信号的各阶导数有关。例

已知系统的方框图如图所示，写出系统的微分方程。

移项整理得描述此系统的微分方程解：系统方框图中有两个积分器，所以描述此系统的方程是二阶微分方程。方框图最右端积分器的输出为输出变量，则此积分器的输入为的一阶导数，其左边的积分器的输入为的二阶导数，写出加法器的输出信号方程例

已知系统的方框图如图所示，写出系统的微分方程。解：设方框图最右端积分器的输出为中间变量，则此积分器的输入为的一阶导数，其左边的积分器的输入为的二阶导数，写出两个加法器的输出信号方程因为系统是二阶的，所以输入输出方程应包括、项，由上式得整理，消去中间变量及其各阶导数项，得系统的输入输出方程

移项整理得描述此系统的微分方程将上述结论推广应用于n阶连续系统。

设n阶系统的方框图如图所示则系统的输入输出方程为式中m<n2、已知某连续时间系统的输入输出方程，画出系统的方框图例

已知某连续时间系统的输入输出方程解：将输入输出方程改写为因为系统是二阶系统，所以在系统的方框图中应使用两个积分器。以输出信号的最高阶导数作为起始信号，经过两个积分器后分别得到和。画出系统的方框图。将信号和分别数乘和后与激励一起作为加法器的输入信号，其输出就是起始信号。用基本运算单元连接即可画出该系统的方框图。

例

已知某连续时间系统的输入输出方程,画出系统的方框图。解：此系统的系统方程是一个一般的二阶微分方程。方程中包含有激励及其各阶导数。对于这类系统，可以通过引用中间变量的方法画出系统方框图。设中间变量满足方程将上式及其微分式代入已知方程得输出信号满足的方程注意：在中间变量方程中，中间变量及其各阶导数的系数与输入输出方程中输出信号及其各阶导数的系数相同；在输出信号方程中，中间变量及其各阶导数的系数与输入输出方程中激励信号及其各阶导数的系数相同。因为系统是二阶系统，所以在系统的方框图中应使用两个积分器。以中间变量的最高阶导数作为起始信号，经过两个积分器后分别得到和。将信号和分别数乘和后与激励一起作为输入端加法器的输入信号，其输出就是起始信号；再将信号和分别数乘和后一起作为输出端加法器的输入信号，其输出就是输出信号。将上述过程用基本运算单元连接即可画出该系统的方框图。有了系统