高考真题+知识总结+方法总结+题型突破11等差数列与等比数列问题专题练习(学生版+解析)

第页近年高考真题+优质模拟题汇编(全国通用)专题11等差数列与等比数列问题【高考真题】1．(2022·全国乙理)已知等比数列的前3项和为168，，则()A．14B．12C．6D．31．答案D解析设等比数列的公比为，若，则，与题意矛盾，所以，则，解得，所以．故选：D．2．(2022·全国乙文)记为等差数列的前n项和．若，则公差_______．2．答案2解析由可得，化简得，即，解得．【知识总结】1．等差数列、等比数列的基本运算等差数列、等比数列的基本公式(n∈N*)(1)等差数列的通项公式：an＝a1＋(n－1)d；(2)等比数列的通项公式：an＝a1·qn－1.(3)等差数列的求和公式：Sn＝eq\f(na1＋an,2)＝na1＋eq\f(nn－1,2)d；(4)等比数列的求和公式：Sn＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(a11－qn,1－q)＝\f(a1－anq,1－q)，q≠1，,na1，q＝1.))2．等差数列、等比数列的性质1．通项性质：若m＋n＝p＋q＝2k(m，n，p，q，k∈N*)，则对于等差数列，有am＋an＝ap＋aq＝2ak，对于等比数列有aman＝apaq＝aeq\o\al(2,k).2．前n项和的性质：对于等差数列有Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…成等差数列；对于等比数列有Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…成等比数列(q＝－1且m为偶数情况除外)．【题型突破】题型一等差数列基本量的计算1．(2017·全国Ⅰ)记Sn为等差数列{an}的前n项和．若a4＋a5＝24，S6＝48，则{an}的公差为()A．1B．2C．4D．81．答案C解析设等差数列{an}的公差为d，则由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a4＋a5＝24，,S6＝48，))得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1＋3d＋a1＋4d＝24，,6a1＋\f(6×5,2)d＝48，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2a1＋7d＝24，,2a1＋5d＝16，))解得d＝4．2．(2018·全国Ⅰ)记Sn为等差数列{an}的前n项和．若3S3＝S2＋S4，a1＝2，则a5＝()A．－12B．－10C．10D．122．答案B解析由3S3＝S2＋S4，得：3(a1＋a2＋a3)＝a1＋a2＋a1＋a2＋a3＋a4，∴a1＋a2＋2a3＝a4，设公差为d，则4a1＋5d＝a1＋3d，∴d＝－eq\f(3,2)a1＝－3．∴a5＝a1＋4d＝2＋4×(－3)＝－10．3．(2014·福建)等差数列{an}的前n项和为Sn，若a1＝2，S3＝12，则a6等于()A．8B．10C．12D．143．答案C解析由题意知a1＝2，由S3＝3a1＋eq\f(3×2,2)×d＝12，解得d＝2，所以a6＝a1＋5d＝2＋5×2＝12，故选C．4．(2016·全国Ⅰ)已知等差数列{an}前9项的和为27，a10＝8，则a100＝()A．100B．99C．98D．974．答案C解析设等差数列{an}的公差为d，由已知，得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(9a1＋36d＝27，,a1＋9d＝8，))所以eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a1＝－1，,d＝1，))所以a100＝a1＋99d＝－1＋99＝98．5．(n≥2且n∈N*)，则a18＝()A．eq\f(25,9)B．eq\f(26,9)C．3D．eq\f(28,9)5．答案B解析令bn＝nan，则2bn＝bn－1＋bn＋1(n≥2)，所以{bn}为等差数列，因为b1＝1，b2＝4，所以公差d＝3，则bn＝3n－2，所以b18＝52，则18a18＝52，所以a18＝eq\f(26,9)．6．设等差数列{an}的前n项和为Sn，S3＝6，S4＝12，则S6＝________．6．答案30解析法一设数列{an}的首项为a1，公差为d，由S3＝6，S4＝12，可得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(S3＝3a1＋3d＝6，,S4＝4a1＋6d＝12，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a1＝0，,d＝2，))所以S6＝6a1＋15d＝30．法二由{an}为等差数列，故可设前n项和Sn＝An2＋Bn，由S3＝6，S4＝12可得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(S3＝9A＋3B＝6，,S4＝16A＋4B＝12，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(A＝1，,B＝－1，))即Sn＝n2－n，则S6＝36－6＝30．7．(2020·全国Ⅱ)记Sn为等差数列{an}的前n项和．若a1＝－2，a2＋a6＝2，则S10＝________．7．答案25解析设等差数列{an}的公差为d，由a1＝－2，a2＋a6＝2，可得a1＋d＋a1＋5d＝2，即－2＋d＋(－2)＋5d＝2，解得d＝1．所以S10＝10×(－2)＋eq\f(10×(10－1),2)×1＝－20＋45＝25．8．(2020·新高考Ⅰ)将数列{2n－1}与{3n－2}的公共项从小到大排列得到数列{an}，则{an}的前n项和为________．8．答案3n2－2n解析设bn＝2n－1，cm＝3m－2，bn＝cm，则2n－1＝3m－2，得n＝eq\f(3m－1,2)＝eq\f(3m－3＋2,2)＝eq\f(3(m－1),2)＋1，于是m－1＝2k，k∈N，所以m＝2k＋1，k∈N，则ak＝3(2k＋1)－2＝6k＋1，k∈N，得an＝6n－5，n∈N*．故Sn＝eq\f(1＋6n－5,2)×n＝3n2－2n．9．(2013·全国Ⅰ)设等差数列{an}的前n项和为Sn，Sm－1＝－2，Sm＝0，Sm＋1＝3，则m等于()A．3B．4C．5D．69．答案C解析由题意得am＝Sm－Sm－1＝2，am＋1＝Sm＋1－Sm＝3，故d＝1，因为Sm＝0，故ma1＋eq\f(m(m－1),2)d＝0，故a1＝－eq\f(m－1,2)，因为am＋am＋1＝Sm＋1－Sm－1＝5，故am＋am＋1＝2a1＋(2m－1)d＝－(m－1)＋2m－1＝5，即m＝5．10．(2019·全国Ⅰ)记Sn为等差数列{an}的前n项和．已知S4＝0，a5＝5，则()A．an＝2n－5B．an＝3n－10C．Sn＝2n2－8nD．Sn＝eq\f(1,2)n2－2n10．答案A解析设等差数列{an}的首项为a1，公差为d．由S4＝0，a5＝5可得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a1＋4d＝5，,4a1＋6d＝0，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a1＝－3，,d＝2.))所以an＝－3＋2(n－1)＝2n－5，Sn＝n×(－3)＋eq\f(n(n－1),2)×2＝n2－4n．故选A．题型二等差数列性质的应用11．在等差数列{an}中，a4＋a5＝15，a7＝12，则a2等于()A．3B．－3C．eq\f(3,2)D．－eq\f(3,2)11．答案A解析由数列的性质，得a4＋a5＝a2＋a7，所以a2＝15－12＝3．12．已知等差数列{an}满足a1＋a2＋a3＋…＋a101＝0，则有()A．a1＋a101>0B．a1＋a101<0C．a3＋a99＝0D．a51＝5112．答案C解析由等差数列的性质得，a1＋a101＝a2＋a100＝…＝a50＋a52＝2a51，由于a1＋a2＋a3＋…＋a101＝0，所以a51＝0，故a3＋a99＝2a51＝0．13．已知数列{an}是等差数列，若a1－a9＋a17＝7，则a3＋a15等于()A．7B．14C．21D．7(n－1)13．答案B解析因为a1－a9＋a17＝(a1＋a17)－a9＝2a9－a9＝a9＝7，所以a3＋a15＝2a9＝2×7＝14．14．在等差数列{an}中，a1＋3a8＋a15＝120，则a2＋a14的值为()A．6B．12C．24D．4814．答案D解析∵在等差数列{an}中，a1＋3a8＋a15＝120，由等差数列的性质，a1＋3a8＋a15＝5a8＝120，∴a8＝24，∴a2＋a14＝2a8＝48．15．已知等差数列{an}，若a1＋a2＋a3＋…＋a12＝21，则a2＋a5＋a8＋a11＝________．15．答案7解析∵a1＋a2＋a3＋…＋a12＝21，∴a1＋a12＝a2＋a11＝a3＋a10＝a4＋a9＝a5＋a8＝a6＋a7＝eq\f(21,6)＝eq\f(7,2)，∴a2＋a5＋a8＋a11＝7．16．设数列{an}是等差数列，若a3＋a4＋a5＝12，则a1＋a2＋…＋a7等于()A．14B．21C．28D．3516．答案C解析∵a3＋a4＋a5＝3a4＝12，∴a4＝4，∴a1＋a2＋…＋a7＝7a4＝28．17．在等差数列{an}中，若a4＋a6＋a8＋a10＋a12＝120，则a9－eq\f(1,3)a11的值为()A．14B．15C．16D．1717．答案C解析设公差为d，∵a4＋a6＋a8＋a10＋a12＝120，∴5a8＝120，a8＝24，∴a9－eq\f(1,3)a11＝(a8＋d)－eq\f(1,3)(a8＋3d)＝eq\f(2,3)a8＝16．18．已知等差数列{an}，{bn}的前n项和分别为Sn，Tn，若对于任意的自然数n，都有eq\f(Sn,Tn)＝eq\f(2n－3,4n－3)，则eq\f(a3＋a15,2b3＋b9)＋eq\f(a3,b2＋b10)＝()A．eq\f(19,41)B．eq\f(17,37)C．eq\f(7,15)D．eq\f(20,41)18．答案A解析eq\f(a3＋a15,2b3＋b9)＋eq\f(a3,b2＋b10)＝eq\f(2a9,2b1＋b11)＋eq\f(a3,b1＋b11)＝eq\f(a9＋a3,b1＋b11)＝eq\f(a1＋a11,b1＋b11)＝eq\f(\f(11a1＋a11,2),\f(11b1＋b11,2))＝eq\f(S11,T11)＝eq\f(2×11－3,4×11－3)＝eq\f(19,41)，故选A．19．在等差数列{an}中，2(a1＋a3＋a5)＋3(a7＋a9)＝54，则此数列前10项的和S10等于()A．45B．60C．75D．9019．答案A解析由题意得a3＋a8＝9，∴S10＝eq\f(10a1＋a10,2)＝eq\f(10a3＋a8,2)＝eq\f(10×9,2)＝45．20．若一个等差数列前3项的和为34，最后3项的和为146，且所有项的和为390，则这个数列的项数为()A．13B．12C．11D．1020．答案A解析因为a1＋a2＋a3＝34，an－2＋an－1＋an＝146，a1＋a2＋a3＋an－2＋an－1＋an＝34＋146＝180，又因为a1＋an＝a2＋an－1＝a3＋an－2，所以3(a1＋an)＝180，从而a1＋an＝60，所以Sn＝eq\f(na1＋an,2)＝eq\f(n·60,2)＝390，即n＝13．题型三等比数列基本量的计算21．(2017·全国Ⅲ)设等比数列{an}满足a1＋a2＝－1，a1－a3＝－3，则a4＝________．21．答案－8解析设等比数列{an}的公比为q，则a1＋a2＝a1(1＋q)＝－1，a1－a3＝a1(1－q2)＝－3，两式相除，得eq\f(1＋q,1－q2)＝eq\f(1,3)，解得q＝－2，a1＝1，所以a4＝a1q3＝－8．22．(2020·全国Ⅰ)设{an}是等比数列，且a1＋a2＋a3＝1，a2＋a3＋a4＝2，则a6＋a7＋a8＝()A．12B．24C．30D．3222．答案D解析设等比数列{an}的公比为q，则a1＋a2＋a3＝a1(1＋q＋q2)＝1，a2＋a3＋a4＝a1q＋a1q2＋a1q3＝a1q(1＋q＋q2)＝q＝2，因此，a6＋a7＋a8＝a1q5＋a1q6＋a1q7＝a1q5(1＋q＋q2)＝q5＝32．故选D．23．(2019·全国Ⅲ)已知各项均为正数的等比数列{an}的前4项和为15，且a5＝3a3＋4a1，则a3＝()A．16B．8C．4D．223．答案C解析设正数的等比数列{an}的公比为q，则eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a1＋a1q＋a1q2＋a1q3＝15，,a1q4＝3a1q2＋4a1，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a1＝1，,q＝2，))∴a3＝a1q2＝4．故选C．24．(2019·全国Ⅰ)设Sn为等比数列{an}的前n项和．若a1＝eq\f(1,3)，aeq\o\al(2,4)＝a6，则S5＝________．24．答案eq\f(121,3)解析由aeq\o\al(2,4)＝a6得(a1q3)2＝a1q5，整理得q＝eq\f(1,a1)＝3．所以S5＝eq\f(a1(1－q5),1－q)＝eq\f(\f(1,3)(1－35),1－3)＝eq\f(121,3)．25．已知数列{an}中，a1＝2，且eq\f(aeq\o\al(2,n＋1),an)＝4(an＋1－an)(n∈N*)，则其前9项的和S9＝________．25．答案1022解析由eq\f(aeq\o\al(2,n＋1),an)＝4(an＋1－an)得，aeq\o\al(2,n＋1)－4an＋1an＋4aeq\o\al(2,n)＝0，∴(an＋1－2an)2＝0，eq\f(an＋1,an)＝2，∴数列{an}是首项a1＝2，公比为2的等比数列，∴S9＝eq\f(2(1－29),1－2)＝1022．26．(多选题)已知正项等比数列{an}满足a1＝2，a4＝2a2＋a3，若设其公比为q，前n项和为Sn，则()A．q＝2B．an＝2nC．S10＝2047D．an＋an＋1＜an＋226．答案ABD解析根据题意，对于A，正项等比数列{an}满足2q3＝4q＋2q2，变形可得q2－q－2＝0，解得q＝2或q＝－1，又{an}为正项等比数列，则q＝2，故A正确；对于B，an＝2×2n－1＝2n，B正确；对于C，Sn＝eq\f(2×（1－2n）,1－2)＝2n＋1－2，所以S10＝2046，C错误；对于D，an＋an＋1＝2n＋2n＋1＝3×2n＝3an，而an＋2＝2n＋2＝4×2n＝4an＞3an，D正确．故选ABD．27．(2015·全国Ⅰ)在数列{an}中，a1＝2，an＋1＝2an，Sn为{an}的前n项和．若Sn＝126，则n＝________．27．答案6解析由an＋1＝2an，知数列{an}是以a1＝2为首项，公比q＝2的等比数列，由Sn＝eq\f(2(1－2n),1－2)＝126，解得n＝6．28．(2020·全国Ⅱ)记Sn为等比数列{an}的前n项和．若a5－a3＝12，a6－a4＝24，则eq\f(Sn,an)＝()A．2n－1B．2－21－nC．2－2n－1D．21－n－128．答案B解析方法一设等比数列{an}的公比为q，由a5－a3＝12，a6－a4＝24得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a1q4－a1q2＝12，,a1q5－a1q3＝24，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(q＝2，,a1＝1，))所以an＝a1qn－1＝2n－1，Sn＝eq\f(a1(1－qn),1－q)＝eq\f(1－2n,1－2)＝2n－1．因此eq\f(Sn,an)＝eq\f(2n－1,2n－1)＝2－21－n．故选B．方法二设等比数列{an}的公比为q，则q＝eq\f(a6－a4,a5－a3)＝eq\f(24,12)＝2．由a5－a3＝a1q4－a1q2＝12a1＝12得a1＝1．所以an＝a1qn－1＝2n－1，Sn＝eq\f(a11－qn,1－q)＝2n－1，所以eq\f(Sn,an)＝eq\f(2n－1,2n－1)＝2－21－n．方法三设等比数列{an}的公比为q，则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a3q2－a3＝12，①,a4q2－a4＝24，②))，eq\f(②,①)得eq\f(a4,a3)＝q＝2．将q＝2代入①，解得a3＝4．所以a1＝eq\f(a3,q2)＝1，下同方法一．29．设等比数列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(an))的前n项和为Sn，若S1＝eq\f(1,3)a2－eq\f(1,3)，S2＝eq\f(1,3)a3－eq\f(1,3)，则公比q＝()A．1B．4C．4或0D．829．答案B解析∵S1＝eq\f(1,3)a2－eq\f(1,3)，S2＝eq\f(1,3)a3－eq\f(1,3)，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1＝\f(1,3)a1q－\f(1,3)，,a1＋a1q＝\f(1,3)a1q2－\f(1,3)，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1＝1，,q＝4))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1＝－\f(1,3)，,q＝0))(舍去)，故所求的公比q＝4．30．(2020·全国Ⅱ)数列{an}中，a1＝2，am＋n＝aman．若ak＋1＋ak＋2＋…＋ak＋10＝215－25，则k＝()A．2B．3C．4D．530．答案C解析∵a1＝2，am＋n＝aman，令m＝1，则an＋1＝a1an＝2an，∴{an}是以a1＝2为首项，2为公比的等比数列，∴an＝2×2n－1＝2n．又∵ak＋1＋ak＋2＋…＋ak＋10＝215－25，∴eq\f(2k＋1(1－210),1－2)＝215－25，即2k＋1(210－1)＝25(210－1)，∴2k＋1＝25，∴k＋1＝5，∴k＝4．题型四等比数列性质的应用31．在等比数列{an}中，若a3，a7是方程x2＋4x＋2＝0的两根，则a5的值是()A．－2B．－eq\r(2)C．±eq\r(2)D．eq\r(2)31．答案B解析根据根与系数之间的关系得a3＋a7＝－4，a3a7＝2，由a3＋a7＝－4<0，a3a7>0，所以a3<0，a7<0，即a5<0，由a3a7＝aeq\o\al(2,5)，得a5＝－eq\r(a3a7)＝－eq\r(2)．32．公比不为1的等比数列{an}满足a5a6＋a4a7＝18，若a1am＝9，则m的值为()A．8B．9C．10D．1132．答案C解析由题意得，2a5a6＝18，a5a6＝9，∴a1am＝a5a6＝9，∴m＝10．33．在各项均为正数的等比数列{an}中，a3＝eq\r(2)－1，a5＝eq\r(2)＋1，则aeq\o\al(2,3)＋2a2a6＋a3a7＝()A．4B．6C．8D．8－4eq\r(2)33．答案C解析在等比数列{an}中，a3a7＝aeq\o\al(2,5)，a2a6＝a3a5，所以aeq\o\al(2,3)＋2a2a6＋a3a7＝aeq\o\al(2,3)＋2a3a5＋aeq\o\al(2,5)＝(a3＋a5)2＝(eq\r(2)－1＋eq\r(2)＋1)2＝(2eq\r(2))2＝8，故选C．34．等比数列{an}中，a4＝2，a5＝5，则数列{lgan}的前8项和等于()A．6B．5C．4D．334．答案C解析数列{lgan}的前8项和S8＝lga1＋lga2＋…＋lga8＝lg(a1·a2·…·a8)＝lg(a1·a8)4＝lg(a4·a5)4＝lg(2×5)4＝4．35．等比数列{an}的各项均为正数，且a5a6＋a4a7＝18，则log3a1＋log3a2＋…＋log3a10＝()A．12B．10C．8D．2＋log3535．答案B解析由等比数列的性质知a5a6＝a4a7，又a5a6＋a4a7＝18，所以a5a6＝9，则原式＝log3(a1a2…a10)＝log3(a5a6)5＝10．36．已知数列{an}的各项都为正数，对任意的m，n∈N*，am·an＝am＋n恒成立，且a3·a5＋a4＝72，则log2a1＋log2a2＋…＋log2a7＝________．36．答案21解析因为对任意的m，n∈N*，am·an＝am＋n恒成立，令m＝1，则a1·an＝a1＋n对任意的n∈N*恒成立，∴数列{an}为等比数列，公比为a1，由等比数列的性质有a3a5＝aeq\o\al(2,4)，因为a3·a5＋a4＝72，则aeq\o\al(2,4)＋a4＝72，∵a4＞0，∴a4＝8，∴log2a1＋log2a2＋…＋log2a7＝log2(a1·a2·…·a7)＝log2aeq\o\al(7,4)＝log287＝21．37．在等比数列{an}中，an＞0，a1＋a2＋…＋a8＝4，a1a2·…·a8＝16，则eq\f(1,a1)＋eq\f(1,a2)＋…＋eq\f(1,a8)的值为()A．2B．4C．8D．1637．答案A解析由分数的性质得到eq\f(1,a1)＋eq\f(1,a2)＋…＋eq\f(1,a8)＝eq\f(a8＋a1,a8a1)＋eq\f(a7＋a2,a7a2)＋…＋eq\f(a4＋a5,a4a5)．因为a8a1＝a7a2＝a3a6＝a4a5，所以原式＝eq\f(a1＋a2＋…＋a8,a4a5)＝eq\f(4,a4a5)，又a1a2·…·a8＝16＝(a4a5)4，an＞0，∴a4a5＝2，∴eq\f(1,a1)＋eq\f(1,a2)＋…＋eq\f(1,a8)＝2．38．已知数列{an}为等比数列，且a2a6＋2aeq\o\al(2,4)＝π，则tan(a3·a5)等于()A．eq\r(3)B．－eq\r(3)C．－eq\f(\r(3),3)D．±eq\r(3)38．答案A解析由已知得aeq\o\al(2,4)＋2aeq\o\al(2,4)＝π，∴aeq\o\al(2,4)＝eq\f(π,3)，又a3·a5＝aeq\o\al(2,4)＝eq\f(π,3)，∴tan(a3·a5)＝eq\r(3)．39．已知各项均为正数的等比数列{an}中，a4与a14的等比中项为2eq\r(2)，则2a7＋a11的最小值为()A．16B．8C．2eq\r(2)D．439．答案B解析因为a4与a14的等比中项为2eq\r(2)，所以a4·a14＝a7·a11＝(2eq\r(2))2＝8，所以2a7＋a11≥2eq\r(2a7a11)＝2eq\r(2×8)＝8，所以2a7＋a11的最小值为8．40．已知函数f(x)＝eq\f(2,1＋x2)(x∈R)，若等比数列{an}满足a1a2020＝1，则f(a1)＋f(a2)＋f(a3)＋…＋f(a2020)等于()A．2020B．1010C．2D．eq\f(1,2)40．答案A解析∵a1a2020＝1，∴f(a1)＋f(a2020)＝eq\f(2,1＋a\o\al(2,1))＋eq\f(2,1＋a\o\al(2,2020))＝eq\f(2,1＋a\o\al(2,1))＋eq\f(2,1＋\f(1,a\o\al(2,1)))＝eq\f(2,1＋a\o\al(2,1))＋eq\f(2a\o\al(2,1),1＋a\o\al(2,1))＝2，∵{an}为等比数列，则a1a2020＝a2a2019＝…＝a1010a1011＝1，∴f(a2)＋f(a2019)＝2，…，f(a1010)＋f(a1011)＝2，即f(a1)＋f(a2)＋f(a3)＋…＋f(a2020)＝2×1010＝2020．题型五等差与等比数列的综合计算41．已知数列{an}是等比数列，数列{bn}是等差数列，若a1·a6·a11＝－3eq\r(3)，b1＋b6＋b11＝7π，则taneq\f(b3＋b9,1－a4·a8)的值为()A．－eq\r(3)B．－1C．－eq\f(\r(3),3)D．eq\r(3)41．答案A解析依题意得，aeq\o\al(3,6)＝(－eq\r(3))3，a6＝－eq\r(3)，3b6＝7π，b6＝eq\f(7π,3)，所以eq\f(b3＋b9,1－a4·a8)＝eq\f(2b6,1－a\o\al(2,6))＝－eq\f(7π,3)，故taneq\f(b3＋b9,1－a4·a8)＝taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(7π,3)))＝taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－2π－\f(π,3)))＝－taneq\f(π,3)＝－eq\r(3)．42．各项均为正数的数列{an}和{bn}满足：an，bn，an＋1成等差数列，bn，an＋1，bn＋1成等比数列，且a1＝1，a2＝3，则数列{an}的通项公式为________．42．答案an＝eq\f(n(n＋1),2)解析由题设可得an＋1＝eq\r(bnbn＋1)，an＝eq\r(bnbn－1)，得2bn＝an＋an＋1⇒2bn＝eq\r(bnbn－1)＋eq\r(bnbn＋1)，即2eq\r(bn)＝eq\r(bn－1)＋eq\r(bn＋1)，又a1＝1，a2＝3⇒2b1＝4⇒b1＝2，则{eq\r(bn)}是首项为eq\r(2)的等差数列．由已知得b2＝eq\f(aeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(2)),b1)＝eq\f(9,2)，则数列{eq\r(bn)}的公差d＝eq\r(b2)－eq\r(b1)＝eq\f(3\r(2),2)－eq\r(2)＝eq\f(\r(2),2)，所以eq\r(bn)＝eq\r(2)＋(n－1)·eq\f(\r(2),2)＝eq\f(\r(2)(n＋1),2)，即eq\r(bn)＝eq\f(n＋1,\r(2))．当n＝1时，eq\r(b1)＝eq\r(2)，当n≥2时，eq\r(bn－1)＝eq\f(n,\r(2))，则an＝eq\r(bnbn－1)＝eq\f(n(n＋1),2)，a1＝1符合上式，所以数列{an}的通项公式为an＝eq\f(n(n＋1),2)．43．(2020·江苏)设{an}是公差为d的等差数列，{bn}是公比为q的等比数列．已知数列{an＋bn}的前n项和Sn＝n2－n＋2n－1(n∈N*)，则d＋q的值是________．43．答案4解析等差数列{an}的前n项和公式为Pn＝na1＋eq\f(n（n－1）,2)d＝eq\f(d,2)n2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a1－\f(d,2)))n，等比数列{bn}的前n项和公式为Qn＝eq\f(b1（1－qn）,1－q)＝－eq\f(b1,1－q)qn＋eq\f(b1,1－q)，依题意Sn＝Pn＋Qn，即n2－n＋2n－1＝eq\f(d,2)n2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a1－\f(d,2)))n－eq\f(b1,1－q)qn＋eq\f(b1,1－q)，通过对比系数可知eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(d,2)＝1，,a1－\f(d,2)＝－1，,q＝2，,\f(b1,1－q)＝－1，))得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(d＝2，,a1＝0，,q＝2，,b1＝1，))故d＋q＝4．44．(2017·全国Ⅲ)等差数列{an}的首项为1，公差不为0．若a2，a3，a6成等比数列，则{an}前6项的和为()A．－24B．－3C．3D．844．答案A解析设{an}的公差为d，根据题意得aeq\o\al(2,3)＝a2·a6，即(a1＋2d)2＝(a1＋d)(a1＋5d)，解得d＝－2，所以数列{an}的前6项和为S6＝6a1＋eq\f(6×5,2)d＝1×6＋eq\f(6×5,2)×(－2)＝－24．45．设Sn为公比q≠1的等比数列{an}的前n项和，且3a1，2a2，a3成等差数列，则q＝_____，eq\f(S4,S2)＝______．45．答案310解析设等比数列的通项公式an＝a1qn－1，又因为3a1，2a2，a3成等差数列，所以2×2a2＝3a1＋a3，即4a1q＝3a1＋a1q2，解得q＝3或q＝1(舍)，eq\f(S4,S2)＝eq\f(\f(a11－34,1－3),\f(a11－32,1－3))＝eq\f(1－34,1－32)＝10．46．公比不为1的等比数列{an}的前n项和为Sn，若a1，a3，a2成等差数列，mS2，S3，S4成等比数列，则m＝()A．eq\f(7,8)B．eq\f(8,5)C．1D．eq\f(9,5)46．答案D解析设{an}的公比为q(q≠0且q≠1)，根据a1，a3，a2成等差数列，得2a3＝a1`＋a2，即2a1q2＝a1＋a1q，因为a1≠0，所以2q2－1－q＝0，即(q－1)(2q＋1)＝0．因为q≠1，所以q＝－eq\f(1,2)，则S2＝eq\f(a1(1－q2),1－q)＝eq\f(3,4)·eq\f(a1,1－q)，S3＝eq\f(a1(1－q3),1－q)＝eq\f(9,8)·eq\f(a1,1－q)，S4＝eq\f(a1(1－q4),1－q)＝eq\f(15,16)·eq\f(a1,1－q)，因为mS2，S3，S4成等比数列，所以Seq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(3))＝mS2·S4，即eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(9,8)·\f(a1,1－q)))eq\s\up6(2)＝m·eq\f(3,4)·eq\f(a1,1－q)·eq\f(15,16)·eq\f(a1,1－q)，因为a1≠0，所以eq\f(a1,1－q)≠0，所以eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(9,8)))eq\s\up6(2)＝m×eq\f(3,4)×eq\f(15,16)，得m＝eq\f(9,5)，故选D．47．在公差d＜0的等差数列{an}中，已知a1＝10，且a1，