第1章 第3节　全称量词命题与存在量词命题-2022届高三数学一轮复习讲义（新高考）

第三节全称量词命题与存在量词命题一、教材概念·结论·性质重现1．全称量词和存在量词量词名称常见量词符号表示全称量词所有、一切、任意、全部、每一个等∀存在量词存在一个、至少有一个、有些、某些等∃2.全称量词命题和存在量词命题及其否定名称形式全称量词命题存在量词命题结构对M中任意一个x，有p(x)成立存在M中的一个x，使p(x)成立简记∀x∈M，p(x)∃x∈M，p(x)否定∃x∈M，p(x)∀x∈M，p(x)二、基本技能·思想·活动体验1．判断下列说法的正误，对的打“√”，错的打“×”．(1)“∀x∈R，x2≥0”的否定是“∃x∈R，x2＜0”． (√)(2)“长方形的对角线相等”是存在量词命题． (×)(3)∃x∈R，x2＋1＝0． (×)(4)写存在量词命题的否定时，存在量词变为全称量词． (√)(5)∃x∈M，p(x)与∀x∈M，p(x)的真假性相反． (√)2．(2020·烟台期末考试)命题“∀x∈R，x2－x＋1＞0”的否定是()A．∀x∈R，x2－x＋1≤0B．∀x∈R，x2－x＋1＜0C．∃x∈R，x2－x＋1≤0D．∃x∈R，x2－x＋1＜0C解析：全称量词命题的否定为存在量词命题，所以本题命题的否定为“∃x∈R，x2－x＋1≤0”．故选C.3．若命题“∀x∈R，x2＋mx＋2≥0”为真命题，则m的取值范围是()A．(2eq\r(2)，＋∞)B．(－2eq\r(2)，2eq\r(2))C．[－2eq\r(2)，2eq\r(2)]D．(－∞，－2eq\r(2)]∪[2eq\r(2)，＋∞)C解析：∀x∈R，x2＋mx＋2≥0为真命题，等价于f(x)＝x2＋mx＋2的图象与x轴有一个交点或没有交点，故Δ＝m2－8≤0，解得－2eq\r(2)≤m≤2eq\r(2).考点1全称量词命题、存在量词命题的否定——基础性1．(2021·淄博市部分学校高三检测)命题“∃x∈(0，＋∞)，lnx＝x－1”的否定是()A．∃x∈(0，＋∞)，lnx≠x－1B．∃x(0，＋∞)，lnx＝x－1C．∀x∈(0，＋∞)，lnx≠x－1D．∀x(0，＋∞)，lnx＝x－1C解析：存在量词命题的否定是全称量词命题，将结论加以否定，所以命题的否定为“∀x∈(0，＋∞)，lnx≠x－1”．2．命题“∀x＞0，eq\f(x,x－1)＞0”的否定是()A．∃x＜0，eq\f(x,x－1)≤0B．∃x＞0，0≤x≤1C．∀x＞0，eq\f(x,x－1)≤0D．∀x＜0，0≤x≤1B解析：因为eq\f(x,x－1)＞0，所以x＜0或x＞1，所以eq\f(x,x－1)＞0的否定是0≤x≤1，所以命题的否定是∃x＞0，0≤x≤1.故选B．3．命题“∀x∈R，∃n∈N*，使得n≥x2”的否定形式是()A．∀x∈R，∃n∈N*，使得n＜x2B．∀x∈R，∀n∈N*，使得n＜x2C．∃x∈R，∃n∈N*，使得n＜x2D．∃x∈R，∀n∈N*，使得n＜x2D解析：“∀x∈R，∃n∈N*，使得n≥x2”的否定形式为“∃x∈R，∀n∈N*，使得n＜x2”．全称量词命题与存在量词命题的否定(1)改写量词：确定命题所含量词的类型，省去量词的要结合命题的含义加上量词，再对量词进行改写．(2)否定结论：对原命题的结论进行否定．考点2全称量词命题、存在量词命题的真假判断——基础性1．下列四个命题中的真命题是()A．∀n∈R，n2≥nB．∃n∈R，∀m∈R，m·n＝mC．∀n∈R，∃m∈R，m2<nD．∀n∈R，n2<nB解析：对于选项A，令n＝eq\f(1,2)，即可验证其不正确；对于选项C，D，可令n＝－1加以验证，均不正确．故选B．2．下列四个命题中的假命题是()A．∀x∈R，x2≥0 B．∀x∈R，2x－1＞0C．∃x∈R，lgx＜1 D．∃x∈R，sinx＋cosx＝2D解析：A显然正确；由指数函数的性质知2x－1＞0恒成立，所以B正确；当0＜x＜10时，lgx＜1，所以C正确；因为sinx＋cosx＝eq\r(2)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,4)))，所以－eq\r(2)≤sinx＋cosx≤eq\r(2)，所以D错误．故选D．全称量词命题与存在量词命题真假的判断方法命题名称真假判断方法一判断方法二全称量词命题真所有对象使命题真否定为假假存在一个对象使命题假否定为真存在量词命题真存在一个对象使命题真否定为假假所有对象使命题假否定为真考点3全称量词命题、存在量词命题的应用——应用性(1)已知命题“∀x∈R，ax2＋4x＋1>0”是假命题，则实数a的取值范围是()A．(4，＋∞) B．(0,4]C．(－∞，4] D．[0,4)C解析：当原命题为真命题时，a>0且Δ＝16－4a<0，所以a>4.故当原命题为假命题时，a≤4.故选C.(2)已知f(x)＝x2，g(x)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up8(x)－m.若对∀x1∈[0,3]，∃x2∈[1,2]，使得f(x1)≥g(x2)，则实数m的取值范围是________．eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)，＋∞))解析：当x∈[0,3]时，f(x)min＝f(0)＝0；当x∈[1,2]时，g(x)min＝g(2)＝eq\f(1,4)－m．由f(x)min≥g(x)min，得0≥eq\f(1,4)－m，所以m≥eq\f(1,4).本例(2)中，若将“∃x2∈[1,2]”改为“∀x2∈[1,2]”，其他条件不变，则实数m的取值范围是________．eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，＋∞))解析：当x∈[1,2]时，g(x)max＝g(1)＝eq\f(1,2)－m.由f(x)min≥g(x)max，得0≥eq\f(1,2)－m，所以m≥eq\f(1,2).根据全称(存在)量词命题的真假求参数的思路此类问题的本质是恒成立问题或有解问题．一般先利用等价转化思想将条件合理转化，得到关于参数的方程或不等式(组)，再通过解方程或不等式(组)求出参数的值或范围．1．已知函数f(x)＝2ax－a＋3.若∃x0∈(－1,1)，使得f(x0)＝0，则实数a的取值范围是()A．(－∞，－3)∪(1，＋∞) B．(－∞，－3)C．(－3,1) D．(1，＋∞)A解析：依题意可得f(－1)·f(1)＜0，即(－2a－a＋3)·(2a－a＋3)＜0，解得a＜－3或a＞1.故选A．2．已知函数f(x)＝x2－2x＋3，g(x)＝eq\r(x)＋m，对任意的x1，x2∈[1,4]有f(x1)>g(x