北京市朝阳区东北师范大学朝阳学校2024-2025学年高三上学期10月月考数学试题 含解析

数学科试卷考试时间：120分钟满分：150分一、选择题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1.已知集合，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据交集的定义计算可得；【详解】解：因为所以故选：B2.若复数满足，则的共轭复数（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由知，运用复数的除法即可求出，根据共轭复数的概念即可求解.【详解】因为，所以，所以.故选：A3.下列函数中，既是偶函数又在区间(0,+∞)上单调递增的是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根据函数的奇偶性和单调性，对四个函数逐一判断可得答案.【详解】函数是奇函数，不符合；函数是偶函数，但是在(0,+∞)上单调递减，不符合；函数不是偶函数，不符合；函数既是偶函数又在区间(0,+∞)上单调递增，符合.故选：D【点睛】本题考查了函数的奇偶性和单调性，属于基础题.4.设，，，则，，的大小关系为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】利用对数函数和指数函数的性质求解.【详解】解：∵，∴，∵，∴，∵，∴，∴，故选：C.5.已知，，则“”是“”（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】B【解析】【分析】根据基本不等式可知当时，；反之不成立，即可得出结论.【详解】若“”，可知当时，不成立，即可知充分性不成立；若，可得，即可得，即必要性成立，因此可得“”是“”的必要不充分条件；故选：B6.已知是两个不同的平面，是两条不同的直线，能使成立的一组条件是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】利用给定条件得到，判断A，利用给定条件得到判断B，举反例判断C，D即可.【详解】对于A，若，则，故A错误，对于B，若，则，故B正确，对于C，若，则可能相交，平行或异面，故C错误，对于D，若，则可能相交，平行或异面，故D错误.故选：B7.已知函数，则下列命题正确的是（）A.的图象关于直线对称B.的图象关于点对称C.在上为增函数D.的图象向右平移个单位得到一个偶函数的图象【答案】C【解析】【分析】结合正弦型函数的图象与性质验证依次判断各选项即可.【详解】对于A，，的图象关于直线不对称，A错误；对于B，由，得的图象关于点不对称，B错误；对于C，由，得，由正弦函数性质知在区间上单调递增，C正确；对于D，图象向右平移个单位得到，故不是偶函数，D错误.故选：C8.如图，在中，为边上的中线，若为的中点，则（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】根据平面向量线性运算法则计算可得.【详解】.故选：D9.德国心理学家艾·宾浩斯研究发现，人类大脑对事物的遗忘是有规律的，他依据实验数据绘制出“遗忘曲线”．“遗忘曲线”中记忆率随时间（小时）变化的趋势可由函数近似描述，则记忆率为时经过的时间约为（）（参考数据：）A.2小时 B.0.8小时 C.0.5小时 D.0.2小时【答案】C【解析】分析】根据题设得到，两边取对数求解，即可得出结果.【详解】根据题意得，整理得到，两边取以为底的对数，得到，即，又，所以，得到，故选：C.10.已知等差数列的前项和为，若，且，则下列说法中正确的是（）A.为递增数列 B.当且仅当时，有最大值C.不等式的解集为 D.不等式的解集为无限集【答案】C【解析】【分析】利用可求得，结合等差数列通项公式可得；由此可求得；根据的二次函数性和的一次函数性依次判断各个选项即可.【详解】由得：，，即；设等差数列的公差为，则，解得：，对于A，，为递减数列，A错误；对于B，，，当或时，取得最大值，B错误；对于C，由得：，，，C正确；对于D，，由得：，则不等式的解集为，为有限集，D错误.故选：C.二、填空题共5小题，每小题5分，共25分．11.若角的终边经过点，则的值为．【答案】【解析】【详解】试题分析：∵角α的终边经过点P（1，-2），∴tanα=-2⇒tan2α==．考点：二倍角公式．12.已知数列满足，则前6项和为___________.【答案】【解析】【分析】利用等比数列的定义，结合等比数列前项和公式进行求解即可.【详解】因为，所以，因此数列是以2为首项，2为公比的等比数列，所以的前6项和为.故答案为：.13.若函数，对任意的都满足，则常数的一个取值为_______.【答案】（答案不唯一）【解析】【分析】由，代入利用两角和与差的余弦公式化简即可.【详解】由，即，即，即，又，所以，所以，即常数的一个取值为，故答案为：.14.已知正方形的边长为1，点满足，则的最大值为__________．【答案】##【解析】【分析】建立平面直角坐标系，求出相应向量的坐标，由数量积的坐标运算可得，再由二次函数的最值知识即可求得.【详解】以为坐标原点，，所在直线分别为，轴，建立平面直角坐标系，则，因为，所以，所以当时，取得最大值.故答案为：.15.设函数给出下列四个结论：①函数的值域是；②，方程恰有3个实数根；③，使得；④若实数，且.则的最大值为.其中所有正确结论的序号是__________.【答案】②③④【解析】【分析】画出函数图象，结合图象对四个结论依次分析，即可求解结论.【详解】因为函数，其图象如下图所示：对于①，由图可知，函数的值域不是，故①不正确；对于②，由图可知，，方程恰有3个实数根，故②正确；对于③，当时，使得有成立，即与有交点，这显然成立，故③正确；对于④，不妨设互不相等的实数满足，当满足时，由图可知，即，，即，所以，由图可知，，而在上单调递减，所以，所以，则的最大值为，故④正确.故答案为：②③④.三、解答题共6小题，共85分．解答应写出文字说明，演算步㵵或证明过程．16.已知函数.（1）求的最小正周期；（2）求在上的最大值和最小值.【答案】（1）最小正周期为（2）最大值为，最小值为【解析】分析】（1）根据辅助角公式可得，结合公式计算即可求解；（2）根据题意可得，结合正弦函数的单调性，进而得出函数的最值.【小问1详解】由题意知，，则，所以函数的最小正周期为；【小问2详解】因为，所以，而函数在上单调递增，在上单调递减，当，即时，函数取得最大值为；当，即时，，当，即时，，所以当时函数取得最小值为.17.在中，.（1）求；（2）若，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使△存在且唯一确定，求△的面积.条件①：；条件②：；条件③：△的周长为.注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分.【答案】（1）（2）答案见解析【解析】【分析】（1）利用正弦定理进行边角互换得到，即可得到；（2）条件①：利用正弦定理得到，根据大边对大角，小边对小角得到，此时不唯一，故条件①不成立；条件②：利用同角三角函数基本关系得到，利用正弦定理得到，根据正弦的和差公式和三角形内角和得到，最后根据三角形面积公式求面积即可；条件③：根据周长和余弦定理列方程，解方程得到，然后根据三角形面积公式求面积即可.【小问1详解】由正弦定理，，因为，所以.因为，所以，所以，因为，所以.【小问2详解】选择条件①：因为，由正弦定理.因为，所以不唯一，故条件①不成立.选择条件②：因为，，所以.因为，由正弦定理.又，，所以.所以的面积.选择条件③：因为的周长为，，即⑴，由余弦定理得，，所以，即⑵，由⑴⑵解方程组，所以的面积.18.如图，已知四棱锥，底面是边长为的菱形，，侧面为正三角形，侧面底面，为侧棱的中点，为线段的中点（Ⅰ）求证：平面；（Ⅱ）求证：；（Ⅲ）求三棱锥的体积【答案】（Ⅰ）见解析（Ⅱ）见解析（Ⅲ）【解析】【分析】（Ⅰ）连接，交于点；根据三角形中位线可证得；由线面平行判定定理可证得结论；（Ⅱ）由等腰三角形三线合一可知；由面面垂直的性质可知平面；根据线面垂直性质可证得结论；（Ⅲ）利用体积桥的方式将所求三棱锥体积转化为；根据已知长度和角度关系分别求得四边形面积和高，代入得到结果.【详解】（Ⅰ）证明：连接，交于点四边形为菱形为中点又为中点平面，平面平面（Ⅱ）为正三角形，为中点平面平面，平面平面，平面平面，又平面（Ⅲ）为中点又，，由（Ⅱ）知，【点睛】本题考查立体几何中线面平行、线线垂直关系的证明、三棱锥体积的求解问题；涉及到线面平行判定定理、面面垂直性质定理和判定定理的应用、体积桥的方式求解三棱锥体积等知识，属于常考题型.19.已知函数．（1）若，求函数的单调递减区间；（2）若，求函数在区间上的最大值；（3）若在区间上恒成立，求a的最大值.【答案】（1）（2）答案见详解（3）1【解析】【分析】（1）求导，利用导数求原函数单调递减区间；（2）分类讨论判断导函数符号，进而确定原函数的单调性及最大值；（3）根据恒成立理解可得，分类讨论，结合（2）运算求解.【小问1详解】当时，，则，令．因为，则所以函数的单调递减区间是【小问2详解】．令，由，解得，（舍去）．当，即时，在区间上，函数在上是减函数．所以函数在区间上的最大值为；当，即时，x在上变化时，的变化情况如下表x++-↗↘所以函数在区间上的最大值为．综上所述：当时，函数在区间上的最大值为；当时，函数在区间上的最大值为．【小问3详解】当时，则在上恒成立∴函数在上是减函数，则∴成立当时，由（2）可知：①当时，在区间上恒成立，则成立；②当时，由于在区间上是增函数，所以，即在区间上存在使得，不成立综上所述：a的取值范围为，即a的最大值为．20.已知函数，.（1）当时，①求曲线在处的切线方程；②求证：在上有唯一极大值点；（2）若没有零点，求的取值范围.【答案】（1）①；②证明见解析（2）【解析】【分析】（1）①利用导数求出切线的斜率，直接求出切线方程；②令，利用导数判断出在上有唯一零点，利用列表法证明出在上有唯一极大值点；（2）令.对a分类讨论：①，得到当时，无零点；②，无零点，符合题意.【小问1详解】若，则，.①处，，.所以曲线在处的切线方程为.②令，，在区间上，，则在区间上是减函数.又，所以在上有唯一零点.列表得：+-极大值所以在上有唯一极大值点.【小问2详解】，令，则.①若，则，在上是增函数.因为，，所以恰有一个零点.令，得.代入，得，解得.所以当时，的唯一零点为0，此时无零点，符合题意.②若，此时的定义域为.当时，，在区间上是减函数；当时，，在区间上是增函数.所以.又，由题意，当，即时，无零点，符合题意综上，的取值范围是.【点睛】导数的应用主要有：（1）利用导函数几何意义求切线方程；（2）利用导数研究原函数的单调性，求极值（最值）；（3）利用导数求参数的取值范围.21.已知项数为的数列是各项均为非负实数的递增数列.若对任意的，（），与至少有一个是数列中的项，则称数列具有性质.（1）判断数列，，，是否具有性质，并说明理由；（2）设数列具有性质，求证：；（3）若数列具有性质，且不是等差数列，求项数的所有可能取值.【答案】（1）数列，，，不具有性质；（2）证明见解析；（3）可能取值只有.【解析】【分析】（1）由数列具有性质的定义，只需判断存在与都不是数列中的项即可.（2）由性质知：、，结合非负递增性有，再由时，必有，进而可得，，，，，应用累加法即可证结论.（3）讨论、、，结合性质、等差数列的性质判断是否存在符合题设性质，进而确定的可能取值.【小问1详解】数列，，，不具有性质.因为，，和均不是数列，，，中的项，所以数列，，，不具有性质.【小问2详解】记数列的各项组成的集合为，又，由数列具有性质，，所以，即，所以.