2024-2025学年高一上学期初高中数学衔接知识-1.2-常用逻辑用语-专项训练【含答案】

第二节常用逻辑用语【解析版】1.“ac2＞bc2”是“a＞b”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件2.已知命题p：∀x∈R，sinx≥0，则下列说法正确的是（）A.p的否定是存在量词命题，且是真命题B.p的否定是全称量词命题，且是假命题C.p的否定是全称量词命题，且是真命题D.p的否定是存在量词命题，且是假命题3.若命题p：∀x≥0，ex＋x－2≥0，则命题p的否定为（）A.∃x＜0，ex＋x－2＜0 B.∃x≥0，ex＋x－2≥0C.∃x≥0，ex＋x－2＜0 D.∃x＜0，ex＋x－2≥04.“a2＝b2”是“a2＋b2＝2ab”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分又不必要条件5.使－2＜x＜2成立的一个充分条件是.（答案不唯一，写出一个即可）1.命题“∃x∈R，x2＋2x＋1＝0”的否定是命题（填“真”或“假”）.2.已知命题p：｜x｜≤1，q：x＜a，若q是p的充分不必要条件，则实数a的取值范围为.全称量词命题与存在量词命题考向1含量词命题的否定及真假判定【例1】（1）设命题p：∃n∈N，n2＞2n，则p为（）A.∀n∈N，n2＞2n B.∃n∈N，n2≤2nC.∀n∈N，n2≤2n D.∃n∈N，n2＝2n（2）（多选）下列命题是真命题的是（）A.∃a∈R，使函数y＝2x＋a·2－x在R上为偶函数B.∀x∈R，函数y＝sinx＋cosx＋2的值恒为正数C.∃x∈R，2x＜x2D.∀x∈（0，＋∞），13x＞lo考向2由命题的真假求参数【例2】若∃x∈（0，π），sin2x－ksinx＜0”为假命题，则k的取值范围为（）A.（－∞，－2] B.（－∞，2]C.（－∞，－2） D.（－∞，2）1.已知命题p：∀x≥0，ex≥1或sinx≤1，则p为（）A.∃x＜0，ex＜1且sinx＞1B.∃x＜0，ex≥1或sinx≤1C.∃x≥0，ex＜1或sinx＞1D.∃x≥0，ex＜1且sinx＞12.若命题“∀x∈R，ax2＋1≥0”为真命题，则实数a的取值范围为（）A.a＞0 B.a≥0C.a≤0 D.a≤13.（多选）下列命题中，是存在量词命题且是真命题的是（）A.至少有一个实数x，使得x3＝1B.菱形的对角线互相垂直C.∀x∈R，x2＋x＋14＞0D.∃x∈R，－x2＋x－2≥0的否定充分条件、必要条件的判定【例3】（1）设x∈R，则“x2－5x＜0”是“｜x－1｜＜1”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件（2）设a，b均为单位向量，则“｜a－3b｜＝｜3a＋b｜”是“a⊥b”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件1.在△ABC中，“AB2＋BC2＝AC2”是“△ABC为直角三角形”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件2.等比数列{an}的公比为q，前n项和为Sn.设甲：q＞0，乙：{Sn}是递增数列，则（）A.甲是乙的充分条件但不是必要条件B.甲是乙的必要条件但不是充分条件C.甲是乙的充要条件D.甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件充分条件、必要条件的探求与应用【例4】（1）下列使“｜x－1｜＜1”成立的必要不充分条件是（）A.－12＜x＜1 B.－12＜xC.－3＜x＜12 D.－12＜x（2）已知P＝{x｜x2－8x－20≤0}，非空集合S＝{x｜1－m≤x≤1＋m}.若x∈P是x∈S的必要条件，则m的取值范围为.（变条件）本例（2）中条件“若x∈P是x∈S的必要条件”变为“x∈P是x∈S的充分不必要条件”，其他条件不变，则实数m的取值范围为.1.（多选）使2x≥1成立的一个充分不必要条件是（A.0＜x＜1 B.0＜x＜2C.x＜2 D.0＜x≤22.设p：ln（2x－1）≤0，q：（x－a）[x－（a＋1）]≤0，若q是p的必要不充分条件，则实数a的取值范围是.1.“∀x∈R，x＋｜x｜≥0”的否定为（）A.∀x∈R，x＋｜x0 B.∀x∈R，x＋｜x｜≠0C.∃x∈R，x＋｜x｜＜0 D.∃x∈R，x＋｜x｜≥02.“xy＝0”是“x2＋y2＝0”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件3.已知向量a＝（m2，－9），b＝（1，－1），则“m＝－3”是“a∥b”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件4.若xy≠0，则“x＋y＝0”是“yx＋xy＝－2”的（A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件5.（多选）下列命题中是真命题有（）A.∀x∈R，x2≥0B.∀x∈R，2x－1＞0C.∃x∈R，lgx＜1D.∃x∈（0，＋∞），（14）x＜（156.（多选）下列命题正确的是（）A.“a＞1”是“a2＞1”的充分不必要条件B.“M＞N”是“lgM＞lgN”的必要不充分条件C.命题“∀x∈R，x2＋1＜0”的否定是“∃x∈R，使得x2＋1＜0”D.设函数f（x）的导数为f'（x），则“f'（x0）＝0”是“f（x）在x＝x0处取得极值”的充要条件7.已知命题p：∀x∈R，x2－a≥0；命题q：∃x∈R，x2＋2ax＋2－a＝0.若命题p，q都是真命题，则实数a的取值范围为.8.已知a＞0，b＞0，a＋2b＝1，请写出使得“m＜2a＋1b”恒成立的一个充分不必要条件.（用含m9.命题“∀x∈R，∃n∈N*，使得n≤x2”的否定形式是（）A.∀x∈R，∃n∈N*，使得n＞x2B.∀x∈R，∀n∈N*，使得n＞x2C.∃x∈R，∃n∈N*，使得n＞x2D.∃x∈R，∀n∈N*，使得n＞x210.在△ABC中，“A＞B”是“cosA＜cosB”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件11.设计如图所示的四个电路图，则能表示“开关A闭合”是“灯泡B亮”的必要不充分条件的一个电路图是（）12.若命题“∃x∈（－1，3），x2－2x－a≤0”为真命题，则实数a可取的最小整数值是（）A.－1 B.0C.1 D.313.（多选）下列四个条件中，能成为x＞y的充分不必要条件的是（）A.x＋1＞y＋2 B.1x＜1yC.｜x｜＞｜y｜ D.（13）x＜（1314.已知p：实数m满足3a＜m＜4a（a＞0），q：方程x2m－1＋y22－m＝1表示焦点在y轴上的椭圆，若p是15.已知函数f（x）＝x2－x+1x－1（x≥2），g（x）＝a（1）若∃x∈[2，＋∞），使f（x）＝m成立，则实数m的取值范围为；（2）若∀x1∈[2，＋∞），∃x2∈[2，＋∞），使得f（x1）＝g（x2），则实数a的取值范围为.第二节常用逻辑用语【解析版】11.“ac2＞bc2”是“a＞b”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件解析：A由ac2＞bc2，则c2＞0，所以a＞b，即ac2＞bc2⇒a＞b.反之，当a＞b时，若c2＝0，则ac2＝bc2，即a＞b⇒/ac2＞bc2，所以ac2＞bc2是a＞b的充分不必要条件.2.已知命题p：∀x∈R，sinx≥0，则下列说法正确的是（）A.p的否定是存在量词命题，且是真命题B.p的否定是全称量词命题，且是假命题C.p的否定是全称量词命题，且是真命题D.p的否定是存在量词命题，且是假命题解析：A命题p：∀x∈R，sinx≥0，该命题为假命题.p的否定是存在量词命题，且是真命题.故选A.3.若命题p：∀x≥0，ex＋x－2≥0，则命题p的否定为（）A.∃x＜0，ex＋x－2＜0 B.∃x≥0，ex＋x－2≥0C.∃x≥0，ex＋x－2＜0 D.∃x＜0，ex＋x－2≥0解析：C由全称量词命题的否定规则知，命题p的否定为∃x≥0，ex＋x－2＜0，故选C.4.“a2＝b2”是“a2＋b2＝2ab”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分又不必要条件解析：B由a2＝b2，得a＝±b，当a＝－b时，a2＋b2≠2ab.由a2＋b2＝2ab，得（a－b）2＝0，所以a＝b.所以“a2＝b2”是“a2＋b2＝2ab”的必要不充分条件.故选B.5.使－2＜x＜2成立的一个充分条件是.（答案不唯一，写出一个即可）答案：0＜x＜2（答案不唯一）解析：只要是{x｜－2＜x＜2}的一个子集都是使－2＜x＜2成立的充分条件，如－2＜x＜2，或0＜x＜2等.1.命题“∃x∈R，x2＋2x＋1＝0”的否定是命题（填“真”或“假”）.答案：假解析：因为当x＝－1时，（－1）2＋2×（－1）＋1＝0，所以命题“∃x∈R，x2＋2x＋1＝0”为真命题，命题的否定是“∀x∈R，x2＋2x＋1≠0”，由结论3知，此命题的否定是假命题.2.已知命题p：｜x｜≤1，q：x＜a，若q是p的充分不必要条件，则实数a的取值范围为.答案：（1，＋∞）解析：由｜x｜≤1，即－1≤x≤1，由结论1、2知p是q的充分不必要条件，所以a＞1.全称量词命题与存在量词命题考向1含量词命题的否定及真假判定【例1】（1）设命题p：∃n∈N，n2＞2n，则p为（）A.∀n∈N，n2＞2n B.∃n∈N，n2≤2nC.∀n∈N，n2≤2n D.∃n∈N，n2＝2n（2）（多选）下列命题是真命题的是（）A.∃a∈R，使函数y＝2x＋a·2－x在R上为偶函数B.∀x∈R，函数y＝sinx＋cosx＋2的值恒为正数C.∃x∈R，2x＜x2D.∀x∈（0，＋∞），13x＞lo答案：（1）C（2）AC解析：（1）命题p为存在量词命题，故p是全称量词命题，即∀n∈N，n2≤2n，故选C.（2）当a＝1时，y＝2x＋2－x为偶函数，故A为真命题；y＝sinx＋cosx＋2＝2sinx＋π4＋2，当sinx＋π4＝－1时，y＝0，故B为假命题；当x∈（2，4）时，2x＜x2，故C为真命题；当x＝13时，1313∈（0，1），log131考向2由命题的真假求参数【例2】（2024·苏州一模）若“∃x∈（0，π），sin2x－ksinx＜0”为假命题，则k的取值范围为（）A.（－∞，－2] B.（－∞，2]C.（－∞，－2） D.（－∞，2）解析：A依题意知命题“∃x∈（0，π），sin2x－ksinx＜0”为假命题，则“∀x∈（0，π），sin2x－ksinx≥0”为真命题，所以2sinxcosx≥ksinx，则k≤2cosx，解得k≤－2，所以k的取值范围为（－∞，－2]，故选A.1.已知命题p：∀x≥0，ex≥1或sinx≤1，则p为（）A.∃x＜0，ex＜1且sinx＞1B.∃x＜0，ex≥1或sinx≤1C.∃x≥0，ex＜1或sinx＞1D.∃x≥0，ex＜1且sinx＞1解析：D命题p：∀x≥0，ex≥1或sinx≤1，为全称量词命题，则p：∃x≥0，ex＜1且sinx＞1，故选D.2.若命题“∀x∈R，ax2＋1≥0”为真命题，则实数a的取值范围为（）A.a＞0 B.a≥0C.a≤0 D.a≤1解析：B依题意，命题“∀x∈R，ax2＋1≥0”为真命题，则ax2＋1≥0在x∈R上恒成立.当a＝0时，1≥0成立，满足题意；当a＞0时，ax2＋1≥0成立，满足题意；当a＜0时，曲线y＝ax2＋1开口向下，ax2＋1≥0不恒成立.综上所述，a≥0.故选B.3.（多选）下列命题中，是存在量词命题且是真命题的是（）A.至少有一个实数x，使得x3＝1B.菱形的对角线互相垂直C.∀x∈R，x2＋x＋14＞0D.∃x∈R，－x2＋x－2≥0的否定解析：AC对于选项A，命题是存在量词命题，当x＝1时，x3＝1，所以A中命题是真命题；对于选项B，命题是全称量词命题，不满足题意；对于选项C，∀x∈R，x2＋x＋14＞0的否定为：∃x∈R，x2＋x＋14≤0，是存在量词命题，x2＋x＋14＝x＋122≥0，当x＝－12时，x2＋x＋14＝0，所以C中命题是真命题；对于选项D，∃x∈R，－x2＋x－2≥0的否定是：∀x∈R，－x2＋x－2＜0充分条件、必要条件的判定【例3】（1）设x∈R，则“x2－5x＜0”是“｜x－1｜＜1”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件（2）设a，b均为单位向量，则“｜a－3b｜＝｜3a＋b｜”是“a⊥b”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件答案：（1）B（2）C解析：（1）不等式x2－5x＜0的解集A＝{x｜0＜x＜5}，由｜x－1｜＜1得－1＜x－1＜1，其解集B＝{x｜0＜x＜2}，则集合B是A的真子集，所以“x2－5x＜0”是“｜x－1｜＜1”的必要不充分条件，故选B.（2）由｜a－3b｜＝｜3a＋b｜，得（a－3b）2＝（3a＋b）2，即a2＋9b2－6a·b＝9a2＋b2＋6a·b.又a，b均为单位向量，所以a2＝b2＝1，所以a·b＝0，能推出a⊥b.由a⊥b得｜a－3b｜＝10，｜3a＋b｜＝10，能推出｜a－3b｜＝｜3a＋b｜.所以“｜a－3b｜＝｜3a＋b｜”是“a⊥b”的充要条件.故选C..1.在△ABC中，“AB2＋BC2＝AC2”是“△ABC为直角三角形”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件解析：A在△ABC中，若AB2＋BC2＝AC2，则B＝90°，即△ABC为直角三角形，若△ABC为直角三角形，推不出B＝90°，所以AB2＋BC2＝AC2不一定成立，综上“AB2＋BC2＝AC2”是“△ABC为直角三角形”的充分不必要条件.2.等比数列{an}的公比为q，前n项和为Sn.设甲：q＞0，乙：{Sn}是递增数列，则（）A.甲是乙的充分条件但不是必要条件B.甲是乙的必要条件但不是充分条件C.甲是乙的充要条件D.甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件解析：B当a1＜0，q＞0时，an＝a1qn－1＜0，此时数列{Sn}递减，所以甲不是乙的充分条件.当数列{Sn}递增时，有Sn＋1－Sn＝an＋1＝a1qn＞0，若a1＞0，则qn＞0（n∈N*），即q＞0；若a1＜0，则qn＜0（n∈N*），不存在.所以甲是乙的必要条件.充分条件、必要条件的探求与应用【例4】（1）下列使“｜x－1｜＜1”成立的必要不充分条件是（）A.－12＜x＜1 B.－12＜xC.－3＜x＜12 D.－12＜x（2）已知P＝{x｜x2－8x－20≤0}，非空集合S＝{x｜1－m≤x≤1＋m}.若x∈P是x∈S的必要条件，则m的取值范围为.答案：（1）B（2）[0，3]解析：（1）｜x－1｜＜1⇔－1＜x－1＜1⇔0＜x＜2，分析各选项，只有B是必要不充分条件，故选B.（2）由x2－8x－20≤0，得－2≤x≤10，∴P＝{x｜－2≤x≤10}.∵x∈P是x∈S的必要条件，则S⊆P，∴1－m≥－2，1+m≤10，1－m≤1+m，解得0≤m≤3，（变条件）本例（2）中条件“若x∈P是x∈S的必要条件”变为“x∈P是x∈S的充分不必要条件”，其他条件不变，则实数m的取值范围为.答案：[9，＋∞）解析：由例（2）知P＝{x｜－2≤x≤10}.∵x∈P是x∈S的充分不必要条件，∴P⫋S.∴[－2，10]⫋[1－m，1＋m].∴1－m≤－2，1+m>10或1－m＜－2，1.（多选）使2x≥1成立的一个充分不必要条件是（A.0＜x＜1 B.0＜x＜2C.x＜2 D.0＜x≤2解析：AB由2x≥1得0＜x≤2，依题意由选项组成的集合是（0，2]的真子集，故选A、2.设p：ln（2x－1）≤0，q：（x－a）[x－（a＋1）]≤0，若q是p的必要不充分条件，则实数a的取值范围是.答案：［0，12解析：p对应的集合A＝{x｜y＝ln（2x－1）≤0}＝{x｜12＜x≤1}，q对应的集合B＝{x｜（x－a）[x－（a＋1）]≤0}＝{x｜a≤x≤a＋1}.由q是p的必要不充分条件，知A⫋B.所以a≤12且a＋1≥1，因此0≤a≤1.命题“∀x∈R，x＋｜x｜≥0”的否定为（）A.∀x∈R，x＋｜x｜＜0 B.∀x∈R，x＋｜x｜≠0C.∃x∈R，x＋｜x｜＜0 D.∃x∈R，x＋｜x｜≥0解析：C根据全称量词命题的否定是存在量词命题，知命题“∀x∈R，x＋｜x｜≥0”的否定为“∃x∈R，x＋｜x｜＜0”，故选C.2.“xy＝0”是“x2＋y2＝0”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件解析：B若xy＝0，如x＝0，y＝1，则x2＋y2≠0，故充分性不成立；若x2＋y2＝0，则x＝y＝0，则xy＝0，故必要性成立，所以“xy＝0”是“x2＋y2＝0”的必要不充分条件.故选B.3.已知向量a＝（m2，－9），b＝（1，－1），则“m＝－3”是“a∥b”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件解析：A若m＝－3，则a＝（9，－9）＝9b，所以a∥b；若a∥b，则m2×（－1）－（－9）×1＝0，解得m＝±3，所以“m＝－3”是“a∥b”的充分不必要条件.故选A.4.若xy≠0，则“x＋y＝0”是“yx＋xy＝－2”的（A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件解析：C充分性：因为xy≠0，且x＋y＝0，所以x＝－y，所以xy＋yx＝－yy＋y－y＝－1－1＝－2.必要性：因为xy≠0，且xy＋yx＝－2，所以x2＋y2＝－2xy，即x2＋y2＋2xy＝0，即（x＋y）2＝0，所以x＋y＝0.所以“x＋y＝0”是“5.（多选）下列命题中是真命题有（）A.∀x∈R，x2≥0B.∀x∈R，2x－1＞0C.∃x∈R，lgx＜1D.∃x∈（0，＋∞），（14）x＜（15解析：ABC对于A，y＝x2≥0恒成立，所以∀x∈R，x2≥0，所以A正确；对于B，y＝2x＞0，所以∀x∈R，2x－1＞0，所以B正确；对于C，x＝1，lgx＝0＜1，所以∃x∈R，lgx＜1，所以C正确；对于D，因为∀x∈（0，＋∞），（15）x＜（14）x，所以D错误，故选A、B6.（多选）下列命题正确的是（）A.“a＞1”是“a2＞1”的充分不必要条件B.“M＞N”是“lgM＞lgN”的必要不充分条件C.命题“∀x∈R，x2＋1＜0”的否定是“∃x∈R，使得x2＋1＜0”D.设函数f（x）的导数为f'（x），则“f'（x0）＝0”是“f（x）在x＝x0处取得极值”的充要条件解析：ABA选项中，a＞1⇒a2＞1，但a2＞1⇒a＞1或a＜－1，故A正确；B选项中，当M＞N＞0时有lgM＞lgN，而lgM＞lgN必有M＞N＞0，故B正确；C选项中，命题的否定为“∃x∈R，使得x2＋1≥0”，故C错误；D选项中，f'（x0）＝0不一定有f（x）在x＝x0处取得极值，而f（x）在x＝x0处取得极值则f'（x0）＝0，故D错误.故选A、B.7.已知命题p：∀x∈R，x2－a≥0；命题q：∃x∈R，x2＋2ax＋2－a＝0.若命题p，q都是真命题，则实数a的取值范围为.答案：（－∞，－2]解析：由命题p为真，得a≤0；由命题q为真，得Δ＝4a2－4（2－a）≥0，即a≤－2或a≥1，所以a≤－2.8.已知a＞0，b＞0，a＋2b＝1，请写出使得“m＜2a＋1b”恒成立的一个充分不必要条件.（用含m答案：m＜7（答案不唯一）解析：由题意可知a＞0，b＞0，故2a＋1b＝（2a＋1b）·（a＋2b）＝4＋4ba＋ab≥4＋24ba·ab＝8，当且仅当a＝2b，即a＝12，b＝14时取等号，所以2a＋1b≥8恒成立，若m＜2a＋1b9.命题“∀x∈R，∃n∈N*，使得n≤x2”的否定形式是（）A.∀x∈R，∃n∈N*，使得n＞x2B.∀x∈R，∀n∈N*，使得n＞x2C.∃x∈R，∃n∈N*，使得n＞x2D.∃x∈R，∀n∈N*，使得n＞x2解析：D∀改写为∃，∃改写为∀，n≤x2的否定是n＞x2，则该命题的否定形式为“∃x∈R，∀n∈N*，使得n＞x2”.10.在△ABC中，“A＞B”是“cosA＜cosB”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件解析：C因为A，B是△ABC的内角，且A＞B，所以0＜B＜A＜π，因为y＝cosx在（0，π）上单调递减，所以cosA＜cosB，故充分性成立；反之，y＝cosx在（0，π）上单调递减，0＜A＜π，0＜B＜π，若cosA＜cosB，则A＞B，故必要性成立，所以在△ABC中，“A＞B”是“cosA＜cosB”的充要条件.11.设计如图所示的四个电路图，则能表示“开关A闭合”是“灯泡B亮”的必要不充分条件的一个电路图是（）解析：C选项A：“开关A闭合”是“灯泡B亮”的充分不必要条件；选项B：“开关A闭合”是“灯泡B亮”的充要条件；选项C：“开关A闭合”是“灯泡B亮”的必要不充