【整合学案】11.3.2　直线与平面平行

高中数学精选资源2/211.3.2学习目标核心素养1.掌握直线与平面平行的判定定理和性质定理，并能利用这两个定理解决空间中的平行关系问题．(重点)2.利用直线与平面平行的判定定理和性质定理证明空间平行问题．(难点)1.通过空间直线与平面位置关系的学习，培养直观想象的数学核心素养.2.借助直线与平面平行的判定与性质的学习，提升数学抽象、逻辑推理的数学核心素养.1．直线与平面的平行位置关系直线a在平面α内直线a与平面α相交直线a与平面α平行公共点有无数个公共点有且只有一个公共点没有公共点符号表示aαa∩α＝Aa∥α图形表示2.直线与平面平行的判定定理及性质定理定理条件结论图形语言符号语言判定定理平面外的一条直线与平面内的一条直线平行这条直线与这个平面平行________leq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(lα，,m⊂α，,l∥m))⇒l∥α性质定理一条直线与一个平面平行，且经过这条直线的平面与这个平面相交这条直线与两平面的交线平行eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(l∥α，,l⊂β，,α∩β＝m))⇒l∥m1．下列条件中能确定直线a与平面α平行的是()A．aα，bα，a∥bB．bα，a∥bC．bα，cα，a∥b，a∥cD．bα，A∈a，B∈a，C∈b，D∈b，且AC＝BDA[由直线与平面平行的判定定理知选A．]2．下列说法正确的是()A．若直线a∥平面α，直线b∥平面α，则直线a∥直线bB．若直线a∥平面α，直线a与直线b相交，则直线b与平面α相交C．若直线a∥平面α，直线a∥直线b，则直线b∥平面αD．若直线a∥平面α，则直线a与平面α内任意一条直线都无公共点D[A中直线a与直线b也可能异面、相交，所以不正确；B中，直线b也可能与平面α平行，所以不正确；C中，直线b也可能在平面α内，所以不正确；根据直线与平面平行的定义知D正确．]3．若a，b是异面直线，a∥α，则b与α的关系()A．b∥α或bα B．b与α相交或bα或b∥αC．b与α相交或b∥α D．b与α相交或bαB[如图，长方体ABCD­A′B′C′D′中，①A′D′与AB异面，A′D′∥平面BC′，而AB与平面BC′相交；②A′D′与BB′异面，A′D′∥平面BC′，而BB′在平面BC′内；③分别取AB，A′B′中点E，F，EF与A′D′异面，A′D′∥平面BC′，而EF与平面BC′平行．]4．如图所示，在空间四边形ABCD中，M∈AB，N∈AD，若eq\f(AM,MB)＝eq\f(AN,ND)，则MN与平面BDC的位置关系是________．平行[因为在△ABD中eq\f(AM,MB)＝eq\f(AN,ND)，所以MN∥BD，又因为MN平面BCD，BD平面BCD，所以MN∥平面BCD.]直线与平面平行的判定定理【例1】如图，在三棱台DEF­ABC中，AB＝2DE，G，H分别为AC，BC的中点．求证：BD∥平面FGH.[思路探究]要证明BD∥平面FGH，需在平面FGH内找到一条直线平行于BD，进而转化为线线平行的证明．[证明]在三棱台DEF­ABC中，AB＝2DE，G为AC的中点，可得DF∥GC，DF＝GC，所以四边形DFCG为平行四边形，连接CD、FG.设CD∩FG＝O，则O为CD的中点．又H为BC的中点，所以OH∥BD.又OH平面FGH，BD平面FGH，所以BD∥平面FGH.应用判定定理证明线面平行的步骤上面的第一步“找”是证题的关键，其常用方法有：①空间直线平行关系的传递性法；②三角形中位线法；③平行四边形法；④成比例线段法．提醒：线面平行判定定理应用的误区(1)条件罗列不全，最易忘记的条件是“直线在平面外”．(2)不能利用题目条件顺利地找到两平行直线．1．如图，在下列四个正方体中，A，B为正方体的两个顶点，M，N，Q为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直线AB与平面MNQ不平行的是()A[A项，作如图①所示的辅助线，其中D为BC的中点，则QD∥AB.因为QD∩平面MNQ＝Q，所以QD与平面MNQ相交，所以直线AB与平面MNQ相交．B项，作如图②所示的辅助线，则AB∥CD，CD∥MQ，∴AB∥MQ.又AB平面MNQ，MQ平面MNQ，∴AB∥平面MNQ.C项，作如图③所示的辅助线，则AB∥CD，CD∥MQ，所以AB∥MQ.又AB平面MNQ，MQ平面MNQ，所以AB∥平面MNQ.D项，作如图④所示的辅助线，则AB∥CD，CD∥NQ，所以AB∥NQ.又AB平面MNQ，NQ平面MNQ，所以AB∥平面MNQ.故选A．]直线与平面平行的性质定理【例2】如图，AB，CD为异面直线，且AB∥α，CD∥α，AC，BD分别交α于M，N两点．求证：AM∶MC＝BN∶ND.[证明]连接AD交平面α于点E，连接ME和NE.如图所示，因为平面ACD∩α＝ME，CD∥α，所以CD∥ME，所以eq\f(AM,MC)＝eq\f(AE,ED).同理可得EN∥AB，所以eq\f(AE,ED)＝eq\f(BN,ND).所以eq\f(AM,MC)＝eq\f(BN,ND)，即AM∶MC＝BN∶ND.利用线面平行的性质定理证明线线平行的四个步骤(1)在已知图形中确定(或寻找)一条直线平行于一个平面．(2)作出(或寻找)过这条直线且与这个平面相交的平面．(3)得出交线．(4)根据线面平行的性质定理得出结论．2．求证：如果一条直线和两个相交平面都平行，那么这条直线和它们的交线平行．[解]已知：α∩β＝l，a∥α，a∥β，求证：a∥l.证明：如图，过a作平面γ交α于b.∵a∥α，∴a∥b.过a作平面ε交平面β于c.∵a∥β，∴a∥c，∴b∥c.又bβ且cβ，∴b∥β.又平面α过b交β于l，∴b∥l.∵a∥b，∴a∥l.线面平行判定定理与性质定理的综合运用[探究问题]1．如图，一块矩形木板ABCD的一边AB在平面α内，把这块木板绕AB转动，在转动过程中，AB的对边CD(不落在α内)是否都和平面α平行？[提示]平行．2．若直线l∥平面α，则l平行于平面α内的所有直线吗？[提示]不是．3．若a∥α，过a与α相交的平面有多少个？这些平面与α的交线与直线a有什么关系？[提示]若a∥α，则过a且与α相交的平面有无数个．这些平面与α的交线与直线a之间相互平行．【例3】如图，在长方体ABCD­A1B1C1D1中，点P∈BB1(P不与B，B1重合)，PA∩A1B＝M，PC∩BC1＝N.求证：MN∥平面ABCD[证明]连接AC，A1C1在长方体ABCD­A1B1C1D1中，AA1∥CC1，AA1＝CC1，所以四边形ACC1A1是平行四边形，所以AC∥A1C1，因为AC平面A1BC1，A1C1平面A1BC1，所以AC∥平面A1BC1，因为AC平面PAC，平面A1BC1∩平面PAC＝MN，所以AC∥MN.因为MN平面ABCD，AC平面ABCD，所以MN∥平面ABCD.利用线面平行的判定定理和性质定理的关键及思考方向关键：是过直线作平面与已知平面相交．思考方向：若条件中含有线线平行，可考虑线面平行的判定定理的条件；若条件中含有线面平行，可考虑线面平行的性质定理得线线平行．3．如图，已知A，B，C，D四点不共面，且AB∥α，CD∥α，AC∩α＝E，AD∩α＝F，BD∩α＝H，BC∩α＝G，则四边形EFHG的形状是________．平行四边形[因为平面ADC∩α＝EF，且CD∥α，所以EF∥CD；同理可证GH∥CD，EG∥AB，FH∥AB.所以GH∥EF，EG∥FH.所以四边形EFHG是平行四边形．]1．直线与平面平行的判定定理的理解判定直线l和平面α平行时，必须具备三个条件①直线l在平面α外，即lα；②直线m在平面α内，即mα；③两直线l，m平行，即l∥m.这三个条件缺一不可．2．直线与平面平行的性质定理的理解应用性质定理时，必须具备的三个条件①直线l平行于平面α，即l∥α，②直线l在平面β内，即lβ，③两平面α与β相交，即α∩β＝m，这三个条件缺一不可．3．证明线与线、线与面的平行关系的一般规律是：“由已知想性质，由求证想判定”，是分析和解决问题的一般思维方法，而作辅助线和辅助面往往是沟通已知和未知的有效手段．1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)若直线与平面不相交，则直线与平面平行． ()(2)过一点有且只有一条直线与已知直线平行． ()(3)直线l上有无数多个点在平面α外，则l∥α. ()(4)过平面外一点有且只有一条直线与该平面平行． ()[解析](1)错误．若直线与平面不相交，则直线在平面内或直线与平面平行．(2)错误．当点在已知直线上时，不存在过该点的直线与已知直线平行，故(2)错．(3)错误．直线l也可能与平面α相交．(4)错误．在棱柱的上底面内，过一点任意作一条直线都与棱柱的下底面平行，所以过平面外一点与已知平面平行的直线有无数条，故(4)错．[答案](1)×(2)×(3)×(4)×2．M∈l，N∈l，Nα，M∈α，则有()A．l∥α B．lαC．l与α相交 D．以上都有可能C[由符号语言知，直线l上有一点在平面α内，另一点在α外，故l与α相交．]3．正方体ABCD­A1B1C1D1中，E为DD1的中点，则BD1与过A，C，E平行[如图所