1911变量与函数(精讲)-2021-2022学年八年级数学下学期重要考点(人教版)（原卷版）

19.1.1变量与函数变量、常量的概念在一个变化过程中，我们称数值发生变化的量为变量.数值保持不变的量叫做常量.注意：一般地，常量是不发生变化的量，变量是发生变化的量，这些都是针对某个变化过程而言的.例如，，速度60千米/时是常量，时间和里程为变量.题型1：变量与常量1.圆的周长公式是C=2πr，那么在这个公式中，关于变量和常量的说法正确的是（）A．2是常量， B．π、r是变量C．2、π是常量， D．r是变量C.2是常量，r是变量【变式11】设路程s，速度v，时间t，在关系式s=vt中，说法正确的是（）A．当s一定时，v是变量，t是变量B．当v一定时，t是常量，s是变量C．当t一定时，t、s是常量，v是变量D．当t一定时，s是常量，v是变量【变式12】一本笔记本5元，买x本共付y元，则常量和变量分别是（）A．常量：5；变量：x B．常量：5；变量：yC．常量：5；变量：x，y D．常量：x，y；变量：5【变式13】分析并指出下列关系中的变量与常量：（1）球的表面积Scm2与球的半径Rcm的关系式是S=4πR2；（2）以固定的速度v0米/秒向上抛一个小球，小球的高度h米与小球运动的时间t秒之间的关系式是h=v0t﹣4.9t2；（3）一物体自高处自由落下，这个物体运动的距离hm与它下落的时间ts的关系式是h=12gt2（其中g取9.8m/s2（4）已知橙子每千克的售价是1.8元，则购买数量W千克与所付款x元之间的关系式是x=1.8W．题型2：因变量和自变量2.对于关系式y＝3x＋5，下列说法：①x是自变量，y是因变量；②x的数值可以任意选择；③y是变量，它的值与x无关；④这个关系式表示的变量之间的关系不能用图象表示；⑤y与x的关系还可以用表格和图象表示，其中正确的是()A．①②③ B．①②④ C．①③⑤ D．①②⑤【变式21】某居民小区电费标准为0.55元/千瓦时，收取的电费y（元）和所用电量x（千瓦时）之间的关系式为y=0.A．x是自变量，0.55是因变量 B．0.55是自变量，x是因变量C．x是自变量，y是因变量 D．y是自变量，x是因变量【变式22】圆柱的高是6cm，当圆柱的底面半径r由小到大变化时，圆柱的体积V也随之发生变化.在这个变化过程中，常量是，自变量是，因变量是.【变式23】一次试验中，小明把一根弹簧的上端固定，在其下端悬挂砝码，下面是测得的弹簧长度y（cm）与所挂砝码的质量x（g）的一组对应值：x（g）012345…y（cm）182022242628…（1）表中反映了哪两个变量之间的关系？哪个是自变量？哪个是因变量？（2）弹簧的原长是多少？当所挂砝码质量为3g时，弹簧的长度是多少？（3）砝码质量每增加1g，弹簧的长度增加多少厘米？函数的定义一般地，在一个变化过程中.如果有两个变量与，并且对于的每一个确定的值，都有唯一确定的值与其对应，那么我们就说是自变量，是的函数.注意：对于函数的定义，应从以下几个方面去理解：（1）函数的实质，揭示了两个变量之间的对应关系；（2）对于自变量的取值，必须要使代数式有实际意义；（3）判断两个变量之间是否有函数关系，要看对于允许取的每一个值，是否都有唯一确定的值与它相对应.（4）两个函数是同一函数至少具备两个条件：①函数关系式相同（或变形后相同）；②自变量的取值范围相同.否则，就不是相同的函数.而其中函数关系式相同与否比较容易注意到，自变量的取值范围有时容易忽视，这点应注意.题型3：函数的概念3.如图，有一个球形容器，小海在往容器里注水的过程中发现，水面的高度h、水面的面积S及注水量V是三个变量．下列有四种说法：①S是V的函数；②V是S的函数；③h是S的函数；④S是h的函数．其中所有正确结论的序号是（）A．①③ B．①④ C．②③ D．②④【变式31】下列关于变量x，y的关系，其中y不是x的函数的是（）A． B．C． D．【变式32】下列关系式：①x3x=4；②s=3.5t；③y=2x；④y=5x3；⑤C=2πr；⑥y2=2x．其中是函数关系的有()A．①⑥ B．②③④⑤ C．④⑥ D．①②【变式33】下列关系中，不是函数的是()．A．y=x+13 B．y=x2C．y=9x(x≥0) D．y=±x2题型4：函数概念与基础图像识别4.下列图象中，y不是x的函数的是（）A．B．C． D．【变式41】如图所示图象表示的两个变量间的关系中，y不是x的函数的是（）A．B．C． D．【变式42】下列图象中，表示y是x的函数的个数有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【变式43】下列图形中的曲线不能表示y是x的函数的是（）A．B．C． D．自变量取值范围的确定使函数有意义的自变量的取值的全体实数叫自变量的取值范围.注意：自变量的取值范围的确定方法：首先，要考虑自变量的取值必须使解析式有意义：（1）当解析式是整式时，自变量的取值范围是全体实数；（2）当解析式是分式时，自变量的取值范围是使分母不为零的实数；（3）当解析式是二次根式时，自变量的取值范围是使被开方数不小于零的实数；（4）当解析式中含有零指数幂或负整数指数幂时，自变量的取值应使相应的底数不为零；（5）当解析式表示实际问题时，自变量的取值必须使实际问题有意义.题型5：自变量的取值范围5.下列函数中，自变量的取值范围选取错误的是（）A．y=2x2中，x取全体实数 B．y=1x+1中，x取x≠C．y=x−2中，x取x≥2的实数 D．y=1x−3中，x取x≥【变式51】．函数y=1x+1+A．x≥−1 B．x>2C．x>−1且x≠2 D．x≠−1且x≠2【变式52】求函数y=2−x2x−3【变式53】求下列函数中自变量的取值范围．①y=−52x−1②y=2x−1【变式54】求下列函数中自变量x的取值范围．y=x−2+1x−3函数值是的函数，如果当＝时＝，那么叫做当自变量为时的函数值.注意：对于每个确定的自变量值，函数值是唯一的，但反过来，可以不唯一，即一个函数值对应的自变量可以是多个.比如：中，当函数值为4时，自变量的值为±2.题型6：函数值的定义6.已知一次函数y＝ax－3，当x＝1时，y＝7，当x＝－2时，求y的值.【变式61】当自变量x取何值时，函数y=52【变式62】某地海拔高度h与温度T的关系可用T=216h来表示(其中温度单位为℃，海拔高度单位为km)，则该地区某海拔高度为2000m的山顶上的温度为()A．9℃ B．7℃ C．6℃ D．3℃【变式63】已知函数y=2x−1x+2【变式64】当x=2及x=﹣3时，分别求出下列函数的函数值：（1）y=（x+1）（x﹣2）；（2）y=x+2x−1题型7：构建简单函数（几何图形）7.如图，在靠墙（墙长8m）的地方围建一个矩形的养鸡场，另外三边用栅栏围成，如果栅栏总长为32m，求鸡场的一边y（m）与另一边x（m）的函数关系式，并求出自变量的取值范围．【变式71】如图，正方形ABCD的边长为2，P为DC上的点（不与C，D点重合）．设线段DP的长为x，求梯形ABCP的面积y关于x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围．【变式72】如图，等腰直角三角形ABC的直角边长与正方形MNPQ的边长均为10cm，AC与MN在同一直线上，开始时A点与M点重合，让△ABC向右运动，最后A点与N点重合．试写出重叠部分的面积ycm2与MA的长度xcm之间的关系式，并指出其中的常量与变量．【变式73】圆柱的底面半径是2cm，当圆柱的高h（cm）由大到小变化时，圆柱的体积V（cm3）随之发生变化．（1）在这个变化过程中，自变量和因变量各是什么？（2）在这个变化过程中，写出圆柱的体积为V与高h之间的关系式？（3）当h由5cm变化到10cm时，V是怎样变化的？（4）当h=7cm时，v的值等于多少？题型8：构建记得函数（实际问题）8.物体从高处自由下落的高度h(m)与物体下落的时间t(s)之间的函数关系式是：h＝12gt2(g表示重力加速度，g取9.8m/s2)．某人发现头顶上空490m处有一炸弹自由下落，其地面杀伤半径为50m，此人发现后，立即以6m/s的速度逃离，那么此人有无危险？【变式81】为了增强居民的节水意识，某城区水价执行“阶梯式”计费，每月应缴水费y(元)与用水量x(t)之间的函数关系如图所示．若某用户去年5月缴水费18.05元，求该用户当月用水量．【变式82】希望中学学生从2021年12月份开始每周喝营养牛奶，单