专题227相似三角形的八大经典模型（沪科版）

专题22.7相似三角形的八大经典模型【沪科版】TOC\o"13"\h\u【题型1A字型】 2【题型2“8”字形】 6【题型3AX字型】 9【题型4子母型】 16【题型5双垂直型】 23【题型6一线三等角型】 31【题型7手拉手型】 40【题型8三角形内接矩形型】 52【基本模型1A字型】①如图，在中，点D在上，点E在上，，则，．②模型拓展1：斜交A字型条件：，图2结论：；③模型拓展2：如图，∠ACD＝∠B⇔△ADC∽△ACB⇔．【题型1A字型】【例1】（2023·安徽滁州·校考一模）如图，已知AB⊥BC、DC⊥BC，AC与BD相交于点O，作OM⊥BC于点M，点E是BD的中点，EF⊥BC于点G，交AC于点F，若AB=4

A．75 B．125 C．35【答案】A【分析】证明△COM∽△CAB，△BOM∽△BDC，OMAB=CMBC，【详解】解：∵AB⊥BC、DC∴OM∥∴△COM∽△CAB∴OMAB=CM∴OM4=CM∴OM=∵EF∴EG∥∵点E是BD的中点，∴BE∴BG∴CF∴EG=12∴EF=∴OM-故选：A．【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，平行线的判定，解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定，求出OM=【变式11】（2023春·四川成都·九年级校考开学考试）如图，在△ABC中，AD=DE=EB，AF=FG

【答案】5【分析】根据题意可得：AGAC=AEAB=23，AF【详解】解：∵AD=DE∴AGAC=又∵∠∴△∴S∴S∴S故答案为：5【点睛】此题考查了相似三角形的判定与性质，解题的关键是熟练掌握相关基础知识，正确求得S△【变式12】（2023·安徽滁州·校考一模）在等边三角形ABC中，AB=6，D、E是BC上的动点，F是AB上的动点，且BF=BD=EC=2【答案】1【分析】证明△BDF【详解】解：∵△ABC是等边三角形，AB∴AB=BC∵BD=BF∴△BDE是等边三角形，∠∴∠BDF∴DF∴△BDF∴S∵BD=EC∴BD∴S∴S故答案为：19【点睛】本题考查了等边三角形的性质，相似三角形的性质与判定，掌握等边三角形的性质是解题的关键．【变式13】（2023春·江苏苏州·九年级校考阶段练习）如图，△ABC中，∠ACB=90°，BC=2，AC=4，若正方形DEFC的顶点D在AB上，顶点F、G都在AC上，射线AF交BC边于点H

【答案】4【分析】证明△ADG∽△ABC，△AEF∽△AHC，由相似三角形的性质得出DGBC=AGAC，EFCH【详解】解：∵四边形DGFE为正方形，∠ACB∴DG∥EF∥BC∴△ADG∽△ABC，∴DGBC=AGAC，设DG=EF∴x2=AG4∴AG=2x∴xCH=∴CH=4故答案为43【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，正方形的性质，勾股定理，证明△ADG∽△ABC【基本模型2“8”字形】①如图1，AB∥CD⇔△AOB∽△COD⇔；②如图2，∠A＝∠D⇔△AOB∽△DOC⇔．③模型拓展：如图，∠A＝∠C⇔△AJB∽△CJD⇔．【题型2“8”字形】【例2】（2023·安徽·九年级专题练习）如图，在平行四边形ABCD中，点E是AD上一点，AE=2ED，连接BE交AC于点G，延长BE交CD的延长线于点F，则A．23 B．12 C．13 D【答案】A【分析】先根据平行四边形的性质得到AB∥CD，则可判断△ABG∽△CFG，△ABE∽△DFE，于是根据相似三角形的性质和AE＝2ED即可得结果．【详解】解：∵四边形ABCD为平行四边形，∴AB∥CD，∴△ABG∽△CFG，∴BGGF＝∵△ABE∽△DFE，∴AEDE＝AB∵AE＝2ED，∴AB＝2DF，∴ABCF＝2∴BGGF＝2故选：A．【点睛】本题考查了平行四边形的性质，相似三角形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定和性质进行解题．【变式21】（2023春·广东深圳·九年级校考开学考试）如图，已知BD与CE相交于点A，DE∥BC，若AD=2，AB=3，AC

【答案】4【分析】证明△ABC∽△【详解】解：∵DE∥∴△ABC∴ABAD即32∴AE=4故答案为：4．【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，熟记性质是解题的关键．【变式22】（2023春·陕西宝鸡·九年级校考期末）如图，正方形ABCD的边长为4，点E在边AD上，AE=3，连接BE交AC于点F，过点F作FG∥BC，交CD于点G

【答案】16【分析】利用正方形性质，找到△CBF【详解】解：∵四边形ABCD是正方形，∴AD∥∴∠CBF=∠AEF∴△CBF∴CFAF∴CFCA∵FG∥BC，∴FG∥∴FGAD∴FG=【点睛】本题主要考查了正方形的性质，相似三角形的性质与判定等，灵活运用所学知识是解题的关键．【变式23】（2023春·安徽·九年级专题练习）如图，E，F为矩形ABCD内两点，AE⊥EF，CF垂直EF，垂足分别为E、F，若AE=1，CF=2，EF=4A．103 B．5 C．53 D【答案】B【分析】连接AC，交EF于点M，BD于O，根据相似三角形的判定和性质和勾股定理解答．【详解】解：连接AC，交EF于点M，BD于O，

∵AE⊥EF，∴∠AEM∵∠AMF∴△AEM∴AECF=∵AE=1，CF=2，∴EM=43在Rt△AEM中，在Rt△CFM中，∴AC=AM∵四边形ABCD是矩形，∴BD=AC故选：B．【点睛】本题主要考查矩形的性质及相似三角形的判定和性质，构造三角形相似利用相似三角形的对应边成比例求得AC的长是解题的关键，注意勾股定理的应用．【基本模型3AX字型】A字型及X字型两者相结合，通过线段比进行转化.【题型3AX字型】【例3】（2023春·山东烟台·九年级统考期末）如图，M是平行四边形ABCD的对角线AC上的一点，射线BM与AD交于点F，与CD的延长线交于点H．

(1)图中相似三角形有______对；(2)若AD2=【答案】(1)6(2)∠【分析】（1）先根据平行四边形的性质可得AB∥（2）先根据相似三角形的判定证出△BCM∽△ACB，再根据相似三角形的性质可得∠【详解】（1）解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∴△ABM∽△CHM，△ABF∽△∴△ABF又∵AB∴∠ACB∴△ACB综上，图中相似三角形有6对，故答案为：6．（2）解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD=BC，∵AD∴BC∴BCCA∵∠BCM∴△BCM∴∠BMC又∵AB∥∴∠ABC∴∠BMC又∵∠BMA+∠BMC∴∠BCD【点睛】本题考查了平行四边形的性质、相似三角形的判定与性质等知识点，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题关键．【变式31】（2023春·河南许昌·九年级统考期末）如图，D、E分别是△ABC的边AB，BC上的点，DE∥

【答案】4:25【分析】根据S△BDE:S△CDE=2:3可得BECE=【详解】解：∵S△∴BE∴BE∵DE∥∴△BDE∴BE∵DE∥∴△ODE∴S即S△故答案为：4:25．【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，两个相似三角形的面积比关于相似比的平方，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．【变式32】（2023春·重庆巴南·九年级统考期中）如图，在矩形ABCD中，过C作CE⊥BD于E点，交AB于F点，连接AE.若F是AB中点，且BC=8，则

【答案】8【分析】根据矩形的性质和相似三角形的判定和性质，可以求得AM和EM的长，再根据勾股定理，即可得到AE的长．【详解】解：过点E作MN⊥AB，交AB于点M，交CD于点

∵CE∴∠CEB∵四边形ABCD是矩形，∴∠BCD=90°，BA=又∵∠EBC∴△CBE∴BC∴B∵F是AB中点，BF∴△BEF∴BE∴ME设BE=x，则DE=2∵BC=8，∴82=3解得x=∴BE∴BM∵EM∴BM∴AM∵∠EMA∴AE故答案为：8．【点睛】本题考查相似三角形的判定与性质、矩形的性质、勾股定理，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．【变式33】（2023春·浙江杭州·九年级校考期中）如图，在▱ABCD中，点E在AB上，AE=13AB，ED和AC相交于点F，过点F作FG

(1)求FG:(2)若AB:①求证：∠AEF②求证：DF【答案】(1)FG(2)①详见解析；②详见解析【分析】（1）结合题意，根据平行线的性质，通过证明△AFE∽△CFD，得FD=3EF（2）①AC=2a，根据题意计算得AB、AE；结合（1）的结论，得AF，从而推导得②根据（2）①的结论以及平行线的性质，证明△DFG【详解】（1）解：∵▱ABCD∴AB∥∴∠EAF∵∠AFE∴△AFE∴EFFD∵AE=13∴EFFD=AE∵FG∥∴∠AED∵∠ADE∴△ADE∴FGAE=FD（2）证明：①设AC=2∵AB:∴AB=∴AE=由（1）的结论，得：AECD∴AF=∴AE⋅即：AEAC∵∠EAF∴△EAF∴∠AEF②∵FG∥∴∠DFG∵△EAF∴∠AEF∵AD∥∴∠ACB∴∠DFG∵∠FDG∴△DFG∴DFDA∴DF【点睛】本题考查了平行四边形、平行线、相似三角形的知识；解题的关键是熟练掌握平行线、相似三角形的性质，从而完成求解．【基本模型4子母型】如图为斜“A”字型基本图形．当时，，则有．．如图所示，当E点与C点重合时，为其常见的一个变形，即子母型．当时，，则有．【题型4子母型】【例4】（2023春·安徽滁州·九年级统考期中）如图，在△ABC中，D是BC上的点，E是AD上一点，且ABAC=ADCE，∠BAD（1）求证：AC2＝BC•CD；（2）若AD是△ABC的中线，求CEAC【答案】（1）证明见解析；（2）2【分析】（1）首先利用相似三角形的判定得出△BAD∽△ACE△，得∠（2）由△BAD∽△ACE可证∠CDE=∠CED，进而得出CD【详解】（1）证明：∵ABAC=AD∴ΔBAD∴∠B∵∠ACB∴△ABC∴ACCD∴A（2）解：∵△BAD∴∠BDA∴∠CDE∴CD∵AD是△ABC的中线，∴BC∴AC2∴CEAC【点睛】此题主要考查了相似三角形的判定与性质以及重心的性质等知识，根据已知得出△BAD【变式41】（2023春·安徽蚌埠·九年级校考期中）如图，在△ABC中，D为BC边上的一点，且AC=26，CD＝4，BD＝2，求证：△ACD∽△BCA【答案】证明见解析．【分析】根据AC=26，CD＝4，BD＝2，可得ACBC=CDAC，根据【详解】解：∵AC=26，CD＝4，BD＝∴ACBC=∴AC∵∠C=∠C∴△ACD∽△BCA．【点睛】本题考查了相似三角形的性质和判定，掌握知识点是解题关键．【变式42】（2023春·安徽合肥·九年级校考期中）△ABC中，∠ABC=90°，BD⊥AC，点E为BD的中点，连接AE并延长交BC于点F，且有AF=CF（1）求证：△ADE（2）求证：AE=（3）若FH=3，求【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）4．【分析】（1）先根据垂直的定义可得∠ADE=∠CDB（2）先根据相似三角形的性质可得ADCD=DEDB=（3）先根据相似三角形的判定与性质可得DEFH=AEAF，从而可得DE,BD的长，再根据相似三角形的判定可得【详解】证明：（1）∵BD∴∠ADE∵AF∴∠DAE在△ADE和△CDB中，∴△ADE（2）∵点E为BD的中点，∴DE由（1）已证：△ADE∴AD设AD=a(a>0)∵FH∴AH∴DH又∵BD∴AE即AE=2（3）由（2）已证：AE=2∴AE∵BD∴△ADE∴DEFH=解得DE=∴BD∵∠ABC∴∠BAC∴∠ABD在△ABD和△BCD中，∴△ABD∴AD由（2）可知，设AD=b(∴b解得b=263∴CD则在Rt△BCD中，【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、勾股定理等知识点，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题关键．【变式43】（2023·安徽合肥·统考一模）如图1，AB=AC=2CD，DC∥AB，将△ACD绕点C逆时针旋转得到△FCE，使点D落在AC的点E处，AB与CF相交于点O，(1)求证：△ABE(2)求证：AC∥(3)若点D，E，F在同一条直线上，如图2，求ABBC的值．（【答案】(1)见解析(2)见解析(3)2【分析】（1）根据旋转变换的性质得到旋转前后两个三角形全等，从而得到CE=CD，根据AC=2CD，就能得到（2）根据旋转和第一小题的结论，可以得到BE=FE，然后用等角对等边即可得到∠EFB=∠EBF，又可以从前面的两个全等中得到∠EFC=∠EBA，∠OAC（3）根据D，E，F在同一条直线上，可以证明△AEG和△CED全等，即可得到AG=12AB，那么EG就是中位线，则EG∥CB，加上第二小题结论就能得到四边形BCEF【详解】（1）解：∵将△ACD绕点C逆时针旋转得到△FCE∴△FCE∴CE∵AC∴AC∴AE∵∴∠DCA在△ABE和△∵AE∴△ABE（2）解：由（1）得BE=AD，∵△CEF∴FE=AD∴BE=FE∴∠EFB∵∠OFB=∠EFB∴∠OFB∵∠ECF∴∠OAC∵∠OCA+∠OAC又∠AOC∴∠OCA即2∠CAO∴∠∴（3）解：在△AEG和△∵∠∴△∴AG∵AE∴EG∵AC∴四边形BCEF是平行四边形，∴BC∵∠AEG∴∠ADE∵∠CAD∴△ACD∴EA即DA∴DA∵AB∴AB【点睛】本题考查了三角形全等的证明，平行线的判定以及利用相似三角形求线段长之比，解题时需要学会将多个小题的结论联系起来，把前面小题的结论用到后面小题的思路中，熟练寻找证明三角形全等或相似所需要的条件是解题的关键．【基本模型5双垂直型】①如图，直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形与原三角形相似，即△ACD∽△ABC∽△CBD.常见的结论有：CA2＝AD·AB，BC2＝BD·BA，CD2＝DA·DB.②拓展：（1）正方形、长方形中经常会出现射影定理模型，如图，在和内均有射影定理模型．（2）如图，在圆中也会出现射影定理模型．【题型5双垂直型】【例5】（2023春·陕西西安·九年级校考阶段练习）如图，在矩形ABCD中，AB=8，BC=6，点E在边BC上，CE=2，若点P、Q分别为边CD与AB上两个动点，线段PQ始终满足与AE垂直且垂足为F，则AP【答案】5【分析】过点Q作QH⊥CD于点H．利用相似三角形的性质求出PH=3，设BQ=x，则CH=x，PD=5-x，AP+QE=62+(5-x)2+x2+42【详解】解：如图，过点Q作QH⊥CD于点∵四边形ABCD是矩形，∴AB=CD=8，∵CE∴BE∵QH∴∠B∴四边形BCHQ是矩形，∴BQ=CH，BC∴∠AQH∵AE∴∠QAF+∠AQP∴∠BAE∴△ABE∴ABQH∴86∴PH设BQ=x，则CH=∴AP欲求AP+QE的最小值，相当于在x轴上找一点M(x,0)，使得点M到J作点J关于x轴的对称点J'，连接K∵K(5,6)，∴K∵MJ∴JM+MK∴AP+QE故答案为：55【点睛】本题考查矩形的性质，轴对称最短问题，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造相似三角形解决问题，学会用转化的思想思考问题，属于中考填空题中的压轴题．【变式51】（2023春·福建莆田·九年级校考期末）【问题