第四章第四节第1课时　利用导数研究恒(能)成立问题

第四节导数的综合应用第1课时利用导数研究恒(能)成立问题【命题分析】恒(能)成立问题与有解问题是高考数学的重要知识,其中不等式恒成立问题经常与导数及其几何意义、函数、方程等知识相交汇,综合考查学生分析问题、解决问题的能力,一般作为压轴题出现.【核心考点·分类突破】题型一分离参数求参数范围[例1]已知f(x)=xlnx,g(x)=x3+ax2x+2.(1)求函数f(x)的单调区间;(2)若对任意x∈(0,+∞),2f(x)≤g'(x)+2恒成立,求实数a的取值范围.【解析】(1)因为f(x)=xlnx,所以f'(x)=lnx+1.令f'(x)<0,得lnx+1<0,解得0<x<1e,所以f(x)的单调递减区间是(0,1e).令f'(x)>0,得lnx+1>0,解得x>1e,所以f(x)的单调递增区间是(综上,f(x)的单调递减区间是(0,1e),单调递增区间是(1e(2)因为g'(x)=3x2+2ax1,由题意得2xlnx≤3x2+2ax+1恒成立.因为x>0,所以a≥lnx32x12x在(0,+∞)上恒成立.设h(x)=lnx32x12x(x>0),则h'(x)=1x32+12x2=(x-1)(3x+1当x变化时,h'(x),h(x)的变化情况如表:x(0,1)1(1,+∞)h'(x)+0h(x)↗极大值↘所以当x=1时,h(x)取得极大值,也是最大值,且h(x)max=h(1)=2,所以若a≥h(x)在(0,+∞)上恒成立,则a≥h(x)max=2,即a≥2,故实数a的取值范围是[2,+∞).【解题技法】分离参数法解决恒(能)成立问题的策略(1)分离变量.构造函数,直接把问题转化为函数的最值问题.(2)a≥f(x)恒成立⇔a≥f(x)max;a≤f(x)恒成立⇔a≤f(x)min;存在x,a≥f(x)成立⇔a≥f(x)min;存在x,a≤f(x)成立⇔a≤f(x)max.【对点训练】(2023·成都诊断节选)已知函数f(x)=sinx2ax,a∈R,若关于x的不等式f(x)≤cosx1在区间(π2,π)上恒成立,求a的取值范围【解析】不等式f(x)≤cosx1在区间(π2,π)上恒成立,即2a≥sinx-cosx+1设g(x)=sinx-cosx+1x,则设h(x)=xcosx+xsinxsinx+cosx1,则h'(x)=xsinx+xcosx=x(cosxsinx).因为当x∈(π2,π)时,sinx>0,cosx<0,所以当x∈(π2,π)时,h'(所以函数h(x)在(π2,π)上单调递减因为h(π2)=π22<0,所以当x∈(π2,π)时,h(x)<0,即g'(x)<0,所以函数g(x)在(π因为g(π2)=4π,所以当x∈(π2,π)时,有g(x)<4π,所以a≥2π,所以a【加练备选】(2020·全国Ⅰ卷节选)已知函数f(x)=ex+ax2x.当x≥0时,f(x)≥12x3+1恒成立,求a的取值范围【解析】由f(x)≥12x3+1得ex+ax2x≥12x3+1,其中①当x=0时,不等式为1≥1,显然成立,此时a∈R.②当x>0时,分离参数a,得a≥ex记g(x)=ex则g'(x)=(x令h(x)=ex12x2x1(x>0),则h'(x)=exx令H(x)=exx1,H'(x)=ex1>0,故h'(x)在(0,+∞)上单调递增,因此h'(x)>h'(0)=0,故函数h(x)在(0,+∞)上单调递增,所以h(x)>h(0)=0,即ex12x2x1>0恒成立故当x∈(0,2)时,g'(x)>0,g(x)单调递增;当x∈(2,+∞)时,g'(x)<0,g(x)单调递减,因此,g(x)max=g(2)=7-综上,实数a的取值范围是[7-e题型二等价转化求参数范围[例2]已知函数f(x)=alnxexx+ax,a∈(1)当a<0时,讨论f(x)的单调性;(2)设g(x)=f(x)+xf'(x),若关于x的不等式g(x)≤ex+x22+(a1)x在[1,2]上有解,求实数a【解析】(1)由题意知,f'(x)=axxex-exx当a<0时,axex<0恒成立,所以当x>1时,f'(x)<0,当0<x<1时,f'(x)>0,故函数f(x)在(0,1)上单调递增,在(1,+∞)上单调递减.(2)因为g(x)=f(x)+xf'(x),所以g(x)=alnxex+2axa,由题意知,存在x∈[1,2],使得g(x)≤ex+x22+(a1)x成立,即存在x∈[1,2],使得alnx+(a+1)xx22令h(x)=alnx+(a+1)xx22a,x则h'(x)=-ax+a+1x=x∈[1,2].①当a≤1时,h'(x)≤0,所以函数h(x)在[1,2]上单调递减,所以h(x)min=h(2)=aln2+a≤0成立,解得a≤0.②当1<a<2时,令h'(x)>0,解得1<x<a;令h'(x)<0,解得a<x<2,所以函数h(x)在[1,a]上单调递增,在[a,2]上单调递减.又因为h(1)=12,所以h(2)=aln2+a≤0,解得a≤0,与1<a<2矛盾,故舍去③当a≥2时,h'(x)≥0,所以函数h(x)在[1,2]上单调递增,所以h(x)min=h(1)=12>0,不符合题意综上所述,实数a的取值范围为(∞,0].【解题技法】等价转化法解决恒成立问题的策略(1)遇到f(x)≥g(x)型的不等式恒成立问题时,一般采用作差法,构造“左减右”的函数h(x)=f(x)g(x)或“右减左”的函数u(x)=g(x)f(x),进而只需满足h(x)min≥0或u(x)max≤0.(2)将比较法的思想融入函数中,转化为求解函数最值的问题,适用范围较广,但是往往需要对参数进行分类讨论.【对点训练】已知函数f(x)=axlnx.(1)讨论函数f(x)的单调性;(2)若x=1为函数f(x)的极值点,当x∈[e,+∞)时,不等式x[f(x)x+1]≤m(ex)恒成立,求实数m的取值范围.【解析】(1)f'(x)=a1x=ax-1①当a≤0时,f'(x)<0恒成立,所以f(x)在(0,+∞)上单调递减;②当a>0时,令f'(x)>0,得x>1a,令f'(x)<0,得0<x<1所以f(x)在(1a,+∞)上单调递增,在(0,1a)综上,当a≤0时,f(x)在(0,+∞)上单调递减;当a>0时,f(x)在(1a,+∞)上单调递增,在(0,1a)(2)因为x=1为函数f(x)的极值点,所以f'(1)=0,所以a=1,f(x)=xlnx,x[f(x)x+1]=x(1lnx),当x∈[e,+∞)时,不等式x[f(x)x+1]≤m(ex)⇔x(1lnx)≤m(ex),即x(1lnx)m(ex)≤0,令g(x)=x(1lnx)m(ex),g(e)=0,g'(x)=mlnx,x∈[e,+∞),若m≤1,g'(x)≤0在[e,+∞)上恒成立,则g(x)在[e,+∞)上单调递减,所以g(x)≤g(e)=0,满足题意.若m>1,由g'(x)>0,可得e≤x<em,则g(x)在[e,em)上单调递增,所以在[e,em)上存在x0使得g(x0)>g(e)=0,与题意不符,综上,实数m的取值范围为(∞,1].题型三双变量的恒(能)成立问题[例3]已知函数f(x)=a(x2-x-1)(1)求函数f(x)的单调区间;(2)若∀x1,x2∈[0,4],不等式|f(x1)f(x2)|<1恒成立,求实数a的取值范围.【解析】(1)因为f(x)=a(x2-x所以f'(x)=-ax(x-3)因为a>0,所以令f'(x)>0,得0<x<3;令f'(x)<0,得x<0或x>3,所以f(x)的单调递增区间为(0,3),单调递减区间为(∞,0)和(3,+∞).(2)由(1)知,f(x)在(0,3)上单调递增,在(3,4)上单调递减,所以f(x)在[0,4]上的最大值是f(3)=5a又f(0)=a<0,f(4)=11ae4>0,所以f(0)<f(4),所以f(x)在[0,4]上的最小值为f(0)=a.若∀x1,x2∈[0,4],不等式|f(x1)f(x2)|<1恒成立,则需f(x)maxf(x)min<1在[0,4]上恒成立,即f(3)f(0)<1,即5ae3+a<1,解得a又a>0,所以0<a<e3故实数a的取值范围为(0,e35+【解题技法】双变量的恒(能)成立问题中常见的转化(1)∀x1∈M,∃x2∈N,f(x1)>g(x2)⇔f(x)min>g(x)min.(2)∀x1∈M,∀x2∈N,f(x1)>g(x2)⇔f(x)min>g(x)max.(3)∃x1∈M,∃x2∈N,f(x1)>g(x2)⇔f(x)max>g(x)min.(4)∃x1∈M,∀x2∈N,f(x1)>g(x2)⇔f(x)max>g(x)max.【对点训练】已知函数f(x)=x(a+1)lnxax(a∈R),g(x)=12x2+exxe(1)当x∈[1,e]时,求f(x)的最小值;(2)当a<1时,若存在x1∈[e,e2],使得对任意的x2∈[2,0],f(x1)<g(x2)恒成立,求a的取值范围.【解析】(1)f(x)的定义域为(0,+∞),f'(x)=(x①若a≤1,当x∈[1,e]时,f'(x)≥0,f(x)在[1,e]上单调递增,f(x)min=f(1)=1a.②若1<a<e,当x∈[1,a]时,f'(x)≤0,f(x)单调递减;当x∈[a,e]时,f'(x)≥0,f(x)单调递增,所以f(x)min=f(a)=a(a+1)lna1.③若a≥e,当x∈[1,e]时,f'(x)≤0,f(x)在[1,e]上单调递减,f(x)min=f(e)=e(a+1)ae综上,当a≤1时,f(x)min=1a;当1<a<e时,f(x)min=a(a+1)lna1;当a≥e时,f(x)min=e(a+1)ae(2)由题意知f(x)(x∈[e,e2])的最小值小于g(x)(x∈[2,0])的最小值.由(1)知f(x)在[e,e2]上单调递增,所以f(x)min=f(e)=e(a+1)ae又g'(x)=(1ex)x,所以当x∈[2,0]时,g'(x)≤0,g(x)在[2,0]上单调递减,则g(x)min=g(0)=1,所以e(a+1)ae<1,解得a>e所以a的取值范围为(e2-【加练备选】(2023·石家庄质检)已知函数f(x)=ax2lnx与g(x)=x2bx.(1)若f(x)与g(x)在x=1处有相同的切线,求a,b,并证明f(x)≥g(x);(2)若对∀x∈[1,e],都∃b∈[1,e2]使f(x)≥g(x)恒成立,求a的取值范围【解析】(1)f'(x)=2axlnx+ax,g'(x)=2xb,因为函数f(x)与g(x)在x=1处有相同的切线,所以f(1解得a此时f(x)=x2lnx,g(x)=x2x.要证f(x)≥g(x),即证x2lnx≥x2x,即xlnx≥x1,令h(x)=xlnxx+1,则h'(x)=lnx,且h'(1)=0,当x∈(0,1)时,h'(x)<0,当x∈(1,+∞)时,h'(x)>0,所以h(x)在(0,1)上单调递减,在(1,+∞)上单调递增,所以h(x)≥h(1)=0,即f(x)≥g(x).(2)欲使f(x)≥g(x)恒成立,即ax2lnx≥x2bx恒成立,即axlnxx≥b恒成立,因为∃b∈[1,e2]使f(x)≥g(x)恒成立所以axlnxx≥e2恒成立当x=1时