4.2.1-对数运算教学设计

第四章指数函数、对数函数与幂函数4.2对数与对数函数4.2.1对数运算本节课要学的内容是对数运算及常用的对数与自然对数，其核心是弄清楚对数的概念，掌握对数的运算性质，理解它的关键就是通过实例使学生认识对数式与指数式的关系，分析得出对数的概念及对数式与指数式的互化，通过实例推导对数的运算性质。由于它还与后续很多内容，比如对数函数及其性质，这也是高考必考内容之一，所以在本学科有着很重要的地位。教学的重点是对数的概念，对数的运算。解决重点的关键是抓住对数的概念、并让学生掌握对数式与指数式的互化：通过实例推导对数的运算性质，让学生准确地运用对数运算性质进行运算.考点教学目标核心素养对数的概念了解对数、常用对数、自然对数的概念，会用对数的定义进行对数式与指数式的互化数学抽象、数学运算对数的基本性质理解和掌握对数的性质，会求简单的对数值数学运算【教学重点】理解对数的概念，对数式与指数式的互化以及对数性质.理解和掌握常用对数与自然对数.【教学难点】1、推导对数性质.预习教材P15－P18的内容，思考以下问题：1．对数的概念是什么？对数有哪些性质？2．什么是常用对数、自然对数？3．对数恒等式是什么？4．如何进行对数式和指数式的互化？【情境与问题】（（1）地震的里氏震级是根据最大振幅计算出来的。2008年5月12日，我国四川纹用发生了地震，速报震级为里氏7.8级，修订后的震级为里氏8.0级。震级相差0.2，最大振幅之间具有什么关系？（2）化学学科中，我们用pH表示溶液的酸碱性，pH是由c（H+）（即溶液中H+的来度）决定的.pH=7和pH=8的两种溶液，它们的c（H+）有什么关系？上述情境中两个问题的答案，都与对数知识有关.对数的概念在关系式ab=N中，以a或N为未知数的方程，我们都已经接触过，例如x5=32，23=x等，本节要研究b为未知数的情形，即求解类似2x=64的方程.【尝试与发现】说出2说出2x=64的一个实数根判断方程2x=64的实数根的个数，并说明理由。因为26=64，所以x=6一定是2x=64的实数根，再由y=2x是一个增函数可知2x=64有唯一的实数解x=6.我们已经知道，当a>0且a≠1时，指数函数y=ax是定义域为R，值域为（0，+∞）的单调函数，这就意味着，如下图所示，任意给定y0∈（0，+oo），存在唯一的x0∈R，使得y0=ax0因此，在表达式ab=N（a>0且a≠1，N∈（0，+oo））中，当a与N确定之后，只有唯一的b能满足这个式子，此时，幂指数b称为以以a为底N的对数，记作b=logaN，其中a称为对数的底数，N称为对数的真数。例如，由前面的尝试与发现可知，因为26=64，所以log264=6.由上可以看出，当a>0且a≠1时，b=logaN的充要条件是ab=N.由此可知，只有N＞0时，logaN才有意义，这通常简称为“负数和零没有对数”.我们可以举出更多对数的例子：因为42=16，所以2是以4为底16的对数，即log416=2，即42=16⇔log416=2，另外，41=4⇔log44=1，⇔log42=4-1=⇔log4=-1⇔log4=-【典型例题】例1已知a>0且a≠1，求loga1与logaa的值.解：因为a0=1，a1=a，所以loga1=0，logaa=1.例1的结论可以简述为“1的对数为0”“底的对数为1”.由上可知，指数表达式ab=N与对数表达式b=logaN实际上表示的是同一数量关系，如果把对数表达式中的b代入指数表达式，则可得alogaN=N；类似地，如果把指数表达式中的N代人对数表达式，则有logaab=b例如，2log232=32，log10103=3.例2求下列各式的值：（1）log216；（2）log2（3）52log53解：（1）因为24=16，所以l0g216=4.（2）因为2-1=，所以log2=-1（3）因为5log53=3，所以52log53=(5log53)2=32=9对数发明起源的简介几乎所有的现代数学书（包括我们这本）中，对数运算是通过解指数方程来引入的、但是，你知道吗？对数发明的起源并不完全是这样的！这是不是多多少少让你觉得有些意外？事实上，对数是简化繁杂运算的产物。16世纪时，科学技术的飞速发展对计算技术的改进提出了前所未有的需求，为了简化数值计算，自然希望将乘除法归结为简单的加减法.当时已经有数学家发现这在某些请况下是可以实现的。比如，利用以下2的幂次的对应表可以方便地算出16×256的值。456789101112163264128256512102420484096首先，在第二行找到16与256；然后找出它们在第一行中对应的效，即4与8，并求它们的和，即12；最后在第一行中找到12.读出其对应的第二行中的数4096，这就是16×256的值。用类似的方法可以算出的值.当然，用这个表格解决不了一般的两个数相乘与相除的问题。但是，不难想到，如果上述表格中第二行的数足够密，就能用类似的方法算出更多的乘积。苏格兰数学家纳皮尔在17世纪的时候发明了对数方法。后来的人们利用对数表就大大简化了有关乘除运算，简化的过程类似于计算上述16×256的过程，只不过查表的过程更加复杂。二、常用对数与自然对数以10为底的对数称为常用对数，即log10N是常用对数.为了简便起见，常用对数的表示中，通常把底10略去不写，并把“log”写成“lg”，即把log10N简写为lgN.后续如果没有指出对数的底，则默认为指的都是常用对数.例如，“100的对数是2”，就是指“100的常用对数是2”.在科学技术中，常常还使用以无理数e=2.71828...为底的对数，以e为底的对数称为自然对数，自然对数logeN通常简写为lnN.【典型例题】例3求下列各式的值：（1）lg10；（2）lg100；（3）1g0.01；（4）lne5.解：（1）因为101=10，所以lg10=1.（2）因为102=100，所以lg100=2（3）因为10-2=0.01，所以1g0.01=-2（4）因为logaab=b，所以lne5=5例4已知log4a=log25b=，求lg(ab)的值.解：由log4a=log25b=可得，所以所以lg(ab)=2.三、用信息技术计算常用对数与自然对数常用对数与自然对数的值，可以通过科学计算器和计算机软件求得.下图（1）是某特定型号计算器上的常用对数按钮和自然对数按钮，图（2）显示的是用GeoGebra计算lg2017和ln2017的结果.下面我们来给出本节情境与问题中里氏震级问题的答案.里氏震级的计算公式为M=lgA/A0，其中A是被测地震的最大振幅，A0是“标准地震”的振幅.用A7.8和A8.0分别表示震级为7.8和8.0的最大振幅，则有7.8=lgA7.8/A08.0=lgA8.0/A0从而A7.8/A0=107.8，A8.0/A0=108.0，因此A8.0/A7.8=108.0/107.8=100.2≈1.58，即A8.0≈1.58A7.8情境中与pH有关的问题可用类似的方法解决，留作