2023年《直线及其方程课时4》教学设计

高中数学精编资源3/3《直线及其方程》教学设计课时4直线的两点式方程与一般式方程必备知识学科能力学科素养高考考向直线的倾斜角与斜率学习理解能力观察记忆概括理解说明论证应用实践能力分析计算推测解释简单问题解决迁移创新能力综合问题解决猜想探究发现创新数学抽象直观想象数学运算逻辑推理【考查内容】1.掌握确定直线位置的几何要素2.掌握直线方程的五种形式3.通过直线的方程研究两条直线的位置关系,交点坐标和点到直线的距离【考查题型】填空题,选择题,解答题直线的方程数学抽象直观想象数学运算逻辑推理数学建模两条直线的位置关系数学抽象直观想象数学运算逻辑推理数学建模点到直线的距离数学抽象直观想象数学运算逻辑推理数学建模一、本节内容分析“直线及其方程”作为高中平面解析几何的第二节,既是对初中所学“一次函数”的延展,又是后续学习“圆及其方程”“曲线与方程”的基石,它起着承上启下的作用.在用有序实数对表示点之后,直线作为平面中最简单的图形,它的坐标化既是自然延续,又是圆与圆锥曲线坐标化的前提,这体现了教材编排的系统性,以及由易到难、由浅入深的编排特点.而坐标法作为连接“形”与“数”的桥梁,作为平面解析几何的基本思想,集中地体现了数形结合的数学思想,这种思想贯穿于平面解析几何始末.本节包含的核心知识和体现的核心素养如下:核心知识1.直线的倾斜角与斜率2.直线的方程3.两条直线的位置关系4.点到直线的距离直观想象数学抽象逻辑推理数学运算数学建模核心素养二、学情整体分析从认知水平和能力方面,高中二年级学生具有较强的观察、分析、概括能力,有着较丰富的学习经验及活动经验,形成了自发地参与意识和合作意识,可以很好地理解直线的倾斜角、斜率、直线的方程、直线的平行与垂直、两条直线的交点及距离公式等知识.学情补充:_____________________________________________________________________________________________________________________________________________________三、教学活动准备【任务专题设计】1.直线的倾斜角与斜率2.直线的方向向量与法向量3.直线的点斜式方程与斜截式方程4.直线的两点式方程与一般式方程5.两条直线的相交、平行与重合6.两条直线的垂直7.点到直线的距离公式【教学目标设计】1.通过“回顾与梳理”理解倾斜角等基本概念,掌握距离公式等主要知识.2.通过知识的再现与延展理解知识间的内在联系,形成系统的知识结构.3.体会数形结合思想,初步形成主动在“数”与“形”之间进行转化的意识.【教学策略设计】高中数学的课堂,一定要让学生成为课堂教学的主体,首先让学生参与到知识的生成过程中来,引导学生进行深入的剖析,积累活动经验和方法,教师可以适当提问,创设情境,设计问题链,层层递进,引发学生有方向的思考,体会其中所包含的数学思想,让获取知识的途径变成双向性、主动性,增强学生对研学的积极性、严谨性.通过揭示数学知识的本质,让学生养成求实、说理、批判、质疑等理性思维的习惯和锲而不舍追求真理的精神.数学好玩,数学好学,数学有用.要让学生体会发现和创造的快乐,就要让学生真切看到通过自己思考和发现所形成的知识,激发学生探究新知识的兴趣,充分发挥学生思维的多样性和创造性.【教学方法建议】情境教学法、问题教学法,还有__________________________________________【教学重点难点】重点1.在平面直角坐标系中,结合具体图形,探索确定直线位置的几何要素.2.理解直线的倾斜角和斜率的概念,经历用代数方法刻画直线斜率的过程,掌握过两点的直线斜率的计算公式.3.能根据斜率判定两条直线平行或垂直.4.根据确定直线位置的几何要素,探索并掌握直线方程的几种形式(点斜式、两点式及一般式),体会斜截式与一次函数的关系.5.能用解方程组的方法求两直线的交点坐标.6.探索并掌握两点间的距离公式、点到直线的距离公式,会求两条平行直线间的距离.难点体会数形结合及分类讨论思想在概念形成及公式推导中的作用.【教学材料准备】1.常规材料:直尺、多媒体课件、________________________________________________2.其他材料:_____________________________________________________________四、教学活动设计教学导入师:我们在初中学过“两点确定一条直线”,现在请同学们求出经过与两点的直线的方程.生:为了得到直线的方程,我们首先可以通过两点得到的斜率,再根据直线的点斜式方程得到直线的方程为,即.【先学后教】先让学生根据点斜式方程求出直线的方程,就容易想到求直线的方程的思路,在教学中放手让学生自己推导,然后根据学生情况再加以引导和纠正.教学精讲探究1直线的两点式方程师:如果已知两点,求经过这两点的直线的方程,已知两点确定的直线有哪几种可能?生:可能是垂直于轴的直线,可能是垂直于轴的直线,还可能是与轴都不垂直的直线.师:每种情况下,直线方程怎么表示?生:当时,直线与轴垂直,所以直线方程为;当时,直线与轴垂直,直线方程为.对于与轴都不垂直的直线:当时,这时直线不与轴垂直,总存在斜率,因此可以化归成点斜式来做,.师:能不能把式子化得更简洁一些呢?生:当时,我们可以把方程改写成.师:对于这种方程叫做直线的两点式方程.显然.【推测解释能力】通过分析解决两,点确定的直线有几种可能的问题.鼓励学生大胆尝试、独立思考,使学生亲身体验思维过程中的缺漏或成功,体验知识的形成过程,有利于学生良好学习习惯的形成,为学生的终身学习打下坚实的基础,提升推测解释能力【要点知识】直线的两点式方程当且时,过两点的直线的方程可以写成的形式这种形式的直线方程由直线上的两点确定,称为直线的两点式方程.师:下面我们换种方式来推导:注意到是直线的一个方向向量,设为平面直角坐标系中一点,则在直线上的充要条件是与共线,即,这就是直线的方程.当且时,上式可以变形为,同样可以得到直线的两点式方程.【深度学习】利用直线的方向向量推导两点式方程,避免了对斜率的讨论,加深学生对两点式方程的理解师:直线的两点式方程可以表示平面内每一条直线吗?生:只能用来描述和轴、轴都有交点的直线,垂直于轴、垂直于轴的直线都没有两点式方程.师:上面直线两点式的建立过程中,我们是把除到左边来的,能不能把除过来,写成的形式?为什么?生:不能;和表示的不是同一图形.【意义学习】直线的两点式方程有它自身的优点,它体现了“两点确定一条直线”这一朴素的数学理念,两点式方程在结构上具有对称美,也为学生以后学习直线的参数方程埋下伏笔.师:明确只要已知两点满足两点式条件,就不需求斜率,直接由两点式写出方程.下面请看例题.【典型例题】利用两点式求直线的方程、截距例1已知直线经过点,求直线的方程,并求直线的截距.【教师引导,学生独立做题】生解:因为两点的横坐标不相等,而且纵坐标也不相等,所以直线的两点式方程为,整理得,因此直线的截距为.【简单问题解决能力】通过例1的分析和解决,学生加深对利用两点式求解直线方程方法的理解,提升简单问题解决能力,发展数学抽象、直观想象、逻辑推理的核心素养.探究2直线的截距式方程师:如果已知直线分别在轴和轴上的截距,如何求直线的方程.【多媒体展示】探究直线的截距式方程例2已知直线在轴、轴上的截距分别为,且,求直线的方程.【教师引导学生从两点式思考求解】生解:根据已知可得直线通过点,而且,因此直线的两点式方程为,这一方程可以整理为.师:我们称上面的式子为直线的截距式方程.【要点知识】直线的截距式方程通常称为直线的截距式方程,需要特别注意的是,这只有直线在轴与在轴上的截距都存在且不为0时才成立.【以学定教】通过例2使学生学会用两点式求直线方程,理解截距式源于两点式,是两点式的特殊情形师:截距式方程能描述平面内所有直线吗?哪些直线描述不了?生:不能;截距不存在或截距为0.截距式方程不能表示垂直于两坐标轴的直线和过原点的直线.师:两点式能不能描述过原点的直线?生:可以.两点式方程只是没法表示平行于坐标轴的直线,其他的所有直线都可以用两点式方程来表示.【推测解释能力】直线的截距式方程是直线的两点式方程的特殊情况,由直线的截距式方程可以直接读出直线在x轴和y轴上的截距,通过推理了解直线截距式方程的形式特点及适用范围.提升推测解释能力.师:下面我们看一道直线方程的综合应用例题.【典型例题】求直线的方程例3求过点,且在两坐标轴上截距相等的直线的方程.师解:当直线在两坐标轴上截距都为0,即直线过原点时,∵直线过点,∴直线的斜率为,此时直线方程为;当直线在两坐标轴上的截距相等且不为零时,设截距为,则直线的截距式方程为,即,∵直线过点,∴,解得,∴直线方程为.综上,所求直线方程为和.师:在两坐标轴上截距相等也包括直线在两坐标轴上的截距为0.在求解类似的直线方程时要注意分类讨论.【简单问题解决能力】通过例3进行实践探索,加深对截距式方程应用的理解和适用条件的区分,提升简单问题解决能力.探究3直线的一般式方程师:写出前面学过的直线方程的各种不同形式,并指出其局限性.【教师列出表格,师生互动共同填表】生:名称几何条件方程局限性点斜式点和斜率斜率存在的直线斜截式斜率轴上的截距斜率存在的直线两点式不垂直于轴、轴的直线截距式在轴上的截距轴上的截距不垂直于轴、轴的直线,不过原点的直线过点与轴垂直的直线可表示成,过点与轴垂直的直线可表示成.【以学论教】通过复习回顾四种条件下的直线方程,体会不同直线方程的适用条件,及时提出问题,让学生体会学习直线方程一般式的必要性师:上述四种形式的直线方程有何共同特征?能否整理成统一形式?生:这些方程都是关于的二元一次方程.师:上述四种直线方程的表示形式都有其局限性,是否存在一种更为完美的代数形式可以表示平面中的所有直线?我们猜测:直线和二元一次方程有着一定的关系.师:写出下列直线方程.(1)过点,斜率为2的直线的方程;(2)过点,斜率为0的直线方程;(3)过点,斜率不存在的直线的方程.生:(1);(2;(3).师:以上方程是否都可以用表示?任意一条直线是否都可以用二元一次方程不同时为0来表示?生:(1);(2);(3).师:在平面直角坐标系中,每一条直线有斜率存在和不存在两种情况,直线方程可分别写为和两种形式,它们又都可以变形为不同时为的形式,即直线不同时为0.由此我们可以得出什么结论?【观察记忆能力】通过旧知识引出新问题,设置问题较细是为了让学生接受新知识较为顺畅,同时让学生对新知识产生的必要性有一个全面的了解,同时提升观察记忆能力.生:在平面直角坐标系中,任意一条直线都可以用二元一次方程不同时为0来表示.师:对于任意一个二元一次方程不同时为0能否表示一条直线?生:(1)当时,方程可变形为,它表示过点,斜率为的直线.(2)当时,因为不同时为0,所以,则有,即,这表示的是与轴垂直的直线.师:由此可知,每个二元一次方程不同时为0都表示一条直线.【说明论证能力】掌握一般式方程与其他形式之间的关系,熟知一般式方程中的系数与斜率、截距之间的公式化关系.在解决问题的过程中提升学生的说明论证能力.【要点知识】任意一个二元一次方程不同时为01.平面上任意一条直线都可以用一个关于的二元一次方程表示.2.关于的二元一次方程都表示一条直线.师:下面是直线的一般式方程.【要点知识】直线的一般式方程我们把关于的二元一次方程(不同时为零)称为直线的一般式方程,简称一般式.师:直线方程的一般式与其他几种形式的直线方程相比,有什么优点?生:直线的一般式方程能够表示平面直角坐标系中的所有直线,而点斜式、斜截式、两点式方程,都不能表示与轴垂直的直线.【深度学习】使学生对本节课有一个系统的认识,同时达到新旧知识的辨别和联系.师:我们学习了直线方程的一般式,它与另外四种形式关系怎样?是否可以互相转化?下面我们先研究一下这道例题.【典型例题】求直线方程的不同形式例4已知直线经过点,斜率为,求直线的点斜式方程、一般式方程和截距式方程.【学生解答,教师点评】生解:经过点,斜率为的直线的点斜式方程为,化为一般式为,截距式方程为.【观察记忆能力】例4涉及直线方程不同形式间的转化,在讨论直线的有关问题时,常常把直线的不同形式的方程化成同一形式的方程,借助方程之间的互相转化,可以更方便、直观地研究直线的性质提升学生观察记忆能力师:下面看例5题.【典型例题】通过直线一般式求直线的斜率和截距例5已知直线的一般式方程为,求直线的斜率以及在轴和轴上的截距.生解:直线的一般式方程可以化为,所以直线的斜率为,在轴上的截距为2.在方程中令可得,因此在轴上的截距为−3.师:思考如下问题.(1)特殊形式如何化一般式?(2)一般式如何化特殊形式?(3)特殊形式如何互化?【简单问题解决能力】通过例5进一步加深学生对直线方程的掌握和理解,从而提高学生简单问题解决的能力.【学生思考后回答,教师补充总结】师:特殊形式必能化成一般式;一般式不一定可以化为其他形式(如特殊位置的直线),由于取点的任意性,一般式化成点斜式、两点式的形式各异,故一般式转化成斜截式和截距式较常见;特殊形式的互化常以一般式为桥梁,但点斜式、两点式、截距式均能直接化成一般式.各种形式互化的实质是方程的同解变形.【归纳总结】直线方程五种形式的互化【以学论教】理解直线的一般式方程的特点,能进行直线方程间转化,发展学生的逻辑推理核心素养.师:对于直线的一般式方程通常有如下的说明.【要点知识】直线的一般式方程的结构特征1.一般按含项、含项、常数项顺序排列.2.项的系数为正.3.的系数和常数项一般不出现分数.4.无特别说明时,最好将所求直线方程的结果写成一般式.【概括理解能力】强化对直线一般式方程的认知和理解,使学生明确应用范围和方程特征,提升概括理解能力.师:直线方程的一般形式也可以从中直接得到.而且,如果直线的一般式方程为,设为直线上一个固定的点,为直线上任意一点,则第二式减去第一式可得.若记,则上式说明与向量的内积为0,因此,即为直线的一个法向量.【猜想探究能力】推导直线的法向量和直线的一般式方程系数之间的关系,进一步引导学生得出直线的方向向量,及时回扣前面所学的知识点,帮助学生把知识建构成一个有机的整体.锻炼猜想探究能力师:下面通过一道例题进行说明.【典型例题】例6已知直线经过点,而且是直线的一个法向量,求直线的一般式方程.生解:(方法一)设为平面直角坐标系中任意一点,则在直线上的充要条件是与垂直.又因为,所以,整理可得一般式方程为.(方法二)因为是直线的一个法向量,所以可以设的方程为,代入点,可求得,因此所求方程为.【简单问题解决能力】例6的方法一是求轨迹方程的通法,方法二利用了法向量和直线一般式方程系数之间的关系,两种方法展示的思路,都是以后求曲线方程的常用思路.提升简单问题解决能力.师:通过本节课你学到了哪些知识和方法?【课堂小结】1.两点式方程与截距式方程.2.直线方程的四种形式及其特点.3.一般式方程及其特点.4.思想方法:数形结合、分类讨论的数学思想方法.【设计意图】通过小组合作自我探究,以及例题和练习题的讲解,深入理解直线方程几种形式之间的内在联系,加深对直线与方程关系的理解和把握教学评价直线方程的教学是在学生学习了直线的倾斜角和斜率公式之后推导的,本节课积极创造机会让不同程度的学生发表自己的观点,调动学生学习的积极性,提高知识的可接受程度,进而完成知识的转化,有效地提高了教学实效.本节课从具体实例出发,通过感知、抽象其共同本质属性,以学生为本,以相关问题为学习的起点,以问题为核心规划学习内容,让学生根据问题寻求解决方案,教师在此过程中是问题的提出者、课程的设计者以及结果的评估者,目的是提高学生学习的主动性,提高学生在教学过程中的参与程度,激发其求知欲,活跃其思维.【设计意图】引导学生整理知识,使其体会知识的生成、发展、完善的过程,通过具体知识点的演练,让学生在运用课程教学过程中所学到的学科能力(概括理解、简单问题解决、分析计算等)解决问题,从而达到数学抽象、直观想象、数学运算、逻辑推理的核心素养目标要求1.已知直线倾斜角的范围,则此直线的斜率的取值范围是()A.B.C.D.点拨:根据直线的倾斜角和斜率的关系:,联系三角函