突破04与代数三角形四边形圆有关的阅读理解题

重难点突破突破04与代数、三角形、四边形、圆有关的阅读理解题目录一览中考解密（分析考察方向，精准把握重难点）重点考向（以真题为例，探究中考命题方向）►考向一与代数有关问题►考向二与三角形有关问题►考向三与四边形有关问题►考向四与圆有关问题“阅读与思考”是近年中考出现的新题型，设题背景常结合数学文化考查，这类题改变传统的“由条件求结果”模式，集阅读、理解、思考、应用于一体.通常是以一个新概念、新公式的形式、推导与应用的形式出现，或提供材料，给出一定的操作程序、数学思想方法，然后运用从中学到的知识解决有关问题，考查学生的阅读思考能力和解决问题的能力.数学阅读因其语言的高度抽象，以及文字语言、符号语言和图形语言并存，有别于其他学科的阅读，要掌握数学阅读的方法，养成良好的数学阅读习惯，提高阅读素养.►考向一与代数有关问题1．（2023•宁夏）解不等式组．下面是某同学的部分解答过程，请认真阅读并完成任务：解：由①得：4﹣2（2x﹣1）＞3x﹣1…第1步4﹣4x+2＞3x﹣1…第2步﹣4x﹣3x＞﹣1﹣4﹣2﹣7x＞﹣7…第3步x＞1…第4步任务一：该同学的解答过程第4步出现了错误，错误原因是不等式的基本性质3应用错误；不等式①的正确解集是x＜1；任务二：解不等式②，并写出该不等式组的解集．解：任务一：4，不等式的基本性质3应用错误，x＜1；任务二：﹣3x+x≤4﹣2，﹣2x≤2，x≥﹣1，∴该不等式组的解集为﹣1≤x＜1．2．（2023•通辽）阅读材料：材料1：关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两个实数根x1，x2和系数a，b，c，有如下关系：x1+x2＝﹣，x1x2＝．材料2：已知一元二次方程x2﹣x﹣1＝0的两个实数根分别为m，n，求m2n+mn2的值．解：∵m，n是一元二次方程x2﹣x﹣1＝0的两个实数根，∴m+n＝1，mn＝﹣1．则m2n+mn2＝mn（m+n）＝﹣1×1＝﹣1．根据上述材料，结合你所学的知识，完成下列问题：（1）应用：一元二次方程2x2+3x﹣1＝0的两个实数根为x1，x2，则x1+x2＝﹣，x1x2＝﹣．（2）类比：已知一元二次方程2x2+3x﹣1＝0的两个实数根为m，n，求m2+n2的值；（3）提升：已知实数s，t满足2s2+3s﹣1＝0，2t2+3t﹣1＝0且s≠t，求的值．解：（1）∵一元二次方程2x2+3x﹣1＝0的两个根为x1，x2，∴x1+x2＝﹣，x1x2＝﹣；故答案为：﹣，﹣；（2）∵一元二次方程2x2+3x﹣1＝0的两根分别为m，n，∴m+n＝﹣，mn＝﹣，∴m2+n2＝（m+n）2﹣2mn＝+1＝；（3）∵实数s，t满足2s2+3s﹣1＝0，2t2+3t﹣1＝0，且s≠t，∴s，t是一元二次方程2x2+3x﹣1＝0的两个实数根，∴s+t＝﹣，st＝﹣，∵（t﹣s）2＝（t+s）2﹣4st＝（﹣）2﹣4×（﹣）＝，∴t﹣s＝±，∴＝＝＝±．3．（2022•黄石）阅读材料，解答问题：材料1为了解方程（x2）2﹣13x2+36＝0，如果我们把x2看作一个整体，然后设y＝x2，则原方程可化为y2﹣13y+36＝0，经过运算，原方程的解为x1，2＝±2，x3，4＝±3．我们把以上这种解决问题的方法通常叫做换元法．材料2已知实数m，n满足m2﹣m﹣1＝0，n2﹣n﹣1＝0，且m≠n，显然m，n是方程x2﹣x﹣1＝0的两个不相等的实数根，由韦达定理可知m+n＝1，mn＝﹣1．根据上述材料，解决以下问题：（1）直接应用：方程x4﹣5x2+6＝0的解为x1＝，x2＝﹣，x3＝，x4＝﹣；（2）间接应用：已知实数a，b满足：2a4﹣7a2+1＝0，2b4﹣7b2+1＝0且a≠b，求a4+b4的值；（3）拓展应用：已知实数m，n满足：+＝7，n2﹣n＝7且n＞0，求+n2的值．解：（1）令y＝x2，则有y2﹣5y+6＝0，∴（y﹣2）（y﹣3）＝0，∴y1＝2，y2＝3，∴x2＝2或3，∴x1＝，x2＝﹣，x3＝，x4＝﹣；故答案为：x1＝，x2＝﹣，x3＝，x4＝﹣；（2）∵a≠b，∴a2≠b2，令a2＝m，b2＝n．∴m≠n，则2m2﹣7m+1＝0，2n2﹣7n+1＝0，∴m，n是方程2x2﹣7x+1＝0的两个不相等的实数根，∴，此时a4+b4＝m2+n2＝（m+n）2﹣2mn＝．综上所述，a4+b4＝．（3）令＝a，﹣n＝b，则a2+a﹣7＝0，b2+b﹣7＝0，∵n＞0，∴≠﹣n，即a≠b，∴a，b是方程x2+x﹣7＝0的两个不相等的实数根，∴，故+n2＝a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝15．4．（2022•宁夏）下面是某分式化简过程，请认真阅读并完成任务．（﹣）÷＝（﹣）•…第一步＝…第二步＝…第三步＝﹣…第四步任务一：填空①以上化简步骤中，第一步是通分，通分的依据是分式的性质．②第二步开始出现错误，错误的原因是去括号没有变号．任务二：直接写出该分式化简后的正确结果．解：任务一：①以上化简步骤中，第一步是通分，通分的依据是分式的性质．②第二步开始出现错误，错误的原因是去括号没有变号．故答案为：①一，分式的性质．②二，去括号没有变号．任务二：（﹣）÷＝（﹣）•＝•＝•＝．5．（2022•安顺）阅读材料：被誉为“世界杂交水稻之父”的“共和国勋章”获得者袁隆平，成功研发出杂交水稻，杂交水稻的亩产量是普通水稻的亩产量的2倍．现有两块试验田，A块种植杂交水稻，B块种植普通水稻，A块试验田比B块试验田少4亩．（1）A块试验田收获水稻9600千克、B块试验田收获水稻7200千克，求普通水稻和杂交水稻的亩产量各是多少千克？（2）为了增加产量，明年计划将种植普通水稻的B块试验田的一部分改种杂交水稻，使总产量不低于17700千克，那么至少把多少亩B块试验田改种杂交水稻？解：（1）设普通水稻的亩产量是x千克，则杂交水稻的亩产量是2x千克，依题意得：﹣＝4，解得：x＝600，经检验，x＝600是原方程的解，且符合题意，则2x＝2×600＝1200．答：普通水稻的亩产量是600千克，杂交水稻的亩产量是1200千克；（2）设把y亩B块试验田改种杂交水稻，依题意得：9600+600（﹣y）+1200y≥17700，解得：y≥1.5．答：至少把1.5亩B块试验田改种杂交水稻．6．（2022•凉山州）阅读材料：材料1：若关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两个根为x1，x2，则x1+x2＝，x1x2＝．材料2：已知一元二次方程x2﹣x﹣1＝0的两个实数根分别为m，n，求m2n+mn2的值．解：∵一元二次方程x2﹣x﹣1＝0的两个实数根分别为m，n，∴m+n＝1，mn＝﹣1，则m2n+mn2＝mn（m+n）＝﹣1×1＝﹣1．根据上述材料，结合你所学的知识，完成下列问题：（1）材料理解：一元二次方程2x2﹣3x﹣1＝0的两个根为x1，x2，则x1+x2＝．x1x2＝﹣．（2）类比应用：已知一元二次方程2x2﹣3x﹣1＝0的两根分别为m、n，求的值．（3）思维拓展：已知实数s、t满足2s2﹣3s﹣1＝0，2t2﹣3t﹣1＝0，且s≠t，求的值．解：（1）∵一元二次方程2x2﹣3x﹣1＝0的两个根为x1，x2，∴x1+x2＝＝，x1x2＝＝﹣，故答案为：，﹣；（2）∵一元二次方程2x2﹣3x﹣1＝0的两根分别为m、n，∴m+n＝，mn＝﹣，∴＝＝＝＝；（3）∵实数s、t满足2s2﹣3s﹣1＝0，2t2﹣3t﹣1＝0，∴s与t看作是方程2x2﹣3x﹣1＝0的两个实数根，∴s+t＝，st＝﹣，∴（s﹣t）2＝（s+t）2﹣4st，（s﹣t）2＝（）2﹣4×（﹣），（s﹣t）2＝，∴s﹣t＝，∴＝＝＝＝．7．（2023•泰州）阅读下面方框内的内容，并完成相应的任务．小丽学习了方程、不等式，函数后提出如下问题：如何求不等式x2﹣x﹣6＜0的解集？通过思考，小丽得到以下3种方法：方法1方程x2﹣x﹣6＝0的两根为x1＝﹣2，x2＝3，可得函数y＝x2﹣x﹣6的图象与x轴的两个交点横坐标为﹣2、3，画出函数图象，观察该图象在x轴下方的点，其横坐标的范围是不等式x2﹣x﹣6＜0的解集．方法2不等式x2﹣x﹣6＜0可变形为x2＜x+6，问题转化为研究函数y＝x2与y＝x+6的图象关系．画出函数图象，观察发现；两图象的交点横坐标也是﹣2、3；y＝x2的图象在y＝x+6的图象下方的点，其横坐标的范围是该不等式的解集．方法3当x＝0时，不等式一定成立；当x＞0时，不等式变为x﹣1＜；当x＜0时，不等式变为x﹣1＞．问题转化为研究函数y＝x﹣1与y＝的图象关系…任务：（1）不等式x2﹣x﹣6＜0的解集为﹣2＜x＜3；（2）3种方法都运用了D的数学思想方法（从下面选项中选1个序号即可）；A．分类讨论B．转化思想C．特殊到一般D．数形结合（3）请你根据方法3的思路，画出函数图象的简图，并结合图象作出解答．解：（1）解方程x2﹣x﹣6＝0，得x1＝﹣2，x2＝3，∴函数y＝x2﹣x﹣6的图象与x轴的两个交点横坐标为﹣2、3，画出二次函数y＝x2﹣x﹣6的大致图象（如图所示），由图象可知：当﹣2＜x＜3时函数图象位于x轴下方，此时y＜0，即x2﹣x﹣6＜0．所以不等式x2﹣x﹣6＜0的解集为：﹣2＜x＜3．故答案为：﹣2＜x＜3；（2）上述3种方法都运用了数形结合思想，故答案为：D；（3）当x＝0时，不等式一定成立；当x＞0时，不等式变为x﹣1＜；当x＜0时，不等式变为x﹣1＞．画出函数y＝x﹣1和函数y＝的大致图象如图：当x＞0时，不等式x﹣1＜的解集为0＜x＜3；当x＜0时，不等式x﹣1＞的解集为﹣2＜x＜0，∵当x＝0时，不等式x2﹣x﹣6＜0一定成立，∴不等式x2﹣x﹣6＜0的解集为：﹣2＜x＜3．8．（2023•鄂州）某数学兴趣小组运用《几何画板》软件探究y＝ax2（a＞0）型抛物线图象．发现：如图1所示，该类型图象上任意一点P到定点F（0，）的距离PF，始终等于它到定直线l：y＝﹣的距离PN（该结论不需要证明）．他们称：定点F为图象的焦点，定直线l为图象的准线，y＝﹣叫做抛物线的准线方程．准线l与y轴的交点为H．其中原点O为FH的中点，FH＝2OF＝．例如，抛物线y＝2x2，其焦点坐标为F（0，），准线方程为l：y＝﹣，其中PF＝PN，FH＝2OF＝．【基础训练】（1）请分别直接写出抛物线y＝x2的焦点坐标和准线l的方程：（0，1），y＝﹣1；【技能训练】（2）如图2，已知抛物线y＝x2上一点P（x0，y0）（x0＞0）到焦点F的距离是它到x轴距离的3倍，求点P的坐标；【能力提升】（3）如图3，已知抛物线y＝x2的焦点为F，准线方程为l．直线m：y＝x﹣3交y轴于点C，抛物线上动点P到x轴的距离为d1，到直线m的距离为d2，请直接写出d1+d2的最小值；【拓展延伸】该兴趣小组继续探究还发现：若将抛物线y＝ax2（a＞0）平移至y＝a（x﹣h）2+k（a＞0）．抛物线y＝a（x﹣h）2+k（a＞0）内有一定点F（h，k+），直线l过点M（h，k﹣）且与x轴平行．当动点P在该抛物线上运动时，点P到直线l的距离PP1始终等于点P到点F的距离（该结论不需要证明）．例如：抛物线y＝2（x﹣1）2+3上的动点P到点F（1，）的距离等于点P到直线l：y＝的距离．请阅读上面的材料，探究下题：（4）如图4，点D（﹣1，）是第二象限内一定点，点P是抛物线y＝x2﹣1上一动点．当PO+PD取最小值时，请求出△POD的面积．解：（1）∵抛物线y＝x2中a＝，∴＝1，﹣＝﹣1，∴抛物线y＝x2的焦点坐标为F（0，1），准线l的方程为y＝﹣1，故答案为：（0，1），y＝﹣1；（2）由（1）知抛物线y＝x2的焦点F的坐标为（0，1），∵点P（x0，y0）到焦点F的距离是它到x轴距离的3倍，∴＝3y0，整理得：＝8+2y0﹣1，又∵y0＝，∴4y0＝8+2y0﹣1，解得：y0＝或y0＝﹣（舍去），∴x0＝（负值舍去），∴点P的坐标为（，）；（3）过点P作PE⊥直线m交于点E，过点P作PG⊥准线l交于点G，结合题意和（1）中结论可知PG＝PF＝d1+1，PE＝d2，如图：若使得d1+d2取最小值，即PF+PE﹣1的值最小，故当F，P，E三点共线时，PF+PE﹣1＝EF﹣1，即此刻d1+d2的值最小；∵直线PE与直线m垂直，故设直线PE的解析式为y＝﹣2x+b，将F（0，1）代入解得：b＝1，∴直线PE的解析式为y＝﹣2x+1，∵点E是直线PE和直线m的交点，令﹣2x+1＝x﹣3，解得：x＝，故点E的坐标为（，﹣），∴d1+d2＝﹣1．即d1+d2的最小值为﹣1．（4）∵抛物线y＝x2﹣1中a＝，∴＝1，﹣＝﹣1，∴抛物线y＝x2﹣1的焦点坐标为（0，0），准线l的方程为y＝﹣2，过点P作PG⊥准线l交于点G，结合题意和（1）中结论可知PG＝PF，则PO+PD＝PG+PD，如图：若使得PO+PD取最小值，即PG+PD的值最小，故当D，P，G三点共线时，PO+PD＝PG+PD＝DG，即此刻PO+PD的值最小；如图：∵点D的坐标为（﹣1，），DG⊥准线l，∴点P的横坐标为﹣1，代入y＝x2﹣1解得y＝﹣，即P（﹣1，﹣），OP＝+＝，则△OPD的面积为××1＝．9．（2022•永州）已知关于x的函数y＝ax2+bx+c．（1）若a＝1，函数的图象经过点（1，﹣4）和点（2，1），求该函数的表达式和最小值；（2）若a＝1，b＝﹣2，c＝m+1时，函数的图象与x轴有交点，求m的取值范围．（3）阅读下面材料：设a＞0，函数图象与x轴有两个不同的交点A，B，若A，B两点均在原点左侧，探究系数a，b，c应满足的条件，根据函数图象，思考以下三个方面：①因为函数的图象与x轴有两个不同的交点，所以Δ＝b2﹣4ac＞0；②因为A，B两点在原点左侧，所以x＝0对应图象上的点在x轴上方，即c＞0；③上述两个条件还不能确保A，B两点均在原点左侧，我们可以通过抛物线的对称轴位置来进一步限制抛物线的位置：即需﹣＜0．综上所述，系数a，b，c应满足的条件可归纳为：请根据上面阅读材料，类比解决下面问题：若函数y＝ax2﹣2x+3的图象在直线x＝1的右侧与x轴有且只有一个交点，求a的取值范围．解：（1）根据题意得，解得，∴y＝x2+2x﹣7＝（x+1）2﹣8，∴该函数的表达式为y＝x2+2x﹣7或y＝（x+1）2﹣8，当x＝﹣1时，y的最小值为﹣8；（2）根据题意得y＝x2﹣2x+m+1，∵函数的图象与x轴有交点，∴Δ＝b2﹣4ac＝（﹣2）2﹣4（m+1）≥0，解得：m≤0；（3）根据题意得到y＝ax2﹣2x+3的图象如图所示，∵抛物线y＝ax2﹣2x+3经过（0，3），∴如图1，，即，∴a的值﹣1＜a≤；如图2，如图3不成立；如图4，，即∴a的值不存在；如图5，，即，∴a的值为；如图6，当a＝0时，函数解析式为y＝﹣2x+3，函数与x轴的交点为（1.5，0），∴a＝0成立；综上所述，a的值﹣1＜a≤0或a＝．10．（2022•株洲）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a＞0）．（1）若a＝1，b＝3，且该二次函数的图象过点（1，1），求c的值；（2）如图所示，在平面直角坐标系xOy中，该二次函数的图象与x轴相交于不同的两点A（x1，0）、B（x2，0），其中x1＜0＜x2、|x1|＞|x2|，且该二次函数的图象的顶点在矩形ABFE的边EF上，其对称轴与x轴、BE分别交于点M、N，BE与y轴相交于点P，且满足tan∠ABE＝．①求关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0的根的判别式的值；②若NP＝2BP，令T＝c，求T的最小值．阅读材料：十六世纪的法国数学家弗朗索瓦•韦达发现了一元二次方程的根与系数之间的关系，可表述为“当判别式Δ≥0时，关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两个根x1、x2有如下关系：x1+x2＝，x1x2＝”．此关系通常被称为“韦达定理”．解：（1）当a＝1，b＝3时，y＝x2+3x+c，把x＝1，y＝1代入得，1＝1+3+c，∴c＝﹣3；（2）①方法（一）由ax2+bx+c＝0得，x1＝，x2＝，∴AB＝x2﹣x1＝，∵抛物线的顶点坐标为：（﹣，），∴AE＝，OM＝，∵∠BAE＝90°，∴tan∠ABE＝＝，∴＝，∴b2﹣4ac＝9；（方法二）由ax2+bx+c＝0得，∵x1+x2＝，x1x2＝，∴|x1﹣x2|＝＝＝，下面过程相同；②∵b2﹣4ac＝9，∴x2＝，∵OP∥MN，∴，∴：＝2，∴b＝2，∴22﹣4ac＝9，∴c＝﹣，∴T＝c＝﹣＝﹣＝（﹣2）2﹣4，∴当＝2时，T最小＝﹣4，即a＝时，T最小＝﹣4．►考向二与三角形有关问题11．（2022•吉林）下面是王倩同学的作业及自主探究笔记，请认真阅读并补充完整．【作业】如图①，直线l1∥l2，△ABC与△DBC的面积相等吗？为什么？解：相等．理由如下：设l1与l2之间的距离为h，则S△ABC＝BC•h，S△DBC＝BC•h．∴S△ABC＝S△DBC．【探究】（1）如图②，当点D在l1，l2之间时，设点A，D到直线l2的距离分别为h，h′，则＝．证明：∵S△ABC＝BC•h．（2）如图③，当点D在l1，l2之间时，连接AD并延长交l2于点M，则＝．证明：过点A作AE⊥BM，垂足为E，过点D作DF⊥BM，垂足为F，则∠AEM＝∠DFM＝90°．∴AE∥DF．∴△AEM∽△DFM．∴＝．由【探究】（1）可知＝，∴＝．（3）如图④，当点D在l2下方时，连接AD交l2于点E．若点A，E，D所对应的刻度值分别为5，1.5，0，则的值为．（1）证明：∵S△ABC＝BC•h，S△DBC＝BC•h′，∴＝．（2）证明：过点A作AE⊥BM，垂足为E，过点D作DF⊥BM，垂足为F，则∠AEM＝∠DFM＝90°．∵AE∥DF，∴△AEM∽△DFM，∴＝，由【探究】（1）可知＝，∴＝．故答案为：DF，△DFM，．（3）作DK∥AC交l2于点K，∵DK∥AC，∴△ACE∽△DKE，∵DE＝1.5，AE＝5﹣1.5＝3.5，∴＝＝，由【探究】（2）可得＝＝．故答案为：．12．（2023•孝义市三模）阅读与思考：下面是小宇同学写的一篇数学小论文，请你认真阅读并完成相应学习任务：怎样作直角三角形的内接正方形如果一个正方形的四个顶点都在直角三角形的三条边上，我们把这样的正方形叫做该直角三角形的内接正方形．那么，怎样作出一个直角三角形的内接正方形呢？我们可以用如下方法：如图1，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，作∠ACB的角平分线，交斜边AB于点D；然后过点D，分别作AC，BC的垂线，垂足分别为F，E，则DF＝DE．（依据1）容易证明四边形DFCE是正方形．用上面方法所作出的正方形，有一个顶点恰好是直角三角形的直角顶点．如图2，如果Rt△ABC的内接正方形的一边恰好在斜边AB上，我就可用如下方法，第一步：过直角顶点C作CD⊥AB，垂足为D；第二步，延长AB到M，使得BM＝AD，连接CM；第三步：作∠BDC的平分线，交MC于点E；第四步：过点E分别作DC，DB的垂线，垂足分别为P，K，EP交BC于点F，EP的延长线交AC交于G；第五步：分别过点F，G作AB的垂线，垂足分别为N，H．则四边形NFGH就是Rt△ABC的内接正方形，并且NH恰好在该直角三角形的斜边上．理由如下：易证四边形EPDK是正方形，EG∥AM．∵EG∥AM，∴△CGP∽△CAD，△CEF∽△CMB.（依据2）∴；．学习任务：（1）材料中画横线部分的依据分别是：依据1：角平分线的性质；依据2：相似三角形的判定定理．（2）请完成图2说理过程的剩余部分．（3）分析图2的作图过程，不难看出是将图2转化成图1去完成的，即先作图形EPDK，再将正方形EPDK转化为正方形NFGH，转化的过程可以看作是一种图形变换，这种图形变换是B（填出字母代号即可）．A．旋转B．平移C．轴对称解：（1）依据1：角平分线的性质；依据2：相似三角形的判定定理；故答案为：角平分线的性质；相似三角形的判定定理；（2）∴；．∴，∵AD＝BM，∴PG＝EF，由图1知，四边形PDKE是正方形，∴PE＝EK＝DP＝DK，∴FG＝EK，∵GH⊥AB，EK⊥AB，∴GH∥EK，∴四边形GHKE是矩形，∴GH＝EK，同理，四边形FNKE是矩形，∴EF＝NK，FN＝EK，∴FG＝HG＝HN＝FN，∵∠GHK＝90°，∴四边形GHNF是正方形；（3）将正方形EPDK转化为正方形NFGH，转化的过程可以看作是一种图形变换，这种图形变换是B，故答案为：B．►考向三与四边形有关问题13．（2023•徐州）【阅读理解】如图1，在矩形ABCD中，若AB＝a，BC＝b，由勾股定理，得AC2＝a2+b2同理BD2＝a2+b2，故AC2+BD2＝2（a2+b2）．【探究发现】如图2，四边形ABCD为平行四边形，若AB＝a，BC＝b，则上述结论是否依然成立？请加以判断，并说明理由．【拓展提升】如图3，已知BO为△ABC的一条中线，AB＝a，BC＝b，AC＝c．求证：．【尝试应用】如图4，在矩形ABCD中，若AB＝8，BC＝12，点P在边AD上，则PB2+PC2的最小值为200．【阅读理解】解：如图1，∵四边形ABCD是矩形，∴∠ABC＝90°，AC＝BD，∴AC2＝AB2+BC2，∵AB＝a，BC＝b，∴AC2+BD2＝2（AB2+BC2）＝2a2+2b2；【探究发现】解：上述结论依然成立，理由：如图②，作AE⊥BC于E，DF⊥BC于F，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥DC，且AB＝DC，∴∠ABE＝∠DCF，在△ABE和△DCF中，，∴△ABE≌△DCF（AAS），∴AE＝DF，BE＝CF，在Rt△ACE中，由勾股定理，可得AC2＝AE2+CE2＝AE2+（BC﹣BE）2…①，在Rt△BDF中，由勾股定理，可得BD2＝DF2+BF2＝DF2+（BC+CF）2＝DF2+（BC+BE）2…②，由①②，可得AC2+BD2＝AE2+DF2+2BC2+2BE2＝2AE2+2BC2+2BE2，在Rt△ABE中，由勾股定理，可得AB2＝AE2+BE2，∴AC2+BD2＝2AE2+2BC2+2BE2＝2（AE2+BE2）+2BC2＝2AB2+2BC2＝2a2+2b2；【拓展提升】证明：如图3，延长BO至点E，使BO＝OE，∵BO是AC边上的中线，∴AO＝CO，又∵AO＝CO，∴四边形ABCE是平行四边形，由【探究发现】，可得BE2+AC2＝2AB2+2BC2，∵BE＝2BO，∴BE2＝4BO2，∵AB＝a，BC＝b，AC＝c，∴4BO2+c2＝2a2+2b2，∴．【尝试应用】解：过P作PH⊥BC于H，则四边形APHB和四边形PHCD是矩形，∴AB＝PH＝CD＝8，AP＝BH，PD＝CH，设BH＝x，CH＝12﹣x，∴PB2+PC2＝PH2+BH2+PH2+CH2＝82+x2+82+（12﹣x）2＝2x2﹣24x+272＝2（x﹣6）2+200，故PB2+PC2的最小值为200，方法二：以PB、PC为一组邻边构造平行四边形PBQC，设AP＝x，则PQ＝2，由（2）得，PQ2+BC2＝2PB2+2PC2，∴PB2+PC2＝（PQ2+BC2）＝[4×（82+（6﹣x）2+122]＝2x2﹣24x+272＝2（x﹣6）2+200，故PB2+PC2的最小值为200，故答案为：200．14．（2023•凉山州）阅读理解题：阅读材料：如图1，四边形ABCD是矩形，△AEF是等腰直角三角形，记∠BAE为α、∠FAD为β，若tanα＝，则tanβ＝．证明：设BE＝k，∵tanα＝，∴AB＝2k，易证△AEB≌△EFC（AAS）．∴EC＝2k，CF＝k，∴FD＝k，AD＝3k，∴tanβ＝＝＝，若α+β＝45°时，当tanα＝，则tanβ＝．同理：若α+β＝45°时，当tanα＝，则tanβ＝．根据上述材料，完成下列问题：如图2，直线y＝3x﹣9与反比例函数y＝（x＞0）的图象交于点A，与x轴交于点B．将直线AB绕点A顺时针旋转45°后的直线与y轴交于点E，过点A作AM⊥x轴于点M，过点A作AN⊥y轴于点N，已知OA＝5．（1）求反比例函数的解析式；（2）直接写出tan∠BAM、tan∠NAE的值；（3）求直线AE的解析式．解：（1）设A（t，3t﹣9），∴OM＝t，AM＝3t﹣9，∵OA＝5，∴t2+（3t﹣9）2＝52，解得t＝4或t＝1.4，∴A（4，3）或（1.4，﹣4.8）（此时A在第四象限，不符合题意，舍去），把A（4，3）代入y＝（x＞0）得：3＝，解得m＝12，∴反比例函数的解析式为y＝（x＞0）；（2）在y＝3x﹣9中，令y＝0得0＝3x﹣9，解得x＝3，∴B（3，0），∴OB＝3，由（1）知A（4，3），∴OM＝4，AM＝3，∴BM＝OM﹣OB＝4﹣3＝1，∴tan∠BAM＝＝，∵∠ANO＝∠NOM＝∠OMA＝90°，∴∠MAN＝90°，∵∠BAE＝45°，∴∠BAM+∠NAE＝45°，由若α+β＝45°时，当tanα＝，则tanβ＝可得：tan∠NAE＝；（3）由（2）知tan∠NAE＝，∴＝，∵A（4，3），∴AN＝4，ON＝3，∴＝，∴NE＝2，∴OE＝ON﹣NE＝3﹣2＝1，∴E（0，1），设直线AE解析式为y＝kx+b，把A（4，3），E（0，1）代入得：，解得，∴直线AE解析式为y＝x+1．15．（2022•南通）【阅读材料】老师的问题：已知：如图，AE∥BF．求作：菱形ABCD，使点C，D分别在BF，AE上．小明的作法：（1）以A为圆心，AB长为半径画弧，交AE于点D；（2）以B为圆心，AB长为半径画弧，交BF于点C；（3）连接CD．四边形ABCD就是所求作的菱形．【解答问题】请根据材料中的信息，证明四边形ABCD是菱形．证明：由作图可知AD＝AB＝BC，∵AE∥BF，∴四边形ABCD是平行四边形，∵AB＝AD，∴四边形ABCD是菱形．16．（2022•黔东南州）阅读材料：小明喜欢探究数学问题，一天杨老师给他这样一个几何问题：如图1，△ABC和△BDE都是等边三角形，点A在DE上．求证：以AE、AD、AC为边的三角形是钝角三角形．【探究发现】（1）小明通过探究发现：连接DC，根据已知条件，可以证明DC＝AE，∠ADC＝120°，从而得出△ADC为钝角三角形，故以AE、AD、AC为边的三角形是钝角三角形．请你根据小明的思路，写出完整的证明过程．【拓展迁移】（2）如图2，四边形ABCD和四边形BGFE都是正方形，点A在EG上．①试猜想：以AE、AG、AC为边的三角形的形状，并说明理由．②若AE2+AG2＝10，试求出正方形ABCD的面积．（1）证明：如图1，连接DC，∵△ABC和△BDE都是等边三角形，∴AB＝BC，BE＝BD，∠ABC＝∠DBE＝∠E＝∠BDE＝60°，∴∠ABC﹣∠ABD＝∠DBE﹣∠ABD，即∠CBD＝∠ABE，∴△CBD≌△ABE（SAS），∴CD＝AE，∠BDC＝∠E＝60°，∴∠ADC＝∠BDE+∠BDC＝120°，∴△ADC为钝角三角形，∴以AE、AD、AC为边的三角形是钝角三角形．（2）解：①以AE、AG、AC为边的三角形是直角三角形，理由如下：如图2，连接CG，∵四边形ABCD和四边形BGFE都是正方形，∴AB＝CB，BE＝BG，∠ABC＝∠BCD＝∠EBG＝∠BGF＝90°，∠EGB＝∠GEB＝45°，∴∠ABC﹣∠ABG＝∠EBG﹣∠ABG，即∠CBG＝∠ABE，∴△CBG≌△ABE（SAS），∴CG＝AE，∠CGB＝∠AEB＝45°，∴∠AGC＝∠EGB+∠CGB＝45°+45°＝90°，∴△ACG是直角三角形，即以AE、AG、AC为边的三角形是直角三角形；②由①可知，CG＝AE，∠AGC＝90°，∴CG2+AG2＝AC2，∴AE2+AG2＝AC2，∵AE2+AG2＝10，∴AC2＝10，∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝BC，∠ABC＝90°，∴AB2+BC2＝AC2＝10，∴AB2＝5，∴S正方形ABCD＝AB2＝5．16．（2023•通榆县模拟）下面是小明同学的作业及自主探究笔记，请认真阅读并补充完整．【作业】如图①，已知正方形ABCD中，E，F分别是AB、BC边上的点，且∠EDF＝45°，求证：EF＝AE+CF．证明：如图，将△DAE绕点D逆时针旋转90°，得到△DCM，则DE＝DM，∠A＝∠DCM，∠ADE＝∠MDC．∵四边形ABCD是正方形，∴∠A＝∠ADC＝∠DCB＝90°，∴∠EDM＝∠EDC+∠MDC＝∠EDC+∠ADE＝∠ADC＝90°．∵∠EDF＝45°，∴∠MDF＝∠EDF＝45°，又∵∠A＝∠DCM＝∠DCB＝90°，∴点B，F，C，M在一条直线上．∵DF＝DF，∴△EDF≌△MDE，∴EF＝MF＝CM+CF＝AE+CF．【探究】（1）在图①中，若正方形ABCD的边长为3，AE＝1，其他条件不变，求EF的长．解：∵正方形ABCD的边长为3，AE＝1，∴BE＝2，CM＝1．设EF＝x，则FM＝EF＝x，FC＝FM﹣CM＝x﹣1，∴BF＝3﹣（x﹣1）＝4﹣x．在Rt△BEF中，由22+（4﹣x）2＝x2，解得x＝，即EF＝；（2）如图②，在四边形ABCD中，∠A＝∠B＝90°，AB＝AD＝6，BC＝4，E是AB边上的点，且∠CDE＝45°，则CE＝5．（3）如图③，在△ABC中，∠BAC＝45°，AD为BC边上的高．若BD＝2，CD＝3，则AD的长为6．解：【作业】证明：将△DAE绕点D逆时针旋转90°，得到△DCM，则DE＝DM，∠A＝∠DCM，∠ADE＝∠MDC．∵四边形ABCD是正方形，∴∠A＝∠ADC＝∠DCB＝90°，∴∠EDM＝∠EDC+∠MDC＝∠EDC+∠ADE＝∠ADC＝90°．∵∠EDF＝45°，∴∠MDF＝∠EDF＝45°，又∵∠A＝∠DCM＝∠DCB＝90°，∴点B，F，C，M在一条直线上．∵DF＝DF，∴△EDF≌△MDE（SAS），∴EF＝MF＝CM+CF＝AE+CF．故答案为：△MDE，AE；【探究】（1）∵正方形ABCD的边长为3，AE＝1，∴BE＝2，CM＝1．设EF＝x，则FM＝EF＝x，FC＝FM﹣CM＝x﹣1，∴BF＝3﹣（x﹣1）＝4﹣x．在Rt△BEF中，由22+（4﹣x）2＝x2，解得x＝，即EF＝；故答案为：，；（2）过点D作DH⊥BC，交BC的延长线于点H，则四边形ABHD是正方形，将△DAE绕点D逆时针旋转90°，得到△DHM．∴DE＝DM，∠ADE＝∠MDH，∵∠EDC＝45°，∴∠ADE+∠CDH＝∠MDH+∠CDH＝45°，∴∠EDC＝∠CDM，又∵CD＝CD，∴△CDE≌△CDM（SAS），∴CE＝CM，∵BC＝4，AD＝AB＝BH＝6，∴CH＝2，设HM＝AE＝y，则CM＝CE＝y+2，BE＝6﹣y，在Rt△BEC中，BE2+CB2＝CE2，∴（6﹣y）2+42＝（y+2）2，∴y＝3，∴CE＝CM＝2+3＝5，故答案为：5；（3）把△ABD沿AB翻折得△ABQ，把△ACD沿AC翻折得△ACM，延长QB、MC交于点G，由（1）（2）得：四边形AMGQ是正方形，MC+BQ＝BC，MC＝CD＝3，DB＝BQ＝2，设MG＝AM＝AQ＝QG＝a，则GB＝a﹣2，CG＝a﹣3，在Rt△BGC中，由勾股定理得：（a﹣2）2+（a﹣3）2＝52，解得：a＝6（负值舍去），即AD＝6，故答案为：6．17．（2023•芝罘区一模）阅读下列材料：如图1，点A、D、E在直线l上，且∠BDA＝∠BAC＝∠AEC，则：∠CAE+∠BAC+∠BAD＝180°，又∠ABD+∠BDA+∠BAD＝180°，故∠CAE＝∠ABD．像这样一条直线上有三个等角顶点的图形我们把它称为“一线三等角”图形．请根据以上阅读解决下列问题：（1）如图2，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，直线ED经过点C，过A作AD⊥ED于点D，过B作BE⊥ED于点E．求证：△BEC≌△CDA．（2）如图3，在△ABC中，点D在BC上，∠CAD＝90°，AC＝AD，∠DBA＝∠DAB，AB＝2，求点C到AB边的距离．（3）如图4，在平行四边形ABCD中，E为边BC上一点，F为边AB上一点．若∠DEF＝∠B，AB＝10，BE＝4，EF＝6，求DE的长．（1）证明：∵∠ACB＝90°，∠BCE+∠ACB+∠ACD＝180°，∴∠BCE+∠ACD＝180°，∵AD⊥ED，BE⊥ED，∴∠BEC＝∠CDA＝90°，∠EBC+∠BCE＝90°，∴∠ACD＝∠EBC，在△BEC和△CDA中，，∴△BEC≌△CDA（AAS）；（2）解：过点D作DF⊥AB于点F，过点C作CE⊥AB于，交BA的延长线于点E，∵∠DBA＝∠DAB，∴AD＝BD，∴AF＝BF＝AB＝，∵∠CAD＝90°，∴∠DAF+∠CAE＝90°，∵∠DAF+∠ADF＝90°，∴∠CAE＝∠ADF，在△CAE和△ADF中，，∴△CAE≌△ADF（AAS），∴CE＝AF＝，即点C到AB的距离为；（3）解：过点D作DM＝DC交BC的延长线于点M，∴∠DCM＝∠M，∵四边形ABCD是平行四边形，∴DM＝CD＝AB＝10，AB∥CD，∴∠B＝∠DCM＝∠M，∵∠FEC＝∠DEF+∠DEC＝∠B+∠BFE，∠B＝∠DEF，∴∠DEC＝∠BFE，∴△BFE∽△MED，∴，∴，∴DE＝15．►考向四与圆有关问题18．（2022•金华）如图1，正五边形ABCDE内接于⊙O，阅读以下作图过程，并回答下列问题：作法如图2．1．作直径AF．2．以F为圆心，FO为半径作圆弧，与⊙O交于点M，N．3．连接AM，MN，NA．（1）求∠ABC的度数．（2）△AMN是正三角形吗？请说明理由．（3）从点A开始，以DN长为边长，在⊙O上依次截取点，再依次连接这些分点，得到正n边形，求n的值．解：（1）∵五边形ABCDE是正五边形，∴∠ABC＝＝108°，即∠ABC＝108°；（2）△AMN是正三角形，理由：连接ON，NF，如图，由题意可得：FN＝ON＝OF，∴△FON是等边三角形，∴∠NFA＝60°，∴∠NMA＝60°，同理可得：∠ANM＝60°，∴∠MAN＝60°，∴△MAN是正三角形；（3）连接OD，如图，∵∠AMN＝60°，∴∠AON＝120°，∵∠AOD＝＝144°，∴∠NOD＝∠AOD﹣∠AON＝144°﹣120°＝24°，∵360°÷24°＝15，∴n的值是15．19．（2023•盐都区三模）【阅读理解】在平面直角坐标系xOy中，把点P沿纵轴或横轴方向到达点Q的最短路径长记为d（P，Q）．例如：如图1，点A（1，1），点B（3，4），则d（A，B）＝5．（1）①已知点C（﹣1，4）和点D（3，2），则d（C，D）＝6．②点E是平面直角坐标系xOy中的一点，且d（0，E）＝2，则所有满足条件的点E组成的图形是C．A．一条线段B．一个等边三角形C．一个正方形D．一个圆【新知运用】（2）已知点P（1，0），点Q在线段MN上．①如图2，已知点M（3，2）和点N（0，2），则d（P，Q）的最大值是4；②如图3，已知点M（3，2）和点N（0，4），求d（P，Q）的最小值．（3）如图4，已知点P（1，0），点G（3，3），以点G为圆心，5为半径作⊙G，点Q在⊙G上，则d（P，Q）的取值范围是，≤d（P，Q）≤．【尺规作图】（4）如图5，请用无刻度直尺和圆规在直线l上找一点K，使得d（K，E）＝d（K，F）．解：（1）①∵C（﹣1，4）和点D（3，2），∴d（C，D）＝|﹣1﹣3|+|4﹣2|＝6；故答案为：6；②设E（x，y），∵d（0，E）＝2，∴|x|+|y|＝2，去绝对值符号，得，画出函数图象如图所示，∴所有满足条件的点E组成的图形是正方形；故选：C．（2）①∵点M（3，2）和点N（0，2），∴MN∥x轴，∵点Q在线段MN上，∴设Q（a，2），0≤a≤3，∴d（P，Q）＝|a﹣1|+|2﹣0|＝|a﹣1|+2，∴当|a﹣1|取得最大值时，d（P，Q）取得最大值，∵0≤a≤3，∴当a＝3时，d（P，Q）的最大值为|3﹣1|+2＝4；②设直线MN的函数解析式为y＝kx+b，将点M（3，2）和点N（0，4）代入，得，解得：，∴直线MN的函数解析式为y＝，∵点Q在线段MN上，∴设Q，0≤c≤3，∴d（P，Q）＝|c﹣1|+，当0≤c≤1时，d（P，Q）＝1﹣c+＝，此时，d（P，Q）随c的增大而减小，∴当c＝1时，d（P，Q）取得最小值，最小值为＝；当1≤c≤3，d（P，Q）＝c﹣1+＝，此时，d（P，Q）随c的增大而增大，∴当c＝1时，d（P，Q）取得最小值，最小值为＝．综上，d（P，Q）的最小值为．（3）解：过⊙G上任意一点Q作QB⊥x轴于点B，过点Q作直线OC，交x轴于点C，使∠QCB＝45°，如图，则△BCQ为等腰直角三角形，∴∠BQC＝∠OCB，QB＝CB，∴d（P，Q）＝PB+QB＝PB+BC＝PC，∴当PC最大时，d（P，Q）最大，当PC最小时，d（P，Q）最小，即过圆上一点作QC的平行线，与x轴交于一点，该点与P点间的距离最大时，d（P，Q）最大，该点与P点间的距离最小时，d（P，Q）最小，作DE∥CQ，使DE与⊙G相切于点D，交x轴于点E，此时PE最大，即当点Q运动到点D时，d（P，Q）最大，过点D作DF⊥x轴于点F，连接GD，过点G作GH⊥DF于点H，GK⊥x轴于点K，∵ED为⊙G的切线，∴∠GDE＝90°，∵DE∥CQ，∴∠DEF＝∠QCB＝45°，∴∠EDF＝90°﹣∠DEF＝90°﹣45°＝45°，∴∠GDH＝90°﹣∠EDF＝90°﹣45°＝45°，∵GH⊥DF，∴∠DHG＝90°，∴△DHG为等腰直角三角形，∴，∵G（3，3），P（1，0），∴GK＝OK＝3，OP＝1，∴PK＝OK﹣OP＝3﹣1＝2，∵∠GKF＝∠GHF＝∠HFK＝90°，∴四边形GHFK为矩形，∴KF＝GH＝，HF＝GK＝3，∴DF＝DH+HF＝，PF＝PK+KF＝，∴DF＝EF＝，∴PE＝PF+EF＝＝，∴d（P，Q）的最大值为，过点P作MN⊥x轴，交⊙G于M、N两点，过点M作MJ∥CQ交x轴于点J，此时PJ最小，∴当点Q运动到点M时，d（P，Q）最小，过点G作GL⊥MN于点L，连接GM，∵∠GLP＝∠LPK＝∠GKP＝90°，∴四边形GLPK为矩形，∴GL＝PK＝2，LP＝GK＝3，∴ML＝＝＝，∴PM＝ML﹣LP＝，∴d（P，Q）最小值为．综上，≤d（P，Q）≤．故答案为：≤d（P，Q）≤．（4）如图，连接EF，作EF的垂直平分线交EF于点M，以点M为圆心，ME为半径作⊙M，与EF的垂直平分线交于点N，过点N作x轴的平行线与直线l的交点即为所求点K，连接EN、FN，过点E作EA⊥KN于点A，作FB⊥KN于点B，则∠EAN＝∠FBN＝90°，∵EF为⊙M的直径，∴∠ENF＝90°，∴∠ANE+∠BNF＝∠BNF+∠BFN＝90°，∴∠ANE＝∠BFN，∵MN垂直平分EF，∴EN＝FN，在△ENA和△NFB中，，∴△ENA≌△NFB（AAS），∴EA＝NB，AN＝BF，∵d（K，E）＝KA+AE＝KN+AN+AE，d（K，F）＝KB+BF＝KN+NB+BF，∴d（K，E）＝d（K，F）．20．（2023•西陵区模拟）阅读以下材料，完成课题研究任务：【研究课题】设计公园喷水池【素材1】某公园计划修建一个图1所示的喷水池，水池中心O处立着一个高为2m的实心石柱OA，水池周围安装一圈喷头，使得水流在各个方向上都沿形状相同的抛物线喷出，并在石柱顶点A处汇合．为使水流形状更漂亮，要求水流在距离石柱0.5m处能达到最大高度，且离池面的高度为2.25m．【素材2】距离池面1.25米的位置，围绕石柱还修了一个小水池，要求小水池不能影响水流．【任务解决】（1）小张同学设计的水池半径为2m，请你结合已学知识，判断他设计的水池是否符合要求．（2）为了不影响水流，小水池的半径不能超过多少米？解：（1）符合要求，理由如下：由题意可得，顶点为（0.5，2.25），∴设解析式为y＝a（x﹣0.5）2+2.25，∵函数过点（0，2），∴代入解析式得，a（0﹣0.5）2+2.25＝2，解得a＝﹣1，∴解析式为：y＝﹣（x﹣0.5）2+2.25，令y＝0，则﹣（x﹣0.5）2+2.25＝0，解得x＝2或x＝﹣1（舍去），∴花坛的半径至少为2m；（2）令y＝1.25，则﹣（x﹣0.5）2+2.25＝1.25