小学数学教学中函数思维的渗透

【摘要】培养学生的函数思维有利于学生解决更复杂的数学问题，也能够让学生感受到数学知识的趣味性。文章以充分发挥小学数学课程的启蒙、开智作用为目标，探讨了将培养函数思维渗透到“数与代数”“图形与几何”“统计与概率”“综合与实践”教学的策略，以帮助广大教师提升学生数学学习能力、促进学生数学思维品质进阶。【关键词】小学数学；数学教学；数学思想方法；函数思维函数思维，是一种以数学函数思想为核心，根据函数的概念和性质去思考、探究量与量之间关联的思维方式。在小学阶段的数学课程中，函数思维以隐性、内敛的形式广泛存在于“数与代数”“图形与几何”“统计与概率”“综合与实践”四个数学领域之中。在具体的数学教学中，小学数学教师可以提升学生数学学习品质、发展学生数学核心素养为目的，将培养函数思维以更为有机与灵活的方式渗透到学生的数学学习过程中，让学生进行更有深度、精度与效度的数学学习。一、立足规律探索，在“数与代数”教学中培养函数思维“数与代数”是义务教育阶段数学课程的核心领域，主要由“数与运算”和“数量关系”两个有内在关联的部分组成。教师可以通过教授“数与代数”领域的内容，让小学生挖掘与开发数量关系与运算规律，建立良好的数感与推理意识［1］。要在该领域的教学中培养学生的函数思维，小学数学教师可带领学生探索数学知识的规律，根据量与量的关系进行推导与推理，使学生更为深刻地理解这部分数学知识，明白在数学运算中算理、算法以及数量关系之间的关联。例如，在教授苏教版四年级下册数学教材中的“运算律”一课时，教师可设计带领学生归纳加法运算律的数学教学活动。教师可以先展示一些加法算式，鼓励学生完成这些算式并观察这些算式的规律。在学生完成任务后，教师可鼓励学生组成学习小组，在小组内讨论计算结果，交流发现的数学运算规律。在学生讨论的过程中，小学数学教师需要及时观察学生的讨论情况，鼓励学生在小组中分享自己的发现与见解，并引导学生合作构建能够体现加法运算规律的数学模型，帮助学生深入探究加法运算律，让学生明确在加法算式中加数与和之间的关系。这样的教学活动不仅能够让学生充分发挥主观能动性，彰显学生的自主性，还有利于学生进行深度学习。在自主探究时，学生可以根据自身学习情况进行观察、分析；而在合作探究时，学生可以深入探究加法算式中加数与和之间的关系，学生的思维会由此得到锻炼，他们会逐渐学会更为发散与多元的思考数学问题、发现数学规律和数学原理的方法。二、专注关系推导，在“图形与几何”教学中培养函数思维“图形与几何”领域的教学对于培养小学生的数感和空间观念有着重要作用［2］。“图形与几何”领域由“图形的认识与测量”“图形的位置与运动”两个部分构成，其中“图形的认识与测量”涵盖了立体图形和平面图形的概念、特点等内容以及对图形面积、体积、周长等的计算，既是小学数学教学的重难点，也是小学阶段学生容易出现学习问题的关键内容。在以培养学生核心素养为目标的小学数学教学实践中，教师可以培养学生的空间观念为出发点，引导学生应用函数解析式推导计算图形周长、面积与体积的公式，让学生由浅层学习逐步进入深度学习，从而掌握复杂的数学知识。例如，在教授苏教版五年级上册数学教材中的“多边形的面积”一课时，教师可以引导学生由平行四边形面积计算公式推导三角形面积计算公式，让学生借助函数解析式了解“图形与几何”领域的知识。具体来说，教师可以带领学生探究同底同高的平行四边形与三角形的面积的关系，然后带领学生据此推导计算未知三角形面积的公式。首先，小学数学教师可以提供一组平行四边形（如图1），让学生测量图中平行四边形的底与高，再计算各个平行四边形的面积。其次，教师可让学生先将得到的数据填到如下表格（如表1）中，再沿这些平行四边形的任意一条对角线剪下两个三角形，并测量三角形的底和高，对照表格中的数据，思考这些三角形的面积与同底同高的平行四边形面积的关系。最后，在学生推理出同底同高的平行四边形与三角形面积的关系后，小学数学教师便可引导学生进一步推导未知三角形的面积计算公式。在这样的教学活动中，教师借助函数解析式指导学生学习“图形与几何”领域的数学知识，学生可以顺利地掌握图形之间的逻辑关系，加深对图形特征的认识。三、聚焦数据分析，在“统计与概率”教学中培养函数思维“统计与概率”也是义务教育阶段数学教学的关键领域［3］。在小学阶段，“統计与概率”领域的教学内容包含“数据分类”“数据收集、整理与表达”“随机现象发生的可能性”三个部分。教授“统计与概率”领域的重点是让学生了解如何通过统计图表等进行有效的数据分析，掌握有价值的数学规律，建立良好的数据意识。小学数学教师在指导学生学习“统计与概率”领域知识时，可带领学生分析函数图像，再让学生通过绘制将数据分类展示的图像发现数与形之间的关联，并逐步理解函数思想的本质，形成良好的数据分析意识与统计观念。例如，在教授苏教版五年级下册数学教材中的“折线统计图”一课时，教师就可以指导学生进行实践探究，以培养学生的思维能力。教师可以布置“探究自己一天内体温变化情况”的任务，然后指导学生据此绘制函数图像，有效分析自己收集的数据。首先，教师需要指导学生思考收集数据的方法和要点。小学数学教师可提出以下问题：“同学们，你们了解体温变化的知识吗？你们知道人的体温一般保持在什么范围内吗？你们知道怎么测量体温吗？如果需要探究自己一天内体温变化情况，你们认为需要收集哪些有价值的信息呢？又要如何绘制统计表呢？”这些问题可以激发学生的探究兴趣，在问题的引导下，学生会将注意力集中在有效采集信息的方法和要点上。教师可以指导学生提取“一天”与“体温”两个关键词，并据此找到需要收集的数据，绘制如表2的统计表。其次，教师需要指导学生有效收集数据。教师可为每名学生提供家用体温计，介绍使用家用体温计的方法，然后让学生观察家用体温计的量程与分度值，并以此为培养学生函数思维的突破口，向学生讲解“定义域”“值域”等函数中重要的概念。此后，教师可以鼓励学生使用家用体温计获得所需数据，再结合数据自主绘制体现自己一天内体温变化情况的折线统计图。最后，教师需要指导学生有效分析数据。小学数学教师可借助现代化教学软件展示学生自主绘制的统计图表，同时向学生提出相关的教学问题，驱使学生从函数的角度思考自己的体温随着时间变化的情况，得出有效的结论。在這样的教学活动中，学生不仅可以掌握“统计与概率”领域的知识，学会根据实际需要确定统计数据、收集数据、分析数据的方法，深刻理解折线统计图与统计表在表达数据变化趋势、展示数据动态变化规律等方面的价值，学生的数据分析能力与统计观念也会在活用函数思想的过程中得到增强。四、围绕问题解决，在“综合与实践”教学中培养函数思维在义务教育阶段的数学教学中，教师还应该引导学生将数学知识与数学方法应用到解决实际问题中，这样的教学活动也是让学生感悟数学知识与生活、社会、科技之间的关联及发展数学核心素养的关键活动［4］。在小学阶段的数学课程中，教师组织的综合实践活动多为主题式学习活动或项目式学习活动，学生可以在这些活动中亲历发现问题、提出问题、分析问题、解决问题的学习过程，从而持续积累解决问题的经验，了解相关的数学思想和方法，形成良好的建模意识以及一定的创新、创造能力。小学数学教师可以在组织综合实践活动时，引导学生聚焦解决问题的数学思想和方法，指导学生应用函数思想去审视、分析、解决相关数学问题。例如，在教授苏教版六年级下册数学教材中的“正比例与反比例”一课时，教师可以指导学生以小组形式展开实践，围绕“大树有多高”这一主题进行综合探究。小学数学教师在帮助学生科学划分学习小组后，可以利用多媒体设备展示我国古代发明——日晷的图片、视频资料，让学生了解日晷的工作原理，以开阔学生的视野，激活学生思维。在此之后，教师便可以引导学生结合所学数学知识和科学知识设计实践探究内容。本次综合实践活动的核心问题是“如何测得大树的高度”，教师可以引导学生转换思路，转而思考“如何利用树高与影长之间的关系测出树高”这一问题。在学生明确探究核心后，小学数学教师可鼓励学生自主思考解决问题的思路，然后指导各个学习小组利用竹竿、卷尺等材料展开实践探究。在学生测得数据后，教师还应指导学生应用图像分析法计算竹竿长度与影长之间的比值。如果学生没有思路，小学数学教师可提示学生应用此前学过的正比例函数与反比例函数的知识推测竹竿长与影长之间的关系，然后画出函数图像，再具体分析竹竿长度及其影长的比例。至此，学生会逐渐掌握收集数据、整理数据与分析数据的方法，意识到在同一时刻、同一地点，物体的高度与其影长的比例，并能够用函数表示物体的高度与物体的影长两个量之间的关联。小学数学教师还可以在此基础上，引导学生进行更深一步的探究。教师可以组织讨论活动，将学生的思维引回他们解决本次综合实践活动主要问题的过程，引导学生进行反思、总结，驱使学生分析自己如何有效迁移运用函数思想归纳出物高与影长的关系，如何测出大树物体的高度，使其充分体验应用函数思维解决数学问题的乐趣。在这样的教学活动中，学生可以学会从函数的角度观察与分析不同物体的数量关系的方法，而在综合运用图像分析法、函数解析式研究物高与影长之间的定量关系与