2024-2025学年高中数学第三章不等式3.4.1基本不等式同步作业含解析新人教A版必修51

PAGE基本不等式(30分钟60分)一、选择题(每小题5分,共30分)1.下列不等式正确的是 ()A.a+QUOTE≥2 B.(-a)+QUOTE≤-2C.a2+QUOTE≥2 D.(-a)2+QUOTE≤-2【解析】选C.由题意,a≠0,所以a2>0,所以a2+QUOTE≥2成立.2.假如正数a,b,c,d满意a+b=cd=4,那么 ()A.ab≤c+d且等号成立时,a,b,c,d的取值唯一B.ab≥c+d且等号成立时,a,b,c,d的取值唯一C.ab≤c+d且等号成立时,a,b,c,d的取值不唯一D.ab≥c+d且等号成立时,a,b,c,d的取值不唯一【解析】选A.a,b,c,d是正数,有ab≤QUOTE=4,当等号成立时,a=b=2,4=cd≤QUOTE⇒c+d≥4,当等号成立时,c=d=2.综上可知ab≤c+d且等号成立时,a=b=c=d=2.3.已知a>0,b>0,且2a+b=1,则QUOTE+QUOTE≥ ()A.7 B.8 C.9 【解析】选C.依题意QUOTE+QUOTE=QUOTE(2a+b)=5+QUOTE+QUOTE≥5+2QUOTE=5+4=9.4.已知x>0,若x+QUOTE的值最小,则x为 ()A.81 B.9 C.3 【解析】选B.因为x>0,所以x+QUOTE≥2QUOTE=18,当且仅当x=QUOTE,即x=9时等号成立.5.已知m=a+QUOTE(a>2),n=2(2-b2)(b≠0),则m,n之间的大小关系是 ()A.m>n B.m<nC.m=n D.不确定【解析】选A.因为a>2,所以a-2>0,又因为m=a+QUOTE=(a-2)+QUOTE+2,所以m≥2QUOTE+2=4,由b≠0,得b2≠0,所以2-b2<2,n=2(2-b2)<4,综上可知m>n.6.已知3a=5b=15(a,b>0,且a≠b),则a,b不行能满意的关系是A.a+b>4 B.ab>4C.(a-1)2+(b-1)2>2 D.a2+b2<8【解析】选D.由3a=5b=15,可得(3a)b=15b,(5b)a=所以3ab=15b,5ab=15a所以3ab·5ab=15b·15a,即15ab=15a所以a+b=ab,又a,b为不相等的正数,所以a+b>2QUOTE,所以ab>2QUOTE,即ab>4,故A,B正确;(a-1)2+(b-1)2>2等价于a2+b2>2(a+b),又a2+b2>2ab,且a+b=ab,故C正确;a2+b2>2ab,ab>4,所以a2+b2>8,故D错误.二、填空题(每小题5分,共10分)7.下列不等式证明过程正确的是________.

①若a,b∈R,则QUOTE+QUOTE≥2QUOTE=2;②若x>0,y>0,则lgx+lgy≥2QUOTE;③若x<0,则x+QUOTE≥-2QUOTE=-4;④若x<0,则2x+2-x>2QUOTE=2.【解析】因为x<0,所以2x∈(0,1),2-x>1,所以2x+2-x>2QUOTE=2,④正确.①,②不满意“一正”,③中“≥”应当为“≤”.答案:④8.已知a>0,b>0,若不等式QUOTE+QUOTE≥QUOTE恒成立,则m≤________.

【解析】不等式QUOTE+QUOTE≥QUOTE恒成立,则m≤QUOTE(a+9b)=QUOTE+QUOTE+10恒成立.因为QUOTE+QUOTE+10≥2QUOTE+10=16,当且仅当a=3b时等号成立,所以m≤16.答案:16三、解答题(每小题10分,共20分)9.已知a,b,c为不全相等的正实数.求证:a+b+c>QUOTE+QUOTE+QUOTE.【证明】因为a>0,b>0,c>0,所以a+b≥2QUOTE,b+c≥2QUOTE,c+a≥2QUOTE.所以2(a+b+c)≥2(QUOTE+QUOTE+QUOTE),即a+b+c≥QUOTE+QUOTE+QUOTE.由于a,b,c为不全相等的正实数,所以等号不成立.所以a+b+c>QUOTE+QUOTE+QUOTE.10.设x>0,求证:x+QUOTE≥QUOTE.【证明】因为x>0,所以x+QUOTE>0,所以x+QUOTE=x+QUOTE=QUOTE+QUOTE-QUOTE≥2QUOTE-QUOTE=QUOTE,当且仅当x+QUOTE=QUOTE,即x=QUOTE时,等号成立.(45分钟75分)一、选择题(每小题5分,共25分)1.设0<a<b,且a+b=1,则下列四个数中最大的是 ()A.QUOTE B.a2+b2C.2ab D.a【解析】选B.因为0<a<b,所以1=a+b>2a,所以a<QUOTE,又因为a2+b2≥2ab,所以最大数肯定不是a和2ab,又因为1=a+b>2QUOTE,所以ab<QUOTE,所以a2+b2=(a+b)2-2ab=1-2ab>1-QUOTE=QUOTE,即a2+b2>QUOTE.【一题多解】选B.特值检验法:取a=QUOTE,b=QUOTE,则2ab=QUOTE,a2+b2=QUOTE,因为QUOTE>QUOTE>QUOTE>QUOTE,所以a2+b2最大.2.已知a,b,c均为正实数,且ab+bc+ca=1,那么下列不等式中正确的是 ()A.a2+b2+c2≥2 B.(a+b+c)2≥3C.QUOTE+QUOTE+QUOTE≥2QUOTE D.abc(a+b+c)≤QUOTE【解析】选B.因为a2+b2≥2ab,b2+c2≥2bc,c2+a2≥2ac,所以2(a2+b2+c2)≥2(ab+bc+ac)(当且仅当a=b=c时取等号),所以a2+b2+c2≥1.所以a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc≥1+2,所以(a+b+c)2≥3.3.已知a,b∈(0,+∞),且a+b+QUOTE+QUOTE=5,则a+b的取值范围是 ()A.[1,4] B.[2,+∞)C.(1,4) D.(4,+∞)【解析】选A.因为a,b∈R+,所以QUOTE≥ab,可得QUOTE≥QUOTE,当且仅当a=b=QUOTE或a=b=2时取等号,因为a+b+QUOTE+QUOTE=5,所以(a+b)QUOTE=5≥(a+b)QUOTE,化为:(a+b)2-5(a+b)+4≤0,解得1≤a+b≤4,则a+b的取值范围是[1,4].4.设a,b,c∈R+,且a+b+c=1,若M=(QUOTE-1)(QUOTE-1)QUOTE,则必有 ()A.0≤M<QUOTE B.QUOTE≤M<1C.1≤M<8 D.M≥8【解析】选D.因为a+b+c=1,利用基本不等式a+b≥2QUOTE(a,b∈R+)代换,所以QUOTE=QUOTE≥QUOTE=8.当且仅当a=b=c=QUOTE时等号成立.5.设x,y∈R+且xy-(x+y)=1,则 ()A.x+y≥2(QUOTE+1) B.xy≤QUOTE+1C.x+y≤(QUOTE+1)2 D.xy≥2(QUOTE+1)【解析】选A.因为x,y∈R+且xy-(x+y)=1,则xy=1+(x+y)≥1+2QUOTE,化为:(QUOTE)2-2QUOTE-1≥0,解得QUOTE≥1+QUOTE,即xy≥(1+QUOTE)2,xy=1+(x+y)≤QUOTE,即(x+y)2-4(x+y)-4≥0,解得x+y≥2(QUOTE+1).二、填空题(每小题5分,共20分)6.已知正实数a,b满意2a+b=1,则QUOTE+QUOTE≥________.

【解析】因为正实数a,b满意2a+b=1,所以QUOTE+QUOTE=(2a+b)QUOTE=QUOTE+QUOTE+QUOTE≥QUOTE+2QUOTE=QUOTE,当且仅当a=b=QUOTE时取等号,所以QUOTE+QUOTE≥QUOTE.答案:QUOTE7.某市一外贸公司,第一年产值增长率为a,其次年产值增长率为b,这两年的平均增长率为x,那么x与QUOTE的大小关系是__________.

【解析】依题意,可得(1+x)2=(1+a)(1+b)≤QUOTE=QUOTE,所以1+x≤1+QUOTE,即x≤QUOTE.答案:x≤QUOTE8.设m,n∈R,若直线(m+1)x+(n+1)y-2=0与圆(x-1)2+(y-1)2=1相切,则m+n的取值范围是________.

【解析】因为直线与圆相切,所以圆心到直线的距离d=r.d=QUOTE=1,整理得m+n+1=mn,因为m,n∈R,所以mn≤QUOTE,所以m+n+1≤QUOTE,即(m+n)2-4(m+n)-4≥0,解得m+n≤2-2QUOTE或m+n≥2+2QUOTE.答案:(-∞,2-2QUOTE]∪[2+2QUOTE,+∞)9.已知a,b,c都是非负实数,QUOTE+QUOTE+QUOTE与QUOTE(a+b+c)的大小关系为________.

【解题指南】对QUOTE,QUOTE,QUOTE分别利用基本不等式,即可比较出两者的大小.【解析】因为a2+b2≥2ab,所以2(a2+b2)≥(a+b)2,所以QUOTE≥QUOTE(a+b).同理,QUOTE≥QUOTE(b+c),QUOTE≥QUOTE(c+a).所以QUOTE+QUOTE+QUOTE≥QUOTE[(a+b)+(b+c)+(c+a)]=QUOTE(a+b+c).故QUOTE+QUOTE+QUOTE≥QUOTE(a+b+c),当且仅当a=b=c时,等号成立.答案:QUOTE+QUOTE+QUOTE≥QUOTE(a+b+c)三、解答题(每小题10分,共30分)10.已知x,y>0,且x+2y+xy=30,求xy的取值范围.【解析】因为x,y是正实数,所以30=x+2y+xy≥2QUOTE+xy,当且仅当x=2y,即x=6,y=3时,等号成立.所以xy+2QUOTE-30≤0.令QUOTE=t,则t>0,t2+2QUOTEt-30≤0,解得-5QUOTE≤t≤3QUOTE,又t>0,所以0<QUOTE≤3QUOTE,即xy的取值范围是(0,18].11.(1)已知a>b>c,求证:QUOTE+QUOTE+QUOTE≥0.(2)已知a,b是正数,求证:a2+4b2+QUOTE≥4.【解析】(1)因为a>b>c,所以a-b>0,b-c>0,a-c>0.所以4(a-b)(b-c)≤[(a-b)+(b-c)]2=(a-c)2.所以QUOTE≥QUOTE,即QUOTE-QUOTE≥0.所以QUOTE+QUOTE+QUOTE≥0.(2)因为a,b是正数,所以a2+4b2≥4ab.所以a2+4b2+QUOTE≥4ab+QUOTE≥2QUOTE=4.即a2+4b2+QUOTE≥4.当且仅当a=1,b=QUOTE时取等号.【补偿训练】已知a,b,c∈R,求证:a4+b4+c4≥a2b2+b2c2+c2a【证明】由基本不等式可得:a4+b4=(a2)2+(b2)2≥2a2b2,同理:b4+c4≥2b2c2,c4+a4≥2c2所以(a4+b4)+(b4+c4)+(c4+a4)≥2a2b2+2b2c2+2c2所以a4+b4+c4≥a2b2+b2c2+