2024-2025学年新教材高中数学第六章导数及其应用6.1.4求导法则及其应用学案含解析新人教B版选择性必修第三册1

PAGE6.1.4求导法则及其应用新版课程标准学业水平要求1.能利用给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则,求简洁函数的导数2.能求简洁的复合函数(限于形如f(ax+b))的导数★水平一1.借助教材实例了解利用定义求函数的导数.(数学运算)2.驾驭基本初等函数的导数公式,并会利用公式求简洁函数的导数.(数学运算)★水平二能利用基本初等函数的导数公式求函数的导数、解决与曲线的切线有关的问题.(数学运算)必备学问·素养奠基1.导数的四则运算法则和、差的导数[f(x)±g(x)]′=f′(x)±g′(x)积的导数[f(x)·g(x)]′=f′(x)·g(x)+f(x)·g′(x)商的导数QUOTE′=QUOTE(g(x)≠0)特殊地,(1)[cf(x)]′=cf′(x);(2)QUOTE′=-QUOTE.2.复合函数及其导数(1)定义:一般地,已知函数y=f(u)与u=g(x),给定x的随意一个值,就能确定u的值.假如此时还能确定y的值,则y可以看成x的函数,此时称f(g(x))有意义,且称y=h(x)=f(g(x))为函数f(u)与g(x)的复合函数,其中u称为中间变量;(2)求导法则:h′(x)=[f(g(x))]′=f′(u)g′(x)=f′(g(x))g′(x),这一结论也可以表示为y′x=y′uu′x.1.思维辨析(对的打“√”,错的打“×”)(1)若y=x+QUOTE,则y′=1+QUOTE. ()(2)若y=x2cosx,则y′=-2xsinx. ()(3)若y=QUOTE,则y′=-cosx. ()(4)若y=3x2-e2x,则y′=6x-2ex. ()提示:(1)×.由y=x+QUOTE,得y′=1-QUOTE.(2)×.由y=x2cosx,得y′=2xcosx-x2sinx.(3)×.由y=QUOTE,得y′=QUOTE.(4)×.依据导数四则运算法则,y′=(3x2)′-(e2x)′=6x-2e2x.2.已知函数f(x)=QUOTE,f′(m)=-QUOTE,则m= ()A.-4 B.4 C.±2 D.-2【解析】选C.f′(x)=-QUOTE,所以f′(m)=-QUOTE=-QUOTE,解得m=±2.3.函数y=x2sinx的导数为 ()A.y′=2xsinx+x2cosx B.y′=2xsinx-x2cosxC.y′=x2sinx+2xcosx D.y′=x2sinx-2xcosx【解析】选A.因为y=x2sinx,所以y′=(x2)′sinx+x2(sinx)′=2xsinx+x2cosx.关键实力·素养形成类型一利用运算法则求函数的导数【典例】1.(2024·永州高二检测)已知函数f(x)=ax2+2020,且f′(1)=4,则a的值为 ()A.2020 B.2015 C.2 D.QUOTE2.求下列函数的导数:(1)y=QUOTE-lnx. (2)y=(x2+1)(x-1).(3)y=QUOTE. (4)y=QUOTE.【思维·引】1.先求f′(x),再解方程f′(1)=4,求a的值.2.运用导数的四则运算法则求导.【解析】1.选C.依据题意,函数f(x)=ax2+2020,则f′(x)=2ax,若f′(1)=4,即2a=4,解得a=2.2.(1)y′=(QUOTE-lnx)′=(QUOTE)′-(lnx)′=QUOTE-QUOTE.(2)y′=[(x2+1)(x-1)]′=(x3-x2+x-1)′=(x3)′-(x2)′+x′-1′=3x2-2x+1.(3)y′=QUOTE=QUOTE.(4)y′=QUOTE=QUOTE.【内化·悟】运用导数四则运算法则求导须要留意哪些问题?提示:(1)分清所求导函数由哪些基本初等函数组成,是函数的和、差还是积、商.(2)精确运用法则求导.【类题·通】利用导数运算法则的策略(1)分析待求导式子符合哪种求导法则,每一部分式子是由哪种基本初等函数组合成的,确定求导法则,基本公式.(2)假如待求导式子比较困难,则须要对式子先变形再求导,常用的变形有乘积式绽开变为和式求导,商式变乘积式求导,三角函数恒等变换后求导等.(3)利用导数运算法则求导的原则是尽可能化为和、差,能利用和差的求导法则求导的,尽量少用积、商的求导法则求导.【习练·破】1.若函数f(x)=ax4+bx2+c满意f′(1)=2,则f′(-1)等于 ()A.-1 B.-2 C.2 D.0【解析】选B.因为f′(x)=4ax3+2bx,所以f′(1)=4a+2b=2,所以f′(-1)=-4a-2b=-(4a+2b)=-2.2.(2024·全国Ⅲ卷)设函数f(x)=QUOTE.若f′(1)=QUOTE,则a=________.

【解析】由函数的解析式可得:f′QUOTE=QUOTE=QUOTE,则f′QUOTE=QUOTE=QUOTE,所以QUOTE=QUOTE,所以a2-2a+1=0,解得:a=1.答案:1【加练·固】1.已知函数f(x)的导函数为f′(x),且满意f(x)=2xf′(1)+lnx,则f′(1)等于 ()A.-eB.-1C.1D.e【解析】选B.因为函数f(x)的导函数为f′(x),且满意f(x)=2xf′(1)+lnx(x>0),所以f′(x)=2f′(1)+QUOTE,把x=1代入f′(x)可得f′(1)=2f′(1)+1,解得f′(1)=-1.2.若函数f(x)=QUOTE在x=x0处的导数值与函数值互为相反数,则x0的值等于 ()A.0 B.1 C.QUOTE D.不存在【解析】选C.由于f(x)=QUOTE,得f(x0)=QUOTE,f′(x)=QUOTE=QUOTE,所以f′(x0)=QUOTE.依题意知f(x0)+f′(x0)=0,得QUOTE+QUOTE=0,即QUOTE=0,所以2x0-1=0,得x0=QUOTE.类型二复合函数的导数【典例】求下列函数的导数.(1)y=ln(6x+4).(2)y=sinQUOTE.(3)y=5log2(2x-1).【思维·引】先把复合函数拆分成基本初等函数,再运用复合函数求导法则进行求导.【解析】(1)设y=lnu,u=6x+4,则y′x=y′u·u′x=QUOTE·6=QUOTE=QUOTE.(2)设y=sinu,u=3x-QUOTE,则y′x=y′u·u′x=cosu·3=3cosQUOTE.(3)设y=5log2u,u=2x-1,则y′=5(log2u)′·(2x-1)′=QUOTE=QUOTE.【类题·通】求复合函数的导数的步骤提示:(1)内、外层函数通常为基本初等函数.(2)求每层函数的导数时留意分清是对哪个变量求导,这是求复合函数导数时的易错点.(3)逐层求导结束后对结果进行化简整理,使导数式尽量简洁.【习练·破】1.(2024·大庆高二检测)已知f(x)=sin2x+e2x,则f′(x)= ()A.2cos2x+2e2x B.cos2x+e2xC.2sin2x+2e2x D.sin2x+e2x【解析】选A.依据题意,f(x)=sin2x+e2x,则f′(x)=2cos2x+2e2x.2.(2024·泉州高二检测)已知f(x)=ln(2x+1)-ax,且f′(2)=-1,则a= ()A.QUOTE B.QUOTE C.-QUOTE D.-QUOTE【解析】选A.f′(x)=QUOTE-a,所以f′(2)=QUOTE-a=-1,解得a=QUOTE.类型三导数运算法则的综合应用【典例】1.已知e为自然对数的底数,曲线y=aex+x在点(1,ae+1)处的切线与直线2ex-y-1=0平行,则实数a= ()A.QUOTE B.QUOTE C.QUOTE D.QUOTE2.已知抛物线y=f(x)=ax2+bx+c过点(1,1),且在点(2,-1)处与直线y=x-3相切,求a,b,c的值.【思维·引】利用切点处的导数等于切线的斜率,切点坐标既满意曲线方程,也满意切线方程.【解析】1.选B.函数y=aex+x的导数为y′=aex+1,可得曲线y=aex+x在点(1,ae+1)处的切线的斜率为y′=ae+1,所以ae+1=2e,解得a=QUOTE.2.因为f(1)=1,所以a+b+c=1.①又f′(x)=2ax+b,f′(2)=1,所以4a+b=1.②又切点(2,-1)在抛物线上,所以4a+2b+c=-1.③把①②③联立得方程组QUOTE解得QUOTE即a=3,b=-11,c=9.【内化·悟】运用导数解有关切线问题应特殊留意什么?提示:(1)导数的双重性;(2)切点坐标的双重性.【类题·通】关于求导法则的综合应用(1)此类问题往往涉及切点、切点处的导数、切线方程三个主要元素.其他的条件可以进行转化,从而转化为这三个要素间的关系.(2)精确利用求导法则求出导函数是解决此类问题的第一步,也是解题的关键,务必做到精确.易错警示:分清已知点是否在曲线上,若不在曲线上则要设出切点.【习练·破】1.若函数f(x)=ex+2ax存在与直线y=5x+6平行的切线,则实数a的取值范围是________.

【解析】由f(x)=ex+2ax得f′(x)=ex+2a,又函数f(x)=ex+2ax存在与直线y=5x+6平行的切线,即ex+2a=5有解,所以ex=5-2a,所以5-2a>0,所以a<QUOTE.答案:a<QUOTE2.设曲线y=xn+1(n∈N+)在点(1,1)处的切线与x轴的交点的横坐标为xn,令an=lgxn,则a1+a2+…+a99的值为________.

【解析】因为当x=1时,y′=n+1,所以y=xn+1在点(1,1)处的切线方程为y=(n+1)(x-1)+1.令y=0,得x=xn=QUOTE,所以an=lgn-lg(n+1),所以a1+a2+…+a99=lg1-lg100=-2.答案:-2【加练·固】若曲线y=x2+alnx(a>0)上随意一点处的切线斜率为k,若k的最小值为4,则此时该切点的坐标为 ()A.(1,1)B.(2,3)C.(3,1)D.(1,4)【解析】选A.y=x2+alnx的定义域为(0,+∞),由导数的几何意义知y′=2x+QUOTE≥2QUOTE=4,得a=2,当且仅当x=1时等号成立,代入曲线方程得y=1,故所求的切点坐标是(1,1).课堂检测·素养达标1.已知函数f(x)=sin2x+lnx,则f′(1)的值为 ()A.1-2sin2 B.1+2cos2C.1+2sin2 D.1-2cos2【解析】选B.因为f′(x)=2cos2x+QUOTE,所以f′(1)=2cos2+1.2.函数f(x)=ex+xsinx-7x在x=0处的导数等于 ()A.-6 B.6 C.-4 D.-5【解析】选A.f′(x)=(ex)′+(xsinx)′-(7x)′=ex+sinx+xcosx-7,所以f′(0)=e0-7=-6.3.在平面直角坐标系xOy中,点P在曲线C:y=x3-10x+3上,且在其次象限内.已知曲线C在点P处的切线的斜率为2,则点P的坐标为________.

【解析】设P(x0,y0)(x0<0),由题意知y′QUOTE=3QUOTE-10=2,即QUOTE=4,得x0=-2,所以y0=15,故点P的坐标为(-2,15).答案:(-2,15)4.(2024·广州高二检测)设函数f(x)的导数为f′(x),且满意f(x)=f′(1)x3-2x,则f(1)=________.

【解析】依据题意,f(x)=f′(1)x3-2x,则f′(x)=3f′(1)x2-2xln2,当x=1时,有f′(1)=3f′(1)-2ln2,解得f′(1)=ln2,则f(x)=ln2×x3-2x,故f(1)=ln2-2.答案:ln2-2【新情境·新思维】(2024·广州高二检测)已知函数f(x)的导函数为f′(x),记f1(x)=f′(x),f2(x)=f1′(x),…,fn+1(x)=fn′(x)(n∈N+).若f(x)=xsinx,则f5(x)+f7(x)= ()A.-2cosx B.-2sinx C.2cosx D.2sinx【解析】选B.f(x)=xsinx,则f1(x)=f′(x)=sinx+xcosx,f2(x)=f1′(x)=cosx+cosx-xsinx=2cosx-xsinx,f