2024-2025学年新教材高中数学第十一章立体几何初步11.1空间几何体11.1.5旋转体学案新人教B版必修第四册

PAGE11.1.5旋转体必备学问·自主学习导思1.圆柱、圆锥、圆台及球是怎样形成的?2.通过圆柱、圆锥、圆台的旋转轴的截面是什么图形?3.用一个平面去截球所得的截面是什么图形?1.圆柱、圆锥、圆台的有关概念2.侧面积公式(1)S圆柱侧=2πrl.

(2)S圆锥侧=πrl.

(3)S圆台侧=π(r1+r2)l.

3.旋转体的表面积(1)旋转体的侧面积与底面积之和称为旋转体的表面积.(2)圆柱、圆锥、圆台的表面积公式4.球的结构特征5.球的表面积S=4πR2(R为球的半径).

1.辨析记忆(对的打“√”,错的打“×”)(1)圆柱上底面圆周上任一点与下底面圆周上任一点的连线是圆柱的母线. ()(2)圆台有多数条母线,它们相等,延长后相交于一点. ()(3)用一个平面去截圆锥,得到一个圆锥和一个圆台. ()(4)用随意一个平面去截球,得到的是一个圆面. ()(5)圆台的高就是相应母线的长. ()提示:(1)×.圆柱的母线与轴是平行的.(2)√.用平行于圆锥底面的平面去截圆锥,底面与截面之间的部分是圆台,由此可知此说法正确.(3)×.用与底面平行的平面去截圆锥,才能得到一个圆锥和一个圆台.(4)√.因为球是一个几何体,包括表面及其内部,所以用一个平面去截球,得到的是一个圆面.(5)×.圆台的高是指两个底面之间的距离.2.圆锥的母线长为10,底面半径为6,则其高等于 ()A.6 B.8 C.10 D.不确定【解析】选B.由圆锥的轴截面可知,圆锥的母线、底面半径与高构成直角三角形,所以其高为QUOTE=8.3.(教材二次开发:例题改编)已知两个球的半径之比为1∶2,则这两个球的表面积之比为 ()A.1∶2 B.1∶4 C.1∶6 D.1∶8【解析】选B.设大、小两球的半径分别为R1,R2,表面积分别为S1,S2,则QUOTE=QUOTE=QUOTE=QUOTE=QUOTE.4.关于圆台,下列说法正确的是.(填序号)

①两个底面平行且全等;②圆台的母线有多数条;③圆台的母线长大于高;④两底面圆心的连线是高.【解析】圆台的上底面和下底面是两个大小不同的圆,则①不正确,②③④正确.答案:②③④关键实力·合作学习类型一圆柱、圆锥、圆台的有关概念(数学抽象、直观想象)【典例】(多选题)下列命题中正确的是 ()A.圆锥、圆台中过轴的截面是轴截面,圆锥的轴截面是等腰三角形,圆台的轴截面是等腰梯形B.夹在圆柱的两个平行截面间的几何体还是一个旋转体C.圆锥截去一个小圆锥后剩余部分是圆台D.通过圆台侧面上一点,有多数条母线【思路导引】依据旋转体及其相关概念逐项推断.【解析】选AC.A正确.B错误,没有说明这两个平行截面与底面的位置关系,当这两个平行截面与底面平行时正确,其他状况则是错误的.C正确.D错误,通过圆台侧面上一点,只有一条母线.故选AC.1.推断旋转体形态的步骤(1)明确旋转轴.(2)确定平面图形中各边(通常是线段)与旋转轴的位置关系.(3)依据圆柱、圆锥、圆台、球的定义和一些结论来确定形态.2.与简洁旋转体的截面有关的结论(1)圆柱、圆锥、圆台平行于底面的截面都是圆面.(2)圆柱、圆锥、圆台的轴截面(即过旋转轴的截面)分别是矩形、等腰三角形、等腰梯形.下列几种说法:①圆锥的顶点、底面圆的圆心与圆锥底面圆周上随意一点这三点的连线都可以构成直角三角形;②圆锥的顶点与底面圆周上随意一点的连线是圆锥侧面的母线;③圆柱的轴截面是过侧面的母线的截面中最大的一个;其中说法正确的是.

【解析】由圆锥的定义及母线的性质知①②正确,圆柱的轴截面过上下底的直径,所以是过母线的截面中最大的一个.答案:①②③类型二球的有关概念(数学抽象、直观想象)【典例】1.一个正方体内有一个内切球,作正方体的对角面,所得截面图形是下图中的 ()2.长方体的一个顶点上三条棱分别是3,4,5,且它的8个顶点都在同一球面上,则这个球的表面积是 ()A.25π B.50π C.125π D.以上都不对【思路导引】1.留意球与正方体的各个面都相切,该截面是正方体的对角面.2.留意球与长方体的关系,此时球的直径等于长方体的体对角线.【解析】1.选B.由组合体的结构特征知,球与正方体各面相切,与各棱相离.2.选B.由于长方体的体对角线的长是球的直径.所以可求得这个球的直径是5QUOTE,然后代入球的表面积公式S=4πR2即可.常见的有关球的一些性质(1)长方体的8个顶点在同一个球面上,则长方体的体对角线是球的直径;球与正方体的六个面均相切,则球的直径等于正方体的棱长;球与正方体的12条棱均相切,则球的直径是正方体的面对角线.(2)球与圆柱的底面和侧面均相切,则球的直径等于圆柱的高,也等于圆柱底面圆的直径.下列三个结论中,错误的个数为 ()①经过球面上随意两点,可以作且只可以作一个球的大圆;②球面积是它大圆面积的四倍;③球面上两点的球面距离,是这两点所在截面圆上以这两点为端点的劣弧的长.A.0个 B.1个 C.2个 D.3个【解析】选C.当球面上的两点与球心共线时可作多数个球的大圆,①错;S球=4πR2,S大圆=πR2.所以S球=4S大圆,②正确;球面上两点的球面距离是球面上的两点之间的最短距离,就是经过两点的大圆在这两点间的一段劣弧的长度,并非在随意截面圆上,所以③错.【补偿训练】设长方体的长、宽、高分别为2a,a,a,其顶点都在一个球面上,则该球的表面积为 ()A.3πa2 B.6πa2C.12πa2 D.24πa2【解析】选B.长方体的长、宽、高分别为2a,a,a,其顶点都在一个球面上,长方体的体对角线的长就是外接球的直径,所以球的直径为QUOTEa,所以球的半径为QUOTEa,所以球的表面积是4πQUOTE=6a2π.类型三旋转体中的计算问题(数学运算)角度1旋转体的简洁计算问题

【典例】1.母线长为12cm,两底面面积分别为4πcm2和25πcm2,求圆台的高.2.已知球的两个平行截面的面积分别为5π和8π,它们位于球心的同一侧,且距离为1,那么这个球的半径是.

【思路导引】1.作出圆台的轴截面,是一个等腰梯形,计算等腰梯形的高即为圆台的高.2.作出球的大圆,留意球心与截面的圆心连线垂直于截面,留意在直角三角形中求解即可.【解析】1.截面是等腰梯形ABCD(如图所示).由已知可得O1A=2cm,OB=5cm又由题意知,腰长为12cm,所以高AM=QUOTE=3QUOTE(cm).2.如图所示,因为两个平行截面的面积分别为5π、8π,所以两个截面圆的半径分别为r1=QUOTE,r2=2QUOTE.因为球心到两个截面的距离d1=QUOTE,d2=QUOTE,所以d1-d2=QUOTE-QUOTE=1,所以R2=9,所以R=3.答案:3与圆锥有关的截面问题的解决策略求解有关圆锥的基本量的问题时,一般先画出圆锥的轴截面,得到一等腰三角形,进而可得到直角三角形,将问题转化为有关直角三角形的问题进行求解.通常在求圆锥的高、母线长、底面圆的半径长等问题时,都是通过取其轴截面,化归求解.奇妙之处就是将空间问题转化为平面问题来解决.角度2旋转体表面上两点间的最短距离问题

【典例】圆台的上、下底面半径分别为5cm,10cm,母线长AB=20cm,从圆台母线AB的中点M拉一条绳子绕圆台侧面转到B点(B在下底面),求:(1)绳子的最短长度;(2)在绳子最短时,上底面圆周上的点到绳子的最短距离.【思路导引】(1)由题意须要画出圆台的侧面绽开图,并还原成圆锥绽开的扇形,则所求的最短距离是平面图形上两点连线的距离;(2)将侧面绽开,在平面中求解.【解析】(1)画出圆台的侧面绽开图,并还原成圆锥绽开的扇形,且设扇形的圆心为O.由图得:所求的最短距离是MB′,设OA=R,圆心角是θ,则由题意知10π=θR①,20π=θ(20+R)②,由①②解得θ=QUOTE,R=20cm,所以OM=30cm,OB′=40cm,则MB′=50cm.故绳子最短的长度为50cm.(2)作OC⊥B′M交弧AA′于D,交MB′于C,OC是顶点O到MB′的最短距离,则DC是MB′与弧AA′的最短距离,DC=OC-OD=QUOTE-20=4cm,即上底面圆周上的点到绳子的最短距离是4cm.“化曲为直”解决旋转体表面上的距离最短问题几何体表面最短路径问题一般是把侧面绽开,转化为平面学问求解,这点与多面体的“化折为平”相像,体现了化归与转化的思想,即将空间问题转化为平面问题解决.1.用与球心距离为1的平面去截球,所得截面圆的面积为π,则球的表面积为 ()A.QUOTEB.QUOTEC.8πD.QUOTE【解析】选C.设球的半径为R,则截面圆的半径为QUOTE.所以截面圆的面积为S=πQUOTE=(R2-1)π=π,所以R2=2,所以球的表面积S=4πR2=8π.2.某圆台的上、下底面半径和高的比为1∶4∶4,母线长为10,则该圆台的表面积为 ()A.81π B.100π C.168π D.169π【解析】选C.该圆台的轴截面如图所示.设圆台的上底面半径为r,则下底面半径r′=4r,高h=4r,则它的母线长l=QUOTE=QUOTE=5r=10,所以r=2,r′=8.所以S侧=πQUOTEl=π(8+2)×10=100π,S表=S侧+πr2+πr′2=100π+4π+64π=168π.3.如图,始终立在水平地面上的圆锥形物体的母线长为4m,一只小虫从圆锥的底面圆上的点P动身,绕圆锥表面爬行一周后回到点P处,若该小虫爬行的最短路程为4QUOTE【解析】作出圆锥的侧面绽开图,如图所示,该小虫爬行的最短路程为PP′,在△OPP′中,OP=OP′=4m,PP′=4QUOTE取线段PP′的中点A,连接OA.在Rt△POA中,PA=QUOTEPP′=2QUOTEm,OP=4m,所以sin∠POA=QUOTE=QUOTE,所以∠POA=60°,∠P′OP=2∠POA=120°.设底面圆的半径为r,则有2πr=QUOTEπ·4,所以r=QUOTE(m).备选类型简洁组合体的结构特征(直观想象、数学运算)【典例】始终角梯形ABCD如图所示,分别以AB,BC,CD,DA所在直线为轴旋转,试说明所得几何体的大致形态.【思路导引】依据旋转体的概念及结构特征推断.【解析】以AB所在直线为轴旋转可得到一个圆台;以BC所在直线为轴旋转可得到一个圆柱和圆锥的组合体;以CD所在直线为轴旋转可得到一个圆台,下底挖去一个小圆锥,上底增加一个较大的圆锥;以AD所在直线为轴旋转可得一个圆柱,上面挖去一个圆锥,如图所示.旋转体的形态推断技巧(1)推断旋转体形态的关键是轴的确定,看是由平面图形绕哪条直线旋转所得,同一个平面图形绕不同的轴旋转,所得的旋转体一般是不同的.(2)在旋转过程中视察平面图形的各边所形成的轨迹,可利用空间想象实力,或亲自动手做出平面图形的模型来分析旋转体的形态.1.如图所示,是由等腰梯形、矩形、半圆、圆、倒三角形对接形成的轴对称平面图形,若将它绕l轴旋转180°后形成一个组合体,下面说法不正确的是 ()A.该组合体可以分割成圆台、圆柱、圆锥和两个球体B.该组合体仍旧关于轴l对称C.该组合体中的圆锥和球只有一个公共点D.该组合体中的球和半球只有一个公共点【解析】选A.该平面图形经过旋转后形成的几何体由上到下是:倒置的圆锥、球、半球、圆柱、圆台,故A是错误的.2.如图所示,从底面半径为2a,高为QUOTEa的圆柱中,挖去一个底面半径为a且与圆柱等高的圆锥,求圆柱的表面积S1与挖去圆锥后的几何体的表面积S2之比.【解析】由题意,知S1=2π·2a·QUOTEa+2π·(2a)2=(4QUOTE+8)πa2,挖去圆锥的母线长为QUOTE=2a,S2=S1+πa·(2a)-πa2=(4QUOTE+9)πa2.所以S1∶S2=(4QUOTE+8)∶(4QUOTE+9).课堂检测·素养达标1.下列几何体中是旋转体的是 ()①圆柱;②六棱锥;③正方体;④球体;⑤四面体.A.①和⑤ B.① C.③和④ D.①和④【解析】选D.依据旋转体的概念可知,①和④是旋转体.2.下列结论中:①等腰梯形的纸片可以卷成一个没有两底的圆台;②一个圆台存在两条母线的延长线不相交于一点;③过圆台的任何两条母线的截面都是等腰梯形.其中错误的结论个数为 ()A.0 B.1 C.2 D.3【解析】选C.一个扇环可以卷成一个没有两底的圆台,故①错误;圆台的任何母线的延长线都相交于一点,故②错误;简洁推断③正确.3.若一个圆锥的轴截面是面积为9的等腰直角三角形,则这个圆锥的底面圆的半径为 ()A.4 B.2 C.1 D.3【解析】选D.设圆锥的底面圆半径为r,则轴截面的面积为QUOTE×2r·r=9,解得r=3.4.若两球的表面积之差为48π,两球面上的两个大圆周长之和为12π,则这两个球的半径之差为 ()A.12 B.2 C.12π D.2π【解析】选B.设大球的半径为R,小球的半径为r,依题意得QUOTE⇒QUOTE,所以R-r=QUOTE=QUOTE=2.5.已知一个圆柱的轴截面是一个正方形且其面积是Q,求此圆柱的底面半径.【解析】设圆柱的底面半径为r,母线长为l,则由题意得QUOTE解得r=QUOTE.所以此圆柱的底面半径为QUOTE.十二旋转体(15分钟30分)1.正方形绕其一条对角线所在直线旋转一周,所得几何体是 ()A.圆柱 B.圆锥 C.圆台 D.两个圆锥【解析】选D.连接正方形的两条对角线知,对角线相互垂直,故绕对角线旋转一周形成两个圆锥.2.如图所示的几何体是从一个圆柱中挖去一个以圆柱的上底面为底面,下底面圆心为顶点的圆锥而得到的.现用一个平面去截这个几何体,若这个平面平行于底面,那么截面图形为 ()【解析】选C.截面图形应为图C所示的圆环面.3.若与球外切的圆台的上、下底面半径分别为r,R,则球的表面积为 ()A.4π(r+R)2 B.4πr2R2C.4πRr D.π(R+r)2【解析】选C.如图,设球的半径为r1,则在Rt△CDE中,DE=2r1,CE=R-r,DC=AB=BF+AF=R+r.由勾股定理得4QUOTE=(R+r)2-(R-r)2,解得r1=QUOTE,故球的表面积为S球=4πQUOTE=4πRr.4.一个圆柱和一个圆锥的轴截面分别是边长为a的正方形和正三角形,则它们的表面积之比为.

【解析】因为圆柱的轴截面是边长为a的正方形,故圆柱的底面半径R=QUOTEa,母线长l′=a,故圆柱的表面积S=2πR(R+l′)=QUOTEa2π,因为圆锥的轴截面是边长为a的正三角形,故圆锥的底面半径r=QUOTEa,母线长l=a,故圆锥的表面积S=πr(r+l)=QUOTEa2π,故它们的表面积之比为:2∶1.答案:2∶15.已知一圆锥的侧面绽开图为半圆,且面积为S,则圆锥的底面面积是.

【解析】如图,设圆锥底面半径为r,母线长为l,由题意得QUOTE解得r=QUOTE,所以底面积为πr2=π×QUOTE=QUOTE.答案:QUOTE【补偿训练】若棱长为3的正方体的顶点都在同一球面上,则该球的表面积为.

【解析】正方体的对角线即为球的直径,直径d=QUOTE=QUOTE=3QUOTE,由d=3QUOTE⇒R=QUOTE⇒S=4πR2=27π.答案:27π6.一个球放在墙角且与墙角的三个面都相切,球心到墙角的距离是3,求球的表面积.【解析】设球心为A,墙角为O,则OA=3,过A分别作三个墙面的垂线AB,AD,AA1,垂足为B,D,A1,以AB,AD,AA1为棱可画出一个正方体ABCD-A1B1OD1,则OA为正方体的体对角线,AB为球的半径,设为R,于是QUOTE=3,所以R=QUOTE,故S球=4πR2=4π×(QUOTE)2=12π.(30分钟60分)一、单选题(每小题5分,共20分)1.圆锥的中截面把圆锥的侧面分成两部分,这两部分侧面积的比为 ()A.1∶1 B.1∶2 C.1∶3 D.1∶4【解析】选C.如图所示,PB为圆锥的母线,O1,O2分别为中截面与底面的圆心.因为O1为PO2的中点,所以QUOTE=QUOTE=QUOTE=QUOTE.①因为S圆锥侧=π·O1A·PA,S圆台侧=π(O1A+O2B)·AB,所以QUOTE=QUOTE.由①得PA=AB,O2B=2O1A所以QUOTE=QUOTE=QUOTE.2.圆台的一个底面圆周长是另一个底面圆周长的3倍,母线长为3,圆台的侧面积为84π,则圆台较小底面圆的半径为 ()A.3 B.5 C.6 D.7【解析】选D.设圆台较小底面圆的半径为r,则另一底面圆的半径为3r,而圆台的侧面积公式为π(r+3r)l=π×4r×3=84π,r=7.3.(2024·聊城高一检测)在一个实心圆柱中挖去一个内接直三棱柱洞后,剩余部分几何体如图所示.已知实心圆柱底面直径为2,高为3,内接直三棱柱底面为斜边长是2的等腰直角三角形,则剩余部分几何体的表面积为 ()A.8π+6+6QUOTE B.6π+6+6QUOTEC.8π+4+6QUOTE D.6π+4+6QUOTE【解析】选C.由题意、棱柱和圆柱的侧面积公式以及三角形和圆的面积公式,可得剩余几何体的底面积为:2QUOTE=2π-2,侧面积为QUOTE×3+2π×3=6QUOTE+6+6π,所以剩余几何体的表面积为:8π+4+6QUOTE.4.若两平行平面截表面积为100π的球,若截面面积分别为9π,16π,则这两个平行平面之间的距离为 ()A.1 B.7 C.3或4 D.1或7【解析】选D.如图,圆O为球的一个大圆,半径R=QUOTE=5,A2B2,A1B1分别为两截面圆的直径,截面面积分别为9π,16π,则O2B2=3,O1B1=4,在Rt△O1OB1中OO1=QUOTE=3,在Rt△O2OB2中OO2=QUOTE=4.当O1,O2在球心O的同侧时,两截面的距离O1O2=OO2-OO1=1;当O1,O2在球心O的两侧时,两截面的距离O1O2=O1O+OO2=7.二、多选题(每小题5分,共10分,全部选对得5分,选对但不全的得3分,有选错的得0分)5.下列说法正确的是 ()A.以直角三角形的一条边所在直线为轴,其余两边旋转形成的曲面围成的几何体是圆锥B.以等腰三角形底边上的中线所在直线为轴,将三角形旋转形成的曲面围成的几何体是圆锥C.经过圆锥随意两条母线的截面是等腰三角形D.圆锥侧面的母线长有可能大于圆锥底面圆的直径【解析】选BCD.A不正确,直角三角形绕斜边所在直线旋转得到的旋转体不是圆锥;B正确,以等腰三角形底边上的中线所在直线为轴,将三角形旋转形成的曲面围成的几何体是圆锥;C正确,因为圆锥的母线长都相等,所以经过圆锥随意两条母线的截面是等腰三角形;D正确,如图所示,圆锥侧面的母线长l有可能大于圆锥底面圆半径r的2倍(即直径).6.(2024·烟台高一检测)等腰直角三角形直角边长为1,现将该三角形绕其某一边旋转一周,则所形成的几何体的表面积可以为 ()A.QUOTEπ B.QUOTEπC.2QUOTEπ D.QUOTEπ【解析】选AB.假如是绕直角边旋转,形成圆锥,圆锥底面半径为1,高为1,母线就是直角三角形的斜边QUOTE,所以所形成的几何体的表面积是S=πrl+πr2=π×1×QUOTE+π×12=QUOTEπ.假如绕斜边旋转,形成的是上下两个圆锥,圆锥的半径是直角三角形斜边上的高QUOTE,两个圆锥的母线都是直角三角形的直角边,母线长是1,所以形成的几何体的表面积S=2×πrl=2×π×QUOTE×1=QUOTEπ.综上可知形成的几何体的表面积是QUOTEπ或QUOTEπ.【补偿训练】用一张长为8,宽为4的矩形硬纸卷成圆柱的侧面,则相应圆柱的底面半径可能是 ()A.QUOTE B.QUOTE C.QUOTE D.QUOTE【解析】选AD.设底面半径为r,若矩形的长恰好为圆柱的底面周长,则2πr=8,所以r=QUOTE;若矩形的宽恰好为圆柱的底面周长,则2πr=4,所以r=QUOTE.故圆柱的底面半径为QUOTE或QUOTE.三、填空题(每小题5分,共10分)7.圆锥的底面直径为6,高是4,则它的侧面积为.

【解析】作圆锥轴截面如图,高AD=4,底面半径CD=3,则母线AC=5,得S侧=π×3×5=15π.答案:15π8.(2024·临沂高一检测)如图,直三棱柱ABC-A1B1C1的六个顶点都在半径为1的半球面上,AB=AC,侧面BCC1B1是半球底面圆的内接正方形,则侧面ABB1A1的面积为,直三棱柱ABC-A1B1C1【解析】球心在面BCC1B1的中心O上,BC为△ABC外接圆的直径,且外接圆圆心N位于BC中点,所以∠BAC=90°,△A1B1C1的外心M在B1C1中点上,设正方形BCC1BRt△OMC1中,OM=QUOTE,MC1=QUOTE,OC1=R=1,所以QUOTE+QUOTE=1,即x=QUOTE,则AB=AC=1,所以QUOTE=QUOTE×1=QUOTE,QUOTE=QUOTE×1=QUOTE,QUOTE=QUOTE×QUOTE=2,S△ABC=QUOTE×1×1=QUOTE,所以直三棱柱ABC-A1B1C1的表面积为QUOTE+QUOTE+2+QUOTE+QUOTE=3+2QUOTE.答案:QUOTE3+2QUOTE四、解答题(每小题10分,共20分)9.已知圆台内有一表面积为144πcm2的内切球,假如圆台的下底面与上底面半径之差为5cm,求圆台的表面积.【解析】其轴截面如图所示,设圆台的上、下底面半径分别为r1,r2,母线长为l,球半径为R,则r2-r1=5,母线l=r1+r2.因为4πR2=144π,所以R=6.又l2=(2R)2+(r2-r1)2,所以(r1+r2)2=(2R)2+(r2-r1)2=(2×6)2+52=132.所以r1+r2=13.结合r2-r1=5得r1=4,r2=9,所以l=13.所以S圆台表=πQUOTE+πQUOTE+π(r1+r2)l=π·42+π·92+π(4+9)·13=266π(cm2).10.如图所示,半径为R的半圆内的阴影部分以直径AB所在直线为旋转轴,旋转一周得到一几何体,求该几何体的表面积.(其中∠BAC=30°)【解析】所得几何体如图所示,过点C作CO1⊥AB于点O1.在半圆中可得∠BCA=90°,∠BAC=30°,AB=2R,所以AC=QUOTER,BC=R,CO1=QU