2024-2025学年高中数学第3讲柯西不等式与排序不等式第3课时排序不等式作业含解析新人教A版选修4-5

PAGE第三讲第3课时A．基础巩固1．有三个房间须要粉刷，粉刷方案要求：每个房间只用一种颜色，且三个房间颜色各不相同．已知三个房间的粉刷面积(单位：m2)分别为x，y，z且x＜y＜z，三种颜色涂料的粉刷费用(单位：元/m2)分别为a，b，c且a＜b＜c.在不同的方案中，最低的总费用(单位：元)是()A．ax＋by＋cz B．az＋by＋cxC．ay＋bz＋cx D．ay＋bx＋cz【答案】B【解析】依据排序原理：反序和≤乱序和≤依次和，又B选项为反序和，A选项为依次和，C，D选项为乱序和，所以B选项的费用最低．2．在锐角三角形ABC中，a<b<c，设P＝acosC＋bcosB＋ccosA，Q＝acosB＋bcosC＋ccosA，则P与Q的大小关系是()A．P≥Q B．P>QC．P≤Q D．P<Q【答案】B【解析】在锐角三角形ABC中，因为a<b<c，所以0<A<B<C<eq\f(π,2).所以cosA>cosB>cosC．依次和为P＝acosC＋bcosB＋ccosA，乱序和为Q＝acosB＋bcosC＋ccosA．由排序原理，知依次和>乱序和，所以P>Q.3．已知a，b，c∈R＋，则a3＋b3＋c3与a2b＋b2c＋c2A．a3＋b3＋c3≥a2b＋b2c＋cB．a3＋b3＋c3>a2b＋b2c＋cC．a3＋b3＋c3<a2b＋b2c＋cD．a3＋b3＋c3≤a2b＋b2c＋c【答案】A【解析】不妨设0<a≤b≤c，则a2≤b2≤c2，则依次和＝a3＋b3＋c3，乱序和＝a2b＋b2c＋c2由排序不等式知：依次和≥乱序和，所以a3＋b3＋c3≥a2b＋b2c＋c24．设x1，x2，…，xn是互不相同的正整数，则m＝eq\f(x1,12)＋eq\f(x2,22)＋…＋eq\f(xn,n2)的最小值是()A．1 B．eq\f(1,2)C．1＋eq\f(1,2)＋…＋eq\f(1,n) D．1＋eq\f(1,22)＋eq\f(1,32)＋…＋eq\f(1,n2)【答案】C【解析】设b1，b2，…，bn是x1，x2，…，xn的一个排列，且满意0<b1<b2<…<bn，因为b1，b2，…，bn是互不相同的正整数，故b1≥1，b2≥2，…，bn≥n.又因为eq\f(1,12)>eq\f(1,22)>eq\f(1,32)＞…>eq\f(1,n2)，又由排序不等式知：依次和≥乱序和≥反序和，所以eq\f(x1,12)＋eq\f(x2,22)＋eq\f(x3,32)＋…＋eq\f(xn,n2)≥eq\f(b1,12)＋eq\f(b2,22)＋eq\f(b3,32)＋…＋eq\f(bn,n2)≥1×1＋2×eq\f(1,22)＋3×eq\f(1,32)＋…＋n·eq\f(1,n2)＝1＋eq\f(1,2)＋eq\f(1,3)＋…＋eq\f(1,n).故eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x1,12)＋\f(x2,22)＋…＋\f(xn,n2)))min＝1＋eq\f(1,2)＋…＋eq\f(1,n).5．设a1，a2，…，an为实数，b1，b2，…，bn是a1，a2，…，an的任一排列，则乘积a1b1＋a2b2＋…＋anbn的值不会超过____________．【答案】aeq\o\al(2,1)＋aeq\o\al(2,2)＋…＋aeq\o\al(2,n)【解析】∵乱序和≤依次和，∴a1b1＋a2b2＋…＋anbn≤aeq\o\al(2,1)＋aeq\o\al(2,2)＋…＋aeq\o\al(2,n).6．设集合eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(a1，a2，a3))＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(1，2，3))，eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(b1，b2，b3))＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(2，3，4))，则a1b1＋a2b2＋a3b3的最小值为______，最大值为______．【答案】1620【解析】依据排序原理：反序和≤乱序和≤依次和，所以反序和最小，依次和最大．故(a1b1＋a2b2＋a3b3)min＝1×4＋2×3＋3×2＝16，(a1b1＋a2b2＋a3b3)max＝1×2＋2×3＋3×4＝20.7．设a1，a2，…，an为正数，求证：eq\f(a\o\al(2,1),a2)＋eq\f(a\o\al(2,2),a3)＋…＋eq\f(a\o\al(2,n－1),an)＋eq\f(a\o\al(2,n),a1)≥a1＋a2＋a3＋…＋an.【解析】不妨设a1≥a2≥a3≥…≥an，则aeq\o\al(2,1)≥aeq\o\al(2,2)≥aeq\o\al(2,3)≥…≥aeq\o\al(2,n)，eq\f(1,a1)≤eq\f(1,a2)≤eq\f(1,a3)≤…≤eq\f(1,an).由排序原理：乱序和≥反序和，可得eq\f(a\o\al(2,1),a2)＋eq\f(a\o\al(2,2),a3)＋…＋eq\f(a\o\al(2,n),a1)≥eq\f(a\o\al(2,1),a1)＋eq\f(a\o\al(2,2),a2)＋eq\f(a\o\al(2,3),a3)＋…＋eq\f(a\o\al(2,n),an)＝a1＋a2＋…＋an.B．实力提升8．已知a，b，c为正数且两两不相等，求证：2(a3＋b3＋c3)＞a2(b＋c)＋b2(a＋c)＋c2(a＋b)．【证明】不妨设a＞b＞c＞0，则a2＞b2＞c2.依据排序原理知，a3＋b3＞a2b＋ab2，同理可得