高中数学第一章解三角形1.1正弦定理和余弦定理1.1.1正弦定理一导学案新人教A版必修5

1.1.1正弦定理(一)教学目标1.驾驭正弦定理的内容及其证明方法.2.能运用正弦定理与三角形内角和定理解决简洁的解三角形问题．教学过程一、创设情景老师首先提出问题：通过学生对课本的预习，让学生通过观看《1.1.1正弦定理（一）》课件“情景引入”部分，让学生与大家共享自己对正弦定理的了解。通过举例说明和相互沟通.做好老师对学生的活动的梳理引导，并赐予主动评价.二、自主学习1.eq\f(a,sinA)＝______________＝______________＝2R(其中R是________________________)；提示：eq\f(b,sinB)eq\f(c,sinC)△ABC外接圆的半径2．a＝eq\f(bsinA,sinB)＝eq\f(csinA,sinC)＝2RsinA；3．sinA＝eq\f(a,2R)，sinB＝________________，sinC＝____________________.提示：eq\f(b,2R)eq\f(c,2R)4.一般地，把三角形的三个角A，B，C和它们的对边a，b，c叫做三角形的________．已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫做________________．提示：元素解三角形三、合作探究探究点1：正弦定理的证明问题1如图，在Rt△ABC中，eq\f(a,sinA)、eq\f(b,sinB)、eq\f(c,sinC)各自等于什么？提示：eq\f(a,sinA)＝eq\f(b,sinB)＝eq\f(c,sinC)＝c.问题2在一般的△ABC中，eq\f(a,sinA)＝eq\f(b,sinB)＝eq\f(c,sinC)还成立吗？课本是如何说明的？提示：在一般的△ABC中，eq\f(a,sinA)＝eq\f(b,sinB)＝eq\f(c,sinC)仍旧成立，课本采纳边AB上的高CD＝bsinA＝asinB来证明．例1在钝角△ABC中，证明正弦定理．证明如图，过C作CD⊥AB，垂足为D，D是BA延长线上一点，依据正弦函数的定义知：eq\f(CD,b)＝sin∠CAD＝sin(180°－A)＝sinA，eq\f(CD,a)＝sinB.∴CD＝bsinA＝asinB.∴eq\f(a,sinA)＝eq\f(b,sinB).同理，eq\f(b,sinB)＝eq\f(c,sinC).故eq\f(a,sinA)＝eq\f(b,sinB)＝eq\f(c,sinC).名师点评：(1)本例用正弦函数定义沟通边与角内在联系，充分挖掘这些联系可以使你理解更深刻，记忆更坚固．(2)要证eq\f(a,sinA)＝eq\f(b,sinB)，只需证asinB＝bsinA，而asinB，bsinA都对应CD.初看是神来之笔，细致体会还是有迹可循的，通过体会思维的轨迹，可以提高我们的分析解题实力．探究点2：用正弦定理解三角形例2在△ABC中，已知A＝32.0°，B＝81.8°，a＝42.9cm，解三角形．解依据三角形内角和定理，C＝180°－(A＋B)＝180°－(32.0°＋81.8°)＝66.2°.依据正弦定理，得b＝eq\f(asinB,sinA)＝eq\f(42.9sin81.8°,sin32.0°)≈80.1(cm)；依据正弦定理，得c＝eq\f(asinC,sinA)＝eq\f(42.9sin66.2°,sin32.0°)≈74.1(cm)．名师点评：(1)正弦定理事实上是三个等式：eq\f(a,sinA)＝eq\f(b,sinB)，eq\f(b,sinB)＝eq\f(c,sinC)，eq\f(a,sinA)＝eq\f(c,sinC)，每个等式涉及四个元素，所以只要知道其中的三个就可以求另外一个．(2)详细地说，以下两种情形适用正弦定理：①已知三角形的随意两角与一边；②已知三角形的随意两边与其中一边的对角．探究点3：边角互化例3在随意△ABC中，求证：a(sinB－sinC)＋b(sinC－sinA)＋c(sinA－sinB)＝0.证明由正弦定理，令a＝ksinA，b＝ksinB，c＝ksinC，k>0.代入得：左边＝k(sinAsinB－sinAsinC＋sinBsinC－sinBsinA＋sinCsinA－sinCsinB)＝0＝右边，所以等式成立．例4在△ABC中，A＝eq\f(π,3)，BC＝3，求△ABC周长的最大值．解设AB＝c，BC＝a，CA＝b.由正弦定理，得eq\f(a,sinA)＝eq\f(b,sinB)＝eq\f(c,sinC)＝eq\f(3,sin\f(π,3))＝2eq\r(3).∴b＝2eq\r(3)sinB，c＝2eq\r(3)sinC，a＋b＋c＝3＋2eq\r(3)sinB＋2eq\r(3)sinC＝3＋2eq\r(3)sinB＋2eq\r(3)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2π,3)－B))＝3＋2eq\r(3)sinB＋2eq\r(3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),2)cosB＋\f(1,2)sinB))＝3＋3eq\r(3)sinB＋3cosB＝3＋6sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(B＋\f(π,6)))，∴当B＝eq\f(π,3)时，△ABC的周长有最大值9.名师点评：利用eq\f(a,sinA)＝eq\f(b,sinB)＝eq\f(c,sinC)＝2R或正弦定理的变形公式a＝ksinA，b＝ksinB，c＝ksinC(k>0)能够使三角形边与角的关系相互转化．四、当堂检测1.在△ABC中，肯定成立的等式是()A．asinA＝bsinBB．acosA＝bcosBC．asinB＝bsinAD．acosB＝bcosA2．在△ABC中，sinA＝sinC，则△ABC是()A．直角三角形 B．等腰三角形C．锐角三角形 D．钝角三角形3．在△ABC中，已知BC＝eq\r(5)，sinC＝2sinA，则AB＝________.4．在△ABC中，a＝eq\r(3)，b＝eq\r(2)，B＝eq\f(π,4)，则A＝________.提示：1．C2.B3.2eq\r(5)4.eq\f(π,3)或eq\f(2π,3)五、课堂小结本节课我们学习过哪些学问内容?提示：1.定理的表示形式：eq\f(a,sinA)＝eq\f(b,sinB)＝eq\f(c,sinC)＝2R，或a＝ksinA，b＝ksinB，c＝ksinC(k>0)．2.正弦定理的应用范围：(1)已知两角和任一边，求其他两边和一角．(2)已知两边和其中一边的对角，求另一边和两角．3.利用正弦定理可以实现三角形中边角关系的相互转化：一方面可以化边为角，转化为三角函数问题来解决；另一方面，也可以化角为边，转化为代数问题来解决．六、课例点评本节课《正弦定理》第一课时，出自新人教A版必修5第一章第一节《正弦定理和余弦定理》。课程支配在“三角、向量”学问之后，是三角函数学问在三角形中的详细运用，更是初中“三角形边角关系”和“解直角三角形”内容的干脆持续和拓展，同时也是处理可转化为三角形计算的其他数学问题及生产生活实际问题的重要工具。本节课以实际问题作为驱动，创设了问题情境，明确了学习目标。从特别到一般，猜想正弦定理，然后证明正弦定理。猜想、证明的流程自然、有序、明白，体现了学习的认知规律，进行了思想方法的渗透，展示了数学内在的逻辑力气。“先猜后证”是数学探讨的一般模式，用之于数学教学也是合情合理的。在学生大胆揣测结论的过程中，还对定理的发觉机制进行了设计，从形式美的角度大胆揣测，让学生学会观赏数学结构之美、之称。然后回来引例，首尾呼应，通过两个例题，让学初步体会学有所成，能够刚好应用，收获成就感。课堂教学中，运用多媒体课件协助于课堂教学，学生手脑并用，两者结合得恰到好处。从整体上看，本节课以问题作为学问产生之源，在猜想证明中分析问题解决问题，