名师伴你行高考一轮总复习新高考版数学 第4章

第四章三角函数解三角形

第一节弧度制及任意角的三角函数

［复习要点］1.了解任意角的概念和弧度制的概念.

2.能进行弧度与角度的互化.

3.理解任意角的三角函数(正弦、余弦、正切)的定义.

-------------------理清教材,巩固基础》》•-----------------------

1基础普查

知识点一角的概念

1,角的形成

角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置______到另一个位置所成的.

按旋转［正角:按方向旋转而成的角.

方向不负角:按_______方向旋转而成的角.

角同分类I零角:射线没有旋转.

2.的v

按终边象限角:角的终边在第几象限，这个角就是

分

位置不＜第几象限角.

类

同分类轴线角：角的终边落在坐标轴上.

3.所有与角a终边相同的角，连同角a在内，可构成一个集合：S=W|//=a+k360。，女EZ)或加族=。+2船,

kEZ).

答案：1.旋转图形2.逆时针顺时针

知识点二弧度的定义和公式

1,定义；长度等于的弧所对的圆心角叫做I弧度的角，弧度记作rad.

2.公式：⑴弧度与角度的换算：360。=弧度，

180°=弧度：

(2)弧长公式：/=；

⑶扇形面积公式，S眠=和S弼=.

说明：⑵⑶公式中的。必须为弧度制！

答案：1.半径长2.(1)211兀⑵即(珈如屏

知识点三任意角的三角函数

1.定义：设〃是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P—y)，则sina=,cosa=,tana

=(#0).

2.几何表示；三角函数线可以看作是三角函数的几何表示，正弦线的起点都在x釉上，余弦线的起点都是原

点，正切线的起点都是(1,0).

如图中有向畿段MP,OM,AT分别叫做角。的、和.

答案：Lj2.正弦线余弦线正切线

2考点排查

题接/教/材

1.［必修4-P10-A组T7改编］角-225。=弧度，这个角在第______象限.

答u木案•——4-—i

2.［必修4・P15•练习T2改编］设角0的终边经过点P(4,-3),那么2cos。-sin9=.

答案；y

3.［必修4.P10,A组T6改编］一条弦的长等于半径，这条弦所对的圆心角大小为瓠度.

答案:|

易/错/问/题

1.混淆几种角的概念：任意角；终边相同的角；象限角.

下列命题叙述正确的有个.

①小于90。的角是锐角;

②终边相同的角相等；

③第二象限角大于第一象限角.

答案:0

2.三角函数概念理解误区：根据终边上的点P坐标求值.

⑴用。的三角函数值与终边上的点P的位置_______关.(填“有”或"无”)

⑵已知角。的顶点为坐标原点，始边为、轴的非负半轴，若P(4,y)是角J终边.上一点，且加。=一手，则

尸•

(3)已知角6的终边经过点P(一小，m)(流#0)且sin71,试判断角夕所在的象限,并求cos夕和tang的值.

答案；⑴无⑵一8

⑶解：由题意得「二《丽,

帚事"0),

所以sin0=

所以加=地，

故有。是第二或第三象限角.

当的=黄时，r=2吸，点P的坐标为（一黄，小）,

所以830=；=等一整

工书715

tan。n十与一

当的=一小时，r=2啦,

点P的坐标为（一,，一0

所以cos®=：=^=一乎.

打V一小妮

tan看尸—4=3.

综上可知，cos0=-乎，tan^=—

cos6=一兴tan6=芈

核心/素/养

在一块顶角为120。、腰长为2的等腰三箱形厚钢板废料0A6中用电焊切割成扇形，现有如图所示两种方案,

既要充分利用废料，又要切割时间最短，向哪一种方案最优？

ADBAB

方案一方案二

解：因为（将是顶角为120°、膘长为2的等腰三角形,

所以/Q4B=/OBA=30°=£,AM=BN=LAD=2,

6

所以方案一中扇形的弧长=2X?=9；

00

方案二中扇形的弧长=1X^=5；

0V

方案一中扇形的面积=!X2X2X?=；,

L06

方案二中扇形的面积=Jxixix”=?.

4UO

由此可见：两种方案中利用废抖面枳相等.方案一中切割时

间短.因此方案一最优.

------------------《题型研究.重点突破》》一

oH任意角的概念

角度I.区域角、象限角、终边相同的角

Bi据'题/调/研（题题精选，每题都代表•个方向）

I.已知角。的终边落在阴影所表示的范围内（包括边界），则角。的集合为

［答案］同90。+〃，180。＜“忘135。+〃,180。，/?EZ）

2.下列各角中，与角330。的终边相同的是（）

A.15O0B.一390°

C.510°D,-1500

［答案］B

3.与一2020。终边相同的最小正角是.

I答案I140。

4.已知角〃是第三象限角，试判断：

(1)工一”是第几象限角？

(2)f是第几象限角？

(3)勿是第几象限角?

［解］(I)：。是第三象限角，

.,.2E+兀q〈2E+半

-2kit-Q<it—a<-2kRtk£Z,

.\x-a是第四象眼角.

(2)：/(奴+平,

，号是第二或第四象限角.

一

(3)：4阮+2冗<2«<4机+3冗，kRZ,

,2a是第一或第二象限角或)，轴非负半轴上的角，

/法/指/导(来自课堂的最有用的方法)

角Q,夕终边的位置关系

I.终边相同

。一夕=2A-180°,kGZ；

2.终边互为反向延长线

。一夕=(2k+l),180。，kEZ：

3.终边在一条直线上

。一£=心800,小Z；

4.关于x轴对称

a+Q=2kl80。，kCZi

5.关于.v轴对称

a+/=(2bH),1800,kEZ

［注意］可在坐标系中画出角a,£的终迹,根据图象判断角Q,少的终边的位置关系.

角度II,由条件确定角的象限

Bi揶题/调/研(题题精选，每题都代表一个方向)

5.［2020全国卷I［理］若Q为第四象限角，则()

A.cos2a>0B.cos2«<0

C-sin2a>0D.sin2a<0

［答案］D［解析］本题考查象限角以及三角的数值的符号.因为a为第图象限角，所以一：+2E<«<2E,k

EZ,故一n+4E<2a<4如KWZ,所以勿为第三、四象限角或y轴负半轴上的角.所以cos2a的正负不确定，sin

2a<0,故选D.

6.已知点P（sinx-COSH-3）在第三象限，则x的可能区间是（）

（n\（n3姑

A由，可B.卜不力

C.信，9D.6,：）

［答案］D

%题/感情小提示，大智慧）

三角函数值的符号及角的位置的判断

已知一角的三角函数值（sin出cosa,lana）中任意两个的符号，可分别确定出该角的终边所在的可能位置，二

者的交集即为该角的终边位置，注意终边在坐标轴上的特殊情况.

若题目中已知角的终边在一条直线上，此时注意在终边上任取一点有两种情况（点所在象限不同）.

2

%/题/调/研（题题精选，每题都代表一个方向）

l.已知半径为1的扇形面积为上心则扇形的圆心角为（）

33

A.帮B.铲

C.不D,那

［答案］B

2J2021陕西山阳期末］如图，在RlZsPBO中，450=90。,以。为圆心、。6为半径作圆弧交。P于A点，若

圆弧AS等分aPOB的面积，且NAO8=a弧度，则扁=_______.

idn（I

［答案］1I解析］设扇形的半径为r,则扇形的面积为上落

在RtAPOP中，PB=rtan%

则△POB的面枳为|r.?tana,

由题意得;rmana=2X-ar2,

.—.一1

•(tunci—2(i,••.=«.

tana2

3.一扇形的圆心角为60。，则此扇形的面积与其内切圆的面积之比为

［答案］

4.已知扇形的圆心角是。，半径是r,弧长为『

⑴若a=100。，r=2,求扇形的面积；

(2)若崩形的周长为20,求扇形面积的最大值，并求此时扇形圆心角的弧度数.

［解］⑴因为100。=100XY^=?~.

1OV7

所以SA«=^/r=|«r2=1xyX4='y^.

(2)由题意知，/+2r=20,即/=20-2r,

故^4=1/^=1(20-2r)-r=-(r-5)2+25,

当r=5时，S的最大值为25,此时〃=;=2.

日方/法/指/导(来自课堂的最有用的方法)

应用弧度制解决问题的方法

(1)利用扇形的瓠长和面积公式解题时，要注意角的单位必须是弧度.

(2)求扇形面积最大值的问题时，常转化为二次函数的最值问题，利用配方法使问题得到解决.

(3)在解决弧长问题和扇形面积问题时，要合理地利用圆心角所在的三角形.

题型3三角函数的定义

角度I.三角函数的符号

Ha'题/调/研(题题精选，每题都代表一个方向)

*/J

1.［2021湖北襄阳四校联考］ZkABC为锐角三角形，若角J的终边过点P(疝U—cosB,cosA-sin。，则就用

,cos6।tanlq.…,

1■由西+而石的值为（）

A,IB.-1

C.3D.-3

［答案］B［解析］由AABC为锐角三角形，可知A+吟即八＞卜8,又A,昨(0,所以

2,sinA>cosB,

sin0cos0

所以sinA—cosfi>0,同理cosA—sinC<0,所以J为第四象限角，所以sin0〈0,cos心>0,tan。<0,所以］.

|sinf7||cos（7|

卜£^=T+LI=T，故选区

2.已知sina<0,tana>0.

(1)求角a的集合.

(2)求?终边所在的象限.

⑶试判断lan.in|cos号的符号.

［解］⑴因为sin«<0且tana>0,

所以〃是第三象限角，故角〃的集合为

阮+兀<。<2依+,，k£Z1

(2)由(1)知，2机+吟:<2收+竽，

出CZ,故后+为如+与，&WZ,

当k=2〃(〃ez)时，2血+3*2〃力+竽，〃ez,畤是第二象眼角.

当k=2〃+l(〃EZ)时，2Mn+y4-,〃《Z,即?是第四象限角.

综上，M的终边在第二或第四象限.

(3)当式第二象限角时，tan声0,sin务)，cos^<0,

a.aa

sXlanpin^cos^XJn.

当W是第四象限角时，出或<0,sin^<0,cosj>0,

f«

-l-

2SIin2;|>0.

aa

公L.右▼0

综上，tan］§in］C0Q取正羊

角度II.根据三角函数的定义求值

Hi*题/调/研(题题精选，每题都代表一个方向)

3.［多选］已知角Q的顶点为坐标原点，始边与木轴的芈负半轴重合，终边与单位圆交于点尸(期卯).若全a片,

则()

A.xo+yo>0B.

C.D.期怀0

Ato

［答案IACD|解析|本恶考查三角函数的定义、三角恒等变换公式及三角函数性质的综合应用.

由三角函数的定义得X()=C03Q,

则tana=^,xo+)x)=sina+cosa=#sin(a+j).

,.T,3n.3n.it

,j，,,4+4'"，

此时用+卯>0,故A正+.

由于Afi—)'o=cos2fl-sin«=1—sin2a_sin«=一(sin

・・霏3兀.，付21

，廿q,,,sin呷/11,

；,而一和<0,故B错误，

yo

Vtana=^<0,w=sin«>0,

AO7

.•./<)"，故C正确.

VAO=COS«<0,)'o=sino>0,

，xo冲<0,故D正确,故选ACD.

［关键点拨］若角a的顶点为坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边与单位圆的交点为(刖，W),则sina

="，cosa=xo.

4.在直角坐标系中，P点的坐标为g，J,。是第三象限内一点，1001=1且/户。。=宁3IT，则。点的横坐标为

国4捶逑油珠

［答案］A［解析］设2xOP=a,则co$a=j,$ina='XQ=co&a+］户产一勿一5乂宁=一|0.故近

%/法/指/导(来自课堂的最有用的方法)

三角函数的定义中常见的三种题型及解决方法

(1)已知角。的终边上的一点P的坐标，求角。的三角函数值.

方法：先求出点P到原点的距离，再利用三角函数的定义求解.

(2)已知角a的一个三角函数值和终边上一点P的横坐标或纵坐标，求与角a有关的三角函数值.

方装先求出点P到原点的距离（带参数），根据已知三角函数值及三角函数的定义建立方程，求出未知数，从

而求解问鼠

（3）已知角a的缘边所在的直线方程什二比公约），求角a的三角函数值.由血。=丸讨论a的象限，从而计

算sina,cosa的值.

角度此应用三角函数线解不等式

%/题/调/研（题题精选，每题都代表一个方向）

5.［2021浙江台州调研］已知四［0,叫着对任意的在［-1，（）］，不等式&os「+（x+l）2疝0+/+M恒成

立，则实数J的取值范围是（）

［答案］A［解析］令/)=(8$G+sinG+l^+lXin6+l)x+sin6,

由9£［0,兀)，知cosJ+疝!J+l>0恒成立，

若")>0在上恒成立，

卜1)也

只需满«是〈7：(0)>0,r

.2sin1+1

A-2(l+cosJ+sinJ)］”

'cosQ0,

*加及得隹佬，第

sin2尾，

6.⑴不等式sinx》乎的解集为.

⑵不等式cos工2一；的解集为.

（3）函数/）=、2sinJ+1+lg（2cos1一隹）的定义域为.

【答案］（l）｛x2杭+受启淅+与，代z1

⑵2&L早SiS2ht+与，女WZ

⑶,卜/一狂x<2ht+：,

［解析］⑴过点（o,孚）作平行于』轴的直线，交单位圆于点p（；,坐），心（一/电,

则以。生，0P2为终边的角的正弦值为坐，终边落在阴影部分的角的正弦值大于理,

&L

.Xin众孚的解集为｛x2hi+；SxW2bi+号,女wz1.

⑵过点卜；，0)作垂直于x轴的直线与单位圆交于点0卜；，知，一到，

则以OOi,。。2为终边的角的余弦值为一；，终边落在阴影部分的角的余弦值大于一；.

.,.cos仑一；的解集为｛12E—亨&W2fat+号,kEZ

sin众一；,①

2sinx+l/0,

⑶由2期工一位＞0,得

co$x＞乎,②

在单位圆中分别画出不等式①②的解集时应的区域,其公共区域为不等式组的解集,

二函数©的定义域为｛12E—打工＜2后+；,kELr.

Ow题域悟(小提示，大智慧)

利用单位圆解不等式的步骤

(1)确定时应的三角方程区域的边界.

⑵正弦不等式口认；大于取上边，小于取下边.

(3)余弦不等式口诀：大于取右边，小于取左边.

角度IV.三角函数在实际问题中的应用

题/调/研（题题精选，每题都代表一个方向）

7.如图，某大型水上乐园内有一块矩形场地ABC。，AB=120米，AD=80米，以AD,BC为直径的半圆。|

和半圆。2（半圆在矩形ABCD内部）为两个半圆形水上主题乐园，BC,CD,0A都建有围墙，游客只能从线段AB

处进出该主题乐园.为了进一步提高经济效益，水上乐园管理部门决定沿着AE,冲修建不锈钢护栏，沿着线段£尸

修建该主题乐园大门并设置检票口，其中£尸分别为AD，BC上的动点，EF//AB，且线段M与线段AB在圆心

Oi和0?连线的同侧.已知弧线部分的修建费用为200元/米，直线部分的平均修建费用为400元/米.

⑴若E5=80米，则检票等候区域，（其中阴影部分j面积为多少平方米？

（2）试确定点E的位置，使得修建费用最低.

［解I⑴如图,设直线EF与矩形ABCD交于M,N两点,连接OiE,QR则ME=20米,0也=2M米.

梯形QQFE的面积为:乂（120+80/2相=200味（平方米）,

矩形A01QB的而积为120X40=4800（平方米）,

由40史哼得扇形（ME和扇形O?FB的面积均为:乂四娇二竽（平方米）,

故阴影部分面积为（4800-200（八「一等，平方米.

（2）设/A?E=。，6>e（0,?）,

则AE=8F=40。，

所以EF=120-2X40sin片120-80sin%

修建费用火仇=200乂80。+400乂(120—80疝。)=16000位+3—2m外

所以/(^)=16000(1-2cos<9),

令f（＜9）=0,得

kJ

当，变化时，/（仍火仇的变化情况如下表:

n

0

3(M

f(0)—0+

购极小值

由上表可得当。=今即NAQE=：时，即）有极小值，也为最小值.

故当NAOiE为:时，修建费用最低，

提醒完成限时跟踪检测（十六）

第二节同角三角函数的基本关系及诱导公式

［复习要点］1・理解同角土角函数的基本关系式：si/x十cos2/=l,曰上二（anx.

2.能利用单位圆中的三角函数线推导出权a,社。的正弦、余弦、正切的诱导公式.

-----------------•《《理清教材.巩固基础》》•-----------------

［基础普查

知识点一同角三角函数的基本关系式

1.平方关系：.

2.商数关系：.

答案：1.疝%+83%=12.tana=77^

口*cosa

知识点二六组诱导公式

2ht+an

角函数n+a—ait-a2-a

(0)

正茏——————

余弦

正切

——————

答案：sina-sina_sinasinacosacosacosa-cosacosa-cosasina-sin«(ana

tana-tana—tana

2考点排查

的接/教/材

4

1.［必修4P20•练习T1改编旧知sin尸争2则tana=()

A-2民2

1I

--

2D.2

答案:D

2.泌修4.P29，B纽T2改编］已知加偿+a)+那么cosa=()

21

-

A民-

-5-5

12

C--

5D.5

答案：C

CO'f)

3.［必修4P20-S习T4改编］若sin&os9=亍则tan。+d京=.

答案；2

易/错/问/题

I.基本关系式的误区；公式形式误区；角的范圉误区，

下列命题正确的有.(填序号)

22

①若afp为锐角，则sina+cos^=l；

②芳aER,则tan。=得今fl成立；

③isn%+cos%=sin%+cos%.

答案：③解析：①只有当。=/时，才有sin%+cod夕=1：

②因为cosQ#1。，所以a制+反，AWZ;

③根据平方关系式，可得③正确.

2.诱导公式应用的常见两种错误：符号；函数名.

⑴若sin(3?t+O)=；,则sin0=.

⑵若8§e+。)二W，则sina=.

答案：(1)一1(2)-/n解析：(1)先应用诱导公式一，得sin(3支+4=§出(2农+支+份=$济仇+0):再应用公式二,

得sin(n+^)=~sin0,故sin0=—

兀

一+

2a

(2)因为可看作是第二象限角，所以=­sinaf故sin0三一”?.

通/性/通/法

1.诱导公式的应用原则：负化正，大化小，化到锐角为终了.

sinL2010°)的值是.

答案：;fi?^：sin(-20106)=-sin20l0o=-sin(5X3606+210o)="sin210°=-sin(180o+306)=sin

2.弦切互化.

0岛T-----(#阮+”叼.

sinfl-4cosa,,...

(2)已如tana=2,求5sina+2cosa」'

2

⑴答案；COS2a解析；由sin2a+cos2(x=l和嬴得ta/acosZa+cos。=1,故，IT氤=c°s"

皿“tana-42-41

(2)解：原式=WI=4-I=-7.

5tana+205yX20+206

---------------------题型研究■重点突破吩8---------------------

题型口同角三角函数的基本关系

角度I.利用si/a+cos2a=1求三角函数值

Bl揶题/调/研(题题精选，每题都代表••个方向)

1.已知cosa=k,kGR,4则sin2=()

A.B.[i

C.±VPPD.

[答案]B

Bw题/感/悟(小提示，大智勒

sina,co,a与tana三者中知一求二的解题策略

⑴已知sina或cosa时，可通过sin2a+cos2a=1求出cosa或sina,然后利用tana=^^求出tan«；

VVu(A

(2)已知tana时，可以通过构造直角三隹形，利用三角函数的定义求出sina和cosa的绝对值，再根据角的范

围写出最终结果.

(3)对常考的三角函数值形成条件反射：

sina=cos1

cosa=si”=]

a=cosS=/

J+c0SQ

2.12021河南安阳模拟］若=3,Mcos«-2sin«=()

A1-1B.1

22

C--5D.T或y

借案]C

0^/法/总/结

已知〃sina+力cosa=〃Q,btm为常数),求urna的解题策略

I.解方程组法

〃sina+bcosa=ni,

联立解方程组求得结论.

sin2a+cos2a=l,

ai+勿=?,

消元的小技巧：要解,先变形为

*+产1,

ax="Lby,①[by=m-axi①

「上222G或r小将①代入②中消元可以避免分数运算，提高运算速度和正确率,

2.“对偶式”法

第一步：构造“对■偶式”戾inQ—acosa=x并将其平方，t2sin2a_2<7teinacosa+^cos^^x2;®

第二步；将asin«+/x:os〃=洸平方，得忌in%+2而sin«cos«+i>2cos2a=w2；②

第三步；①+②，整理得曲sin%+cos2a)+从(sin%+cos2〃)=序+E即5+力2=峭+系求得相

〃sina+bcosa=m1

第四步：解方程组,求出sina,cosa,进而求出tana.

psin«-ACOS«=X

3.“弦化切”法

第一步：符”§ina-\~bcosa=m平方，得672sin2a4-2absinacosa+b2cos2a=m2；

一〃小八।,,小为加ana+b1..,

第二步；弦化切，得------(an%+]-----=屋0，解万t程求出tana.

特别地：若“§ina+bcosa=\la2+b2时，此时sina=_r==,cosa=-r==.

y/^+lr

角度II.弦化切及“r'的应用

Bi揶题/调/研(题题精选，每题都代表一个方向)

3.[2021山西康杰中学等五校联考]己知lan6=2,则涧,+sii?中的值为()

更B-5

A-5

皂

CL,10D«10

2

不上人5M,sin0+cos0,。八sin<7+cos/?si/0tan<9+1,(an^

I答案1C【解析|解法一；3山.+’si/0=-

sin0sin汨+co$%tan0~tan2^+T

将【an6=2代入，得原式=1,故/C

2

解去二：lan9=2=,,在平面直角坐标系xOy中，不妨设夕为锐角，角。的顶点与原点。重合,

始边与x轴的非负半轴重合，在终边上取点P(lt2).

则|8|=小，

由三角函数的定义，得sin

..sin社cos0,=器,故选

所以C,

4.[2021安徽皖南八校第一次联考]已知。£(0,野n，且磊;总

=35,则Um2J=()

，2,

A1「24

A，24B.y

、24

C.D.±y

I答案ID|解析］依题意，得

I2(sind+cos仍=35sin/os6,

令sinS+cos8=t,

v/?eo5,，Z>0,

户一1

则原式化为12f=35「y^,

解得，=./=\(舍去),

故sinO+cos6=M，

J

12

则sinffcos。=行，

sin^cos012

町丽石蜀「西

即i型吗产［12tan2<9—25tan<9+12=0,

1+tai/。25'

解得tan0=］或*

则tan2。=］黑，广吟,故选D,

生/法/指/导（来自课堂的最有用的方法）

关于sinQ与co3a的齐〃次分式或齐二次整式的化简求值的解题策略

已知tana,求关于sina与cosa的齐n次分式或齐二次整式的值.

1.类型一

所求式子为关于sina与cosa的齐n次分式.

方法：

将分子、分母同除以coda,转化为关于tana的式子，代人求解即可.

当分子或分母中含常数时，可利用l=$in2a+co/a将式子转化为齐次式.

2.类型二

所求式子为关于sina与cos〃的齐二次整式.

方法；

将这个整式看作分母为1的分式，然后将分母1替换成si/a+cos%,再招分子、分母同时除以co$%,转化为

关于tana的式子，代人求解即可.

当求sina士cosa时，可将该式平方，转化为齐二次整式求出结果后，再开方得出该式的值.

角度lll.sina+cosa,sinacos«,sina-cosa

知一求二

BiS/题/调/研（题题精选，卷题都代表一个方向）

5.若sin0,cos0是方程4«+2/秋+加=0的两根，则m的值为（）

A.1+^/5B.L小

C.1班D.一L小

［答案］B

6.已知xW（一兀，0）,sinx+cosx=^.

⑴求sinjr-cosx的值;

,、sin2i+2sin\r,,..

⑵求的值，

724

［答案1(1)-5⑵一行

题感/悟(小提示，大智慧)

⑴对于sin久+cosa,sinotcosa,since-cosa这三个式子,已知其中一个式多的值，均可利用(sina±cos4=

li2sin优osa求出另外两个式子的值.

(2)当已知sina+cosa,sinacosa其中一个式子求sina,cosa时,可根据sina,cosa是方程x2—(sina+cosa)汇

+sinacosa=0的两根求得结果.

［注意］遇到。+方，〃,方同时出现时，要联想到一元二次方程f—(〃+6)X+,而=0的根.

题型2三角函数诱导公式及其应用

角度I.利用诱导公式化简求值

%/题/调/研(题题精选，每题都代表一个方向)

x

兀

3371+1兀+d

2<5一

2Q-ay-=

145COSd4tan4/

3

-=

B.5

［答案］A［解析］由3而管+力=-冗端+力.

2.已知cos290=〃,则疝241%加151。的值是()

A.71+?B.A/I3?

c.r1+>D._.［_〃2

［答案］B

3.［2021河南洛阳阶段性测试］在平面直角坐标系工0)，中，角。的顶点为坐标原点，始边在工轴的非负半轴上,

终边经过点P(3,4),则sin(a—殁-=()

［答案1B［解析］?角。的终边经述点P（3,4）,

4

=-

a5

..2017研

（2017a2018允、

=-sinla__5~+_5~

二一sin（a+；）=_cosa

=-—3

5-

故选B.

%/法/指/导（来自课堂的最有用的方法）

利用诱导公式化简求值

第一步:负化正,将负角的三角函数化为正角的三角函数；

第二步;大化小,将大于360°的角的三角函数化为0。〜360。角的三角函数;

第三步;小化锐,将大于90。的角的三角函数化为0。〜90。角的三角函数；

第四步:锐求值,得到0。〜90。角的三角函数后直接求值.

角度II.利用角之间的关系求值

%/题/调/研（题题精选，每题都代表一个方向）

4.修选］定义角。与中都是任意角，若满足。+/=今则称。与中“广义互余已知疝（兀+。）=一1,则下

4I

列角少中，可能与角Q“广义互余”的是（）

A.sin/?=*5B,cos（n+为=;

C,ian£=、/nD.［an£=45

［答案］AC【解析1本题考查三角函费诱导公式及同角三角函数关系的应几

Vsin（n+a）=_sina=—

若,十片看则片:《

（尹Q）=cos〃=当,故A正确;

二sin^=sin|

由cos（兀+份=cos停一。—sina=一;，故B不正确;

由Um,得sin^=V15cos£,

又sin2^+cos2^=1,

当故C正确：

由tan夕=/5,得sin^=^4^cos夕,

JJ

又sin%+cos%=1,

故D不正确.故选AC.

5.已知3布卜+吉卜；，则8*+剧的值为（）

A,B,—|

C-域D速

J3u,3

［答案］B

%/法/指/导（来自课堂的最有用的方法）

I.常见的互余角

2.常见的互补角

3.三角形中的三角函数关系式

sin(A+B)=sin(^—Q=sinC；

cos(A+B)=cos(?i—C)=—cosC;

tan；A+8)=tan仇-C)=-tanC；

噎+翡竭—%疝I

题型3同用三角函数关系及诱导公式的灵活应用

&揶题/调/研（题题精选，每题都代表一个方向）

1.已知sina=="^sink2+a)

,求tan(a+兀)+—；「；的值•

［解］因为sina

所以〃为第一或第二象他角,

ian,：a+兀)+

,cosa

=lan«+sin7a-

sin«cosa

cos«Tsina

]

sinacosa

⑴当〃是第一象限角时，COS65

周弋1,5

呆入一sinacos”11

(2)当a是第二象限角时，coma=1fin%=一坐,

5

-

原式二-2

sinacosa

综合(1)(2)知，原式=5或一］

W

H彳),夕E(0，兀)，使等式5皿3兀_")=啦85(；一夕)

2.是否存在2->/3cos(—a)=—啦cos(兀+4)同时成

立？若存在，求出a,£的值；若不存在，请说明理由.

［解I假设存在角曲少满足条件，

sina=啦sin4,①

由已知条件可得

小COSa=啦83A②

由①2+5)2,得sin2a+3cos%=2.

当时，由②式知cos夕二坐

又匹（0,兀），・,/=£,此时①式成立；

当々=一?寸，由②式知8“二坐，

又蚱（0,it）,此时①式不成立，故舍去.

・,・存在a=j,"V满足条件.

生/法/指/导（来自课堂的最有用的方法）

同角三角函数基本关系在求值与化简时的常用方法

I.弦切互化法

主要利用公式tanx=器进行切化弦或弦化切,如黑黑,〃siR+Mnxcosx+eos2K等类型可进行弦

化切.

2.和积转换法

对于sina+cosa,sinacosa,sin「一cosQ这三个式子,利用®11。±852）2二1±2$40«）5〃可以知一求二.

3,巧用“1”的变换

1=sin%*cos%=cos?优1+tan%)=sin2d1=tan：=…

提醒完成限时跟踪检测（十七）

第三节两角和与差的正弦、余弦和正切公式、二传•角公式

［复习要点］1.会用向量的数量积推导出两角差的余弦公式.

2.会利用两角差的余弦公式推导出两角差的正弦、正切公式.

3.会利用两角差的余弦公式推导出两角和的正弦、余弦、正切公式和二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解

它们的内在联系.

4.能运用上述公式进行简单的恒等变换（包括导出积化和差、和差化积、半角公式，但不要求记忆）

--------。烬理清教材，巩固基础》》•---------------------

1基础普查

知识点一两角和与差的正弦、余弦和正切公式

知识点二二倍角的正弦、余弦和正切公式

公式名公式

二倍角的正弦sin2a=___________

cos2a=___________

二倍角的余弦

二倍角的正切tan2a=___________

答案：2sinacosacos2a-sin2a1-2sin2a2cos2a-I;—;~~

1—tan-a

2考点排查

跑榭教/材

4

1.［必修4P135•练习T2改编］已知sin“一cosa=q,则sin2a=()

72

--

A.-9B.-9

Jc-9D.I

答案：A

2,［必修4-P129•例3改编］若cos〃=—g,"是第三象限的角，则sin(a+：)=(

A-也