江西省重点中学协作体2025届数学高二上期末综合测试试题含解析

江西省重点中学协作体2025届数学高二上期末综合测试试题注意事项1．考生要认真填写考场号和座位序号。2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。第一部分必须用2B铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．已知平面内有一点，平面的一个法向量为，则下列四个点中在平面内的是（）A. B.C. D.2．在中，，满足条件的三角形的个数为（）A.0 B.1C.2 D.无数多3．《九章算术》是我国古代的数学名著，书中有如下问题：“今有五人分五钱，令上两人与下三人等，问各得几何？”其意思为：“已知甲、乙、丙、丁、戊五人分5钱，甲、乙两人所得之和与丙、丁、戊所得之和相同，且是甲、乙、丙、丁、戊所得以此为等差数列，问五人各得多少钱？”（“钱”是古代一种重量单位），这个问题中戊所得为（）A.钱 B.钱C.钱 D.钱4．命题“，”的否定是A.， B.，C.， D.，5．若圆与圆有且仅有一条公切线，则（）A.－23 B.－3C.－12 D.－136．命题“存在，使得”的否定为（）A.存在， B.对任意，C对任意， D.对任意，7．已知空间向量，则（）A. B.C. D.8．已知正实数a，b满足，若不等式对任意的实数x恒成立，则实数m的取值范围是（）A. B.C. D.9．若方程表示双曲线，则（）A. B.C. D.10．已知直线l与圆交于A，B两点，点满足，若AB的中点为M，则的最大值为（）A. B.C. D.11．椭圆的焦点坐标为（）A.， B.，C.， D.，12．在等差数列{an}中，已知a1＝2，a2+a3＝13，则a4+a5+a6等于（）A.40 B.42C.43 D.45二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．若复数满足，则_____14．若函数，则_______15．若、是双曲线的左右焦点，过的直线与双曲线的左右两支分别交于，两点.若为等边三角形，则双曲线的离心率为________.16．达•芬奇认为：和音乐一样，数学和几何“包含了宇宙的一切”，从年轻时起，他就本能地把这些主题运用在作品中，布达佩斯的伊帕姆维泽蒂博物馆收藏的达•芬奇方砖，在正六边形上画了具有视觉效果的正方体图案（如图1），把三片这样的达•芬奇方砖形成图2的组合，这个组合表达了图3所示的几何体.若图3中每个正方体的边长为1，则点到直线的距离是__________.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）在等差数列中，已知公差，前项和(其中)（1）求；（2）求和：18．（12分）已知A（-3，0），B（3，0），四边形AMBN的对角线交于点D（1，0），kMA与kMB的等比中项为，直线AM，NB相交于点P.（1）求点M的轨迹C的方程；（2）若点N也在C上，点P是否在定直线上?如果是，求出该直线，如果不是，请说明理由.19．（12分）如图，在四棱锥中，面ABCD，，且，，，，，N为PD的中点.（1）求证：平面PBC；（2）在线段PD上是否存在一点M，使得直线CM与平面PBC所成角的正弦值是.若存在，求出的值，若不存在，说明理由.20．（12分）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，，.（1）求角B；（2）求a，c的值及的面积.21．（12分）在△中，内角所对的边分别为，已知（1）求角的大小；（2）若的面积，求的值22．（10分）在数列中，,，数列满足（1）求证：数列是等比数列，并求出数列的通项公式；（2）数列前项和为，且满足，求的表达式；（3）令，对于大于的正整数、（其中），若、、三个数经适当排序后能构成等差数列，求符合条件的数组.

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、A【解析】设所求点的坐标为，由，逐一验证选项即可【详解】设所求点的坐标为，则，因为平面的一个法向量为，所以，，对于选项A，，对于选项B，，对于选项C，，对于选项D，故选：A2、B【解析】利用正弦定理得到，进而或，由，得，即可求解【详解】由正弦定理得，，或，，，故满足条件的有且只有一个.故选：B3、D【解析】根据题意将实际问题转化为等差数列的问题即可解决【详解】解：由题意，可设甲、乙、丙、丁、戊五人分得的钱分别为，，，，则，，，，成等差数列，设公差为，整理上面两个算式，得：，解得，故选：4、C【解析】特称命题的否定是全称命题，改量词，且否定结论，故命题的否定是“”.本题选择C选项.5、A【解析】根据两圆有且仅有一条公切线，得到两圆内切，从而可求出结果.【详解】因为圆，圆心为，半径为；圆可化为，圆心为，半径，又圆与圆有且仅有一条公切线，所以两圆内切，因此，即，解得.故选：A.6、D【解析】根据特称命题否定的方法求解，改变量词，否定结论.【详解】由题意可知命题“存在，使得”的否定为“对任意，”.故选：D.7、A【解析】求得，即可得出.【详解】，，，.故选：A.8、D【解析】利用基本不等式求出的最小值16，分离参数即可.【详解】因为，，，所以，当且仅当，即，时取等号由题意，得，即对任意的实数x恒成立，又，所以，即故选：D9、C【解析】根据曲线方程表示双曲线方程有，即可求参数范围.【详解】由题设，，可得.故选：C.10、A【解析】设，，则、，由点在圆上可得，再由向量垂直的坐标表示可得，进而可得M的轨迹为圆，即可求的最大值.【详解】设，中点，则，，又，，则，所以，又，则，而，，所以，即，综上，，整理得，即为M的轨迹方程，所以在圆心为，半径为的圆上，则.故选：A.【点睛】关键点点睛：由点圆位置、中点坐标公式及向量垂直的坐标表示得到关于的轨迹方程.11、A【解析】由题方程化为椭圆的标准方程求出c，则椭圆的焦点坐标可求【详解】由题得方程可化为，所以所以焦点为故选：A.12、B【解析】根据已知求出公差即可得出.【详解】设等差数列的公差为，因为，，所以，则.故选：B.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【解析】设，则，利用复数相等，求出，的值，结合复数的模长公式进行计算即可【详解】设，则，则由得，即，则，得，则，故答案为【点睛】本题主要考查复数模长的计算，利用待定系数法，结合复数相等求出复数是解决本题的关键14、1【解析】先对函数求导，然后令可求出的值【详解】因为，所以，则，解得故答案为：15、【解析】根据双曲线的定义算出△AF1F2中，|AF1|=2a，|AF2|=4a，由△ABF2是等边三角形得∠F1AF2=120°，利用余弦定理算出c=a，结合双曲线离心率公式即可算出双曲线C的离心率.【详解】因为△ABF2为等边三角形，可知，A为双曲线上一点，，B为双曲线上一点，则，即，∴由，则，已知，在△F1AF2中应用余弦定理得：，得c2=7a2，则e2＝7⇒e＝故答案为：【点睛】方法点睛：求双曲线的离心率，常常不能经过条件直接得到a，c的值，这时可将或视为一个整体，把关系式转化为关于或的方程，从而得到离心率的值.16、【解析】根据题意，求得△的三条边长，在三角形中求边边上的高线即可.【详解】根据题意，延长交于点，连接，如下所示：在△中，容易知：；同理，，满足，设点到直线的距离为，由等面积法可知：，解得，即点到直线的距离是.故答案为：.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）12（2）18【解析】（1）根据已知的,利用等差数列的通项公式和前n项和公式即可列式求解；（2）由第（1）问中求解出的的通项公式，要求前12项绝对值的和，可以发现，该数列前6项为正项，后6项为负项，因此在算和的时候，后6项和可以取原通项公式的相反数即可计算，即为，然后再加上前6项和，即为要求的前12项绝对值的和.【小问1详解】由题意可得，在等差数列中，已知公差，前项和所以，解之得，所以n=12【小问2详解】由（1）可知数列{an}的通项公式为，所以即18、（1）；（2）点P在定直线x=9上.理由见解析.【解析】(1)设点，根据两点坐标距离公式和等比数列的等比中项的应用列出方程，整理方程即可；(2)设直线MN方程为：，点，联立双曲线方程消去x得到关于y的一元二次方程，根据韦达定理写出，利用两点坐标和直线的点斜式方程写出直线PA、PB，联立方程组，解方程组即可.【小问1详解】设点，则，又，所以，整理，得，即轨迹M的方程C为：；【小问2详解】点P在定直线上.由(1)知，曲线C方程为：，直线MN过点D(1,0)若直线MN斜率不存在，则，得，不符合题意；设直线MN方程为：，点，则，消去x，得，有，，，，所以直线PA方程为：，直线PB方程为：，所以点P的坐标为方程组的解，有，即，整理，得，解得，即点P在定直线上.19、（1）证明见解析（2）存在，且【解析】（1）建立空间直角坐标系，利用向量法证得平面.（2）设，利用直线与平面所成角的正弦值列方程，化简求得.【小问1详解】设是的中点，连接，由于，所以四边形是矩形，所以，由于平面，所以，以为空间坐标原点建立如图所示空间直角坐标系，，，，设平面的法向量为，则，故可设.，且平面，所以平面.【小问2详解】，设，则，，，设直线与平面所成角为，则，，两边平方并化简得，解得或（舍去）.所以存在，使直线与平面所成角的正弦值是，且.20、（1）（2），，【解析】（1）利用正弦定理化简已知条件，求得，进而求得.（2）利用余弦定理求得和，由此求得三角形的面积.【小问1详解】由于，∴.又∵，∴.∴.【小问2详解】∵，且，，，∴，解得或（舍）.∴，.∴.21、（1）；（2）【解析】（1）由正弦定理，将条件中的边化成角，可得，进而可得的值；（2）由三角形面积公式可得，再由余弦定理可得，得最后结论试题解析：（1），又∴又得（2）由，∴又得，∴得考点：正弦定理；余弦定理【易错点睛】解三角形问题的两重性：①作为三角形问题，它必须要用到三角形的内角和定理，正弦、余弦定理及其有关三角形的性质，及时进行边角转化，有利于发现解题的思路；②它毕竟是三角变换，只是角的范围受到了限制，因此常见的三角变换方法和原则都是适用的，注意“三统一”（即“统一角、统一函数、统一结构”）是使问题获得解决的突破口22、（1）证明见解析，；（2）；（3）.【解析】（1）由已知等式变形可得，利用等比数列的定义可证得结论成立，确定等比数列的首项和公比，可求得数列的通项公式；（2）求得，然后分、两种情况讨论，结合裂项相消法可得出的表达式；（3）求得，