福建省龙岩市高级中学2025届高二数学第一学期期末质量跟踪监视模拟试题含解析

福建省龙岩市高级中学2025届高二数学第一学期期末质量跟踪监视模拟试题请考生注意：1．请用2B铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。写在试题卷、草稿纸上均无效。2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．已知数列满足，，，前项和（）A. B.C. D.2．下列四个命题中，为真命题的是（）A.若a＞b，则ac2＞bc2B.若a＞b，c＞d，则a﹣c＞b﹣dC.若a＞|b|，则a2＞b2D.若a＞b，则3．如图，在平行六面体中，AC与BD的交点为M.设，则下列向量中与相等的向量是（）A. B.C. D.4．已知，那么函数在x＝π处的瞬时变化率为（）A. B.0C. D.5．若动点在方程所表示的曲线上，则以下结论正确的是（）①曲线关于原点成中心对称图形；②动点到坐标原点的距离的取值范围为；③动点与点的最小距离为；④动点与点的连线斜率的取值范围是.A.①② B.①②③C.③④ D.①②④6．用数学归纳法证明时，第一步应验证不等式（）A. B.C. D.7．若，，则有（）A. B.C. D.8．已知是抛物线的焦点，是抛物线的准线，点，连接交抛物线于点，，则的面积为（）A.4 B.9C. D.9．若是等差数列的前项和，，则（）A.13 B.39C.45 D.2110．已知A为抛物线C:y2=2px（p>0）上一点，点A到C的焦点的距离为12，到y轴的距离为9，则p=（）A.2 B.3C.6 D.911．三棱柱中，，，，若，则（）A. B.C. D.12．某商场开通三种平台销售商品，五一期间这三种平台的数据如图1所示．该商场为了解消费者对各平台销售方式的满意程度，用分层抽样的方法抽取了6%的顾客进行满意度调查，得到的数据如图2所示．下列说法正确的是（）A.样本中对平台一满意的消费者人数约700B.总体中对平台二满意的消费者人数为18C.样本中对平台一和平台二满意的消费者总人数为60D.若样本中对平台三满意消费者人数为120，则二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．已知命题恒成立；，若p，均为真，则实数a的取值范围__________14．函数的图象在点P（）处的切线方程是，则_____15．一条直线经过，并且倾斜角是直线的倾斜角的2倍，则直线的方程为__________16．已知椭圆：的右焦点为，且经过点（1）求椭圆的方程以及离心率；（2）若直线与椭圆相切于点，与直线相交于点．在轴是否存在定点，使？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）已知数列是公比为正数的等比数列，且，.（1）求数列的通项公式；（2）若，求数列的前项和.18．（12分）已知圆C经过点，，且圆心C在直线上（1）求圆C的标准方程；（2）过点向圆C引两条切线PD，PE，切点分别为D，E，求切线PD，PE的方程，并求弦DE的长19．（12分）设函数，其中是自然对数的底数，.（1）若，求的最小值；（2）若，证明：恒成立.20．（12分）已知椭圆：的左、右焦点分别为，，离心率等于，点，且的面积等于（1）求椭圆的标准方程；（2）已知斜率存在且不为0的直线与椭圆交于A，B两点，当点A关于y轴的对称点在直线PB上时，直线是否过定点?若过定点，求出此定点；若不过，请说明理由21．（12分）已知斜率为的直线与椭圆：交于，两点（1）若线段的中点为，求的值；（2）若，求证：原点到直线的距离为定值22．（10分）在平面直角坐标系中，圆外的点在轴的右侧运动，且到圆上的点的最小距离等于它到轴的距离，记的轨迹为（1）求的方程；（2）过点的直线交于，两点，以为直径的圆与平行于轴的直线相切于点，线段交于点，证明：是的中点

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、C【解析】根据，利用对数运算得到，再利用等比数列的前n项和公式求解.【详解】解：因为，所以，则，所以数列是以为首项，为公比的等比数列，所以，故选：C2、C【解析】利用不等式的性质结合特殊值法依次判断即可【详解】当c＝0时，A不成立；2>1，3>－1，而2－3<1－(－1)，故B不成立；a＝2，b＝1时，，D不成立；由a>|b|知a>0，所以a2>b2，C正确故选：C3、B【解析】根据代入计算化简即可.【详解】故选：B.4、A【解析】利用导数运算法则求出，根据导数的定义即可得到结论【详解】由题设，，所以，函数在x＝π处瞬时变化率为，故选：A5、A【解析】将原方程等价变形为，将方程中的换为，换为，方程不变，可判断①；利用两点间的距离公式，结合二次函数知识可判断②和③；取特殊点可判断④.【详解】因为等价于，即，对于①，将方程中的换为，换为，方程不变，所以曲线关于原点成中心对称图形，故①正确；对于②，设，则动点到坐标原点的距离，因为，所以，故②正确；对于③，设，动点与点的距离为，因为函数在上递减，所以当时，函数取得最小值，从而取得最小值，故③不正确；对于④，当时，因为，所以，故④不正确.综上所述：结论正确的是：①②.故选：A6、B【解析】取即可得到第一步应验证不等式.【详解】由题意得，当时，不等式为故选：B7、D【解析】对待比较的代数式进行作差，利用不等式基本性质，即可判断大小.【详解】因为，又，，故，则，即；因为，又，，故，则；综上所述：.故选：D.8、D【解析】根据题意求得抛物线的方程为和焦点为，由，得到为的中点，得到，代入抛物线方程，求得，进而求得的面积.【详解】由直线是抛物线的准线，可得，即，所以抛物线的方程为，其焦点为，因为，可得可得三点共线，且为的中点，又因为，，所以，将点代入抛物线，可得，所以的面积为.故选：D.9、B【解析】先根据等差数列的通项公式求出，然后根据等差数列的求和公式及等差数列的下标性质求得答案.【详解】设等差数列的公差为d，则，则.故选：B.10、C【解析】利用抛物线的定义建立方程即可得到答案.【详解】设抛物线的焦点为F，由抛物线的定义知，即，解得.故选：C.【点晴】本题主要考查利用抛物线的定义计算焦半径，考查学生转化与化归思想，是一道容易题.11、A【解析】利用空间向量线性运算及基本定理结合图形即可得出答案.【详解】解：由，，，若，得.故选：A.12、C【解析】根据扇形图和频率分布直方图判断.【详解】对于A：样本中对平台一满意的人数为，故选项A错误；对于B：总体中对平台二满意的人数约为，故选项B错误；对于C：样本中对平台一和平台二满意的总人数为：，故选项C正确：对于D：对平台三的满意率为，所以，故选项D错误故选：C二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【解析】根据题意得到命题为真命题，为假命题，结合二次函数的图象与性质，即可求解.【详解】根据题意，命题，均为真命题，可得命题为真命题，为假命题，由命题恒成立，可得，解得；又由命题为假命题，可得，解得，所以，即实数a的取值范围为.故答案为：.14、【解析】根据导数的几何意义，结合切线方程，即可求解.【详解】根据导数的几何意义可知，，且，所以.故答案为：15、【解析】先求出直线倾斜角，从而可求得直线的倾斜角，则可求出直线的斜率，进而可求出直线的方程【详解】因为直线的斜率为，所以直线的倾斜角为，所以直线的倾斜角为，所以直线的斜率为，因为直线经过，所以直线的方程为，即，故答案为：16、（1），；（2）存在定点，为【解析】（1）利用，，求解方程（2）设直线方程为，与椭圆联立利用判别式等于0得，并求得切点坐标及，假设存在点，利用化简求值【详解】（1）由已知得，，，，椭圆的方程为，离心率为；（2）在轴存在定点，为使，证明：设直线方程为代入得，化简得由，得，，设，则，，则，设，则，则假设存在点解得所以在轴存在定点使【点睛】本题考查直线与椭圆的位置关系，考查切线的应用，利用判别式等于0得坐标是解决问题的关键,考查计算能力,是中档题三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）；（2）.【解析】（1）根据题意，通过解方程求出公比，即可求解；（2）根据题意，求出，结合组合法求和，即可求解.小问1详解】根据题意，设公比为，且，∵，，∴，解得或（舍），∴.【小问2详解】根据题意，得，故，因此.18、（1）（2）或，【解析】（1）设圆心，根据圆心在直线上及圆过两点建立方程求解即可；（2）分切线的斜率存在与不存在分类讨论，利用圆心到切线的距离等于半径求解，再根据圆的切线的几何性质求弦长即可.【小问1详解】设圆心，因为圆心C在直线上，所以①因为A，B是圆上的两点，所以，所以，即②联立①②，解得，所以圆C的半径，所以圆C的标准方程为【小问2详解】若过点P的切线斜率不存在，则切线方程为若过点P的切线斜率存在，设为k，则切线方程为，即由，解得，所以切线方程为综上，过点P的圆C的切线方程为或设PC与DE交于点F，因为，，PC垂直平分DE，所以，所以所以19、（1）（2）证明见解析【解析】（1）当时，，求出，可得答案；（2）设，，，，，设，求出利用单调性可得答案.【小问1详解】当时，，则，所以单调递增，又，当时，，单调递减，当时，，单调递增，所以.【小问2详解】设，若，则，若，则，设，则，所以单调递增，又，当时，，上单调递减，当时，，单调递增，所以，所以，综上，恒成立.【点睛】本题考查了求函数值域或最值的问题，一般都需要通过导数研究函数的单调性、极值、最值来处理，特别的要根据所求问题，适时构造恰当的函数，再利用所构造函数的单调性、最值解决问题是常用方法，考查了学生分析问题、解决问题的能力.20、（1）（2）【解析】（1）用待定系数法求出椭圆的标准方程；（2）设直线的方程为,设，用“设而不求法”表示出和.表示出直线PB，把A关于y轴的对称点为带入后整理化简，即可得到，从而可以判断出直线恒过定点.【小问1详解】由题意可得：，解得：，所以椭圆的标准方程为：.【小问2详解】由题意可知,直线的斜率存在且不为0,设直线的方程为,设设点A关于y轴的对称点为.联立方程组，消去y可得：,所以.因为直线PB的方程为,且点D在直线PB上,所以则，所以，则,故，因为k≠0,所以，则直线l的方程为，所以直线恒过定点.21、（1）；（2）证明见解析.【解析】（1）设出两点的坐标，利用点差法即可求出的值；（2）设出直线的方程，与椭圆方程联立，写韦达；根据，求出，从而可证明原点到直线的距离为定值【小问1详解】设，则，，两式相减，得，即，所以，即，又因为线段的中点为，所以，即；【小问2详解】设斜率为的直线为，，由，得，所以，，因为，所以，即，所以，所以，即，所以，原点到直线的距离为.所以原点到直线的距离为定值.22、（1）（2）证明见解析【解析】（1）设点，求得到圆上的最小距离为，根据题意得到，整理即可求得曲线的方程；（2）当直线的斜率不存在时，显然成立；当直线的斜率存在时，设直线的方程，联立方程组求得和，得到，结合抛物线的定义和方程求得，，结