2025届山东省武城县第一中学数学高二上期末达标检测试题含解析

2025届山东省武城县第一中学数学高二上期末达标检测试题考生请注意：1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。3．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．下列直线中，与直线垂直的是（）A. B.C. D.2．设等比数列，有下列四个命题：①{a②是等比数列；③是等比数列；④lgan其中正确命题的个数是（）A.1 B.2C.3 D.43．已知双曲线满足，且与椭圆有公共焦点，则双曲线的方程为（）A. B.C. D.4．如图，空间四边形中，，，，且，，则（）A. B.C. D.5．已知抛物线，则其焦点到准线的距离为（）A. B.C.1 D.46．已知直线过点，，则该直线的倾斜角是（）A. B.C. D.7．已知函数是区间上的可导函数，且导函数为，则“对任意的，”是“在上为增函数”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件8．在等差数列{an}中，a1=1，，则a7=（）A.13 B.14C.15 D.169．已知命题p：，总有，则为（）A.，使得 B.，使得C.，总有 D.，总有10．“且”是“方程表示椭圆”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分又不必要条件11．刘老师在课堂中与学生探究某个圆时，有四位同学分别给出了一个结论.甲：该圆经过点.乙：该圆半径为.丙：该圆的圆心为.丁：该圆经过点，如果只有一位同学的结论是错误的，那么这位同学是（）A.甲 B.乙C.丙 D.丁12．若直线与直线垂直，则（）A6 B.4C. D.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．已知水平放置的是按“斜二测画法”得到如下图所示的直观图，其中，，则原的面积为______.14．甲、乙两名学生通过某次听力测试的概率分别为和，且是否通过听力测试相互独立，两人同时参加测试，其中有且只有一人能通过的概率是__________15．中小学生的视力状况受到社会的关注.某市有关部门从全市6万名高一学生中随机抽取400名学生，对他们的视力状况进行一次调查统计，将所得到的有关数据绘制成频率分布直方图，如图所示，从左至右五个小组的频率之比为，则抽取的这400名高一学生中视力在范围内的学生有______人.16．下图是4个几何体的展开图，图①是由4个边长为3的正三角形组成；图②是由四个边长为3的正三角形和一个边长为3的正方形组成；图③是由8个边长为3的正三角形组成；图④是由6个边长为3的正方形组成若直径为4的球形容器（不计容器厚度）内有一几何体，则该几何体的展开图可以是______（填所有正确结论的番号）三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）设函数（1）若，求的单调区间和极值；（2）在（1）的条件下，证明：若存在零点，则在区间上仅有一个零点；（3）若存在，使得，求的取值范围18．（12分）如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是平行四边形，侧棱底面ABCD，，，E为PB中点，F为PC上一点，且（1）求证：；（2）求平面DEF与平面ABCD所成锐二面角的余弦值19．（12分）设为数列的前n项和，且满足（1）求证：数列为等差数列；（2）若，且成等比数列，求数列的前项和20．（12分）在平面直角坐标系中，圆C：，直线l：（1）若直线l与圆C相切于点N，求切点N的坐标；（2）若，直线l上有且仅有一点A满足：过点A作圆C的两条切线AP、AQ，切点分别为P，Q，且使得四边形APCQ为正方形，求m的值21．（12分）已知点为椭圆C的右焦点，P为椭圆上一点，且（O为坐标原点），.（1）求椭圆C的标准方程；（2）经过点的直线l与椭圆C交于A，B两点，求弦的取值范围.22．（10分）如图，在正四棱柱中，，，点在棱上，且平面（1）求的值；（2）若，求二面角的余弦值

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、C【解析】，，若，则，项，符合条件，故选2、C【解析】根据等比数列的性质对四个命题逐一分析，由此确定正确命题的个数.【详解】是等比数列可得（为定值）①为常数，故①正确②，故②正确③为常数，故③正确④不一定为常数，故④错误故选C.【点睛】本小题主要考查等比数列的性质，属于基础题.3、A【解析】根据椭圆的标准方程求出，利用双曲线，结合建立方程求出，，即可求出双曲线的渐近线方程【详解】椭圆的标准方程为，椭圆中的，双曲线的焦点与椭圆的焦点相同，双曲线中，双曲线满足，即又在双曲线中，即，解得：，所以双曲线的方程为，故选：A【点睛】关键点点睛：本题主要考查双曲线方程的求解，根据椭圆和双曲线的关系建立方程求出，，是解决本题的关键，考查学生的计算能力，属于基础题4、C【解析】根据空间向量的线性运算即可求解.【详解】因为，又因为，，所以.故选：C5、B【解析】化简抛物线的方程为，求得，即为焦点到准线的距离.【详解】由题意，抛物线，即，解得，即焦点到准线的距离是故选：B6、C【解析】根据直线的斜率公式即可求得答案.【详解】设该直线的倾斜角为，该直线的斜率，即.故选：C7、A【解析】根据充分条件与必要条件的概念，由导函数的正负与函数单调性之间关系，即可得出结果.【详解】因为函数是区间上的可导函数，且导函数为，若“对任意的，”，则在上为增函数；若在上为增函数，则对任意的恒成立，即由“对任意的，”能推出“在上为增函数”；由“在上为增函数”不能推出“对任意的，”，因此“对任意的，”是“在上为增函数”的充分不必要条件.故选：A8、A【解析】利用等差数列的基本量，即可求解.【详解】设等差数列的公差为，，解得：，则.故选：A9、B【解析】由含有一个量词的命题的否定的定义求解.【详解】因为命题p：，总有是全称量词命题，所以其否定为存在量词命题，即，使得，故选：B10、B【解析】根据充分条件、必要条件的定义和椭圆的标椎方程，判断可得出结论.【详解】解：充分性：当，方程表示圆，充分性不成立；必要性：若方程表示椭圆，则，必有且，必要性成立，因此，“且”是“方程表示椭圆”的必要不充分条件.故选：B.11、D【解析】分别假设甲、乙、丙、丁是错误的，看能否推出矛盾，进而推导出答案.【详解】假设甲的结论错误，根据丙和丁的结论，该圆的半径为6，与乙的结论矛盾；假设乙的结论错误，圆心到点的距离与圆心到点的距离不相等，不成立；假设丙的结论错误﹐点到点的距离大于，不成立；假设丁的结论错误，圆心到点的距离等于，成立.故选：D12、A【解析】由两条直线垂直的条件可得答案.【详解】由题意可知，即故选：A.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【解析】根据直观图画出原图，再根据三角形面积公式计算可得.【详解】解：依题意得到直观图的原图如下：且，所以故答案为：【点睛】本题考查斜二测画法中原图和直观图面积之间的关系，属于基础题14、##0.5【解析】分两种情况，结合相互独立事件公式即可求解.【详解】记甲，乙通过听力测试的分别为事件，则可得，两人有且仅有一人通过为事件，故所求事件概率为.故答案为：15、50【解析】利用频率分布直方图的性质求解即可.【详解】第五组的频率为，第一组所占的频率为，则随机抽取400名学生视力在范围内的学生约有人.故答案为：50.16、①【解析】根据几何体展开图可知①正四面体、②正四棱锥、③正八面体、④正方体，进而求其外接球半径，并与4比较大小，即可确定答案.【详解】若几何体外接球球心为，半径为，①由题设，几何体为棱长为3的正四面体，为底面中心，则，，所以，可得，即，满足要求；②由题设，几何体为棱长为3的正四棱锥，为底面中心，则，所以，可得，即，不满足要求；③由题设，几何体为棱长为3的正八面体，其外接球直径同棱长为3的正四棱锥，故不满足要求；④由题设，几何体为棱长为3的正方体，体对角线的长度即为外接球直径，所以，不满足要求；故答案为：①三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）递减区间是，单调递增区间是，极小值（2）证明见解析（3）【解析】（1）对函数进行求导通分化简，求出解得，在列出与在区间上的表格，即可得到答案.（2）由（1）知，在区间上的最小值为，因为存在零点，所以，从而．在对进行分类讨论，再利用函数的单调性得出结论.（3）构造函数，在对进行求导，在对进行分情况讨论，即可得的得到答案.【小问1详解】函数的定义域为，，由解得与在区间上的情况如下：–↘↗所以，的单调递减区间是，单调递增区间是；在处取得极小值，无极大值【小问2详解】由（1）知，在区间上的最小值为因为存在零点，所以，从而当时，在区间上单调递减，且，所以是在区间上的唯一零点当时，在区间上单调递减，且，所以在区间上仅有一个零点综上可知，若存在零点，则在区间上仅有一个零点【小问3详解】设，①若，则，符合题意②若，则，故当时，，在上单调递增所以，存在，使得的充要条件为，解得③若，则，故当时，；当时，在上单调递减，在上单调递增所以，存在，使得的充要条件为，而，所以不合题意综上，的取值范围是【点睛】本题考查求函数的单调区间和极值、证明给定区间只有一个零点问题，以及含参存在问题，属于难题.18、（1）证明见解析（2）【解析】（1）依题意可得，再由，即可得到平面，从而建立空间直角坐标系，利用空间向量法证明即可；（2）利用空间向量法求出二面角的余弦值；【小问1详解】证明：因为平面，平面，平面，则，，又，因为，，平面，所以平面，故以点为坐标原点，建立空间直角坐标系如图所示，则，0，，，0，，，1，，，1，，，0，，，所以，则，所以，故；【小问2详解】解：解：因为，设平面的法向量为，则，即，令，则，，故，因为底面，所以的一个法向量为，所以，故平面与平面夹角的余弦值为19、（1）证明见解析；（2）答案见解析.【解析】（1）利用给定的递推公式，结合“当时，”变形，再利用等差中项的定义推理作答.（2）利用（1）的结论，利用等比中项的定义列式计算，再利用等差数列前n项和公式计算作答.【小问1详解】依题意，，当时，有，两式相减得：，同理可得，于是得，即，而当时，，所以数列为等差数列.【小问2详解】由（1）知数列为等差数列，设其首项为，公差为d，依题意，，解得或，当时，，当时，.20、（1）或（2）3.【解析】（1）设切点坐标，由切点和圆心连线与切线垂直以及切点在圆上建立关系式，求解切点坐标即可；（2）由圆的方程可得圆心坐标及半径，由APCQ为正方形，可得|AC|＝可得圆心到直线的距离为，可得m的值【小问1详解】解：设切点为，则有，解得：或x0=-2+1y0=-2，所以切点的坐标为或【小问2详解】解：圆C：的圆心（1，0），半径r＝2，设，由题意可得，由四边形APCQ为正方形，可得|AC|＝，即，由题意直线l⊥AC，圆C：（x﹣1）2+y2＝4，则圆心（1，0）到直线的距离，可得，m＞0，解得m＝3.21、（1）（2）【解析】（1）利用椭圆定义求得椭圆的即可解决；（2）经过点的直线l分为斜率不存在和存在两种情况，分别去求弦，再去求其取值范围即可.【小问1详解】由题意得.记左焦点为，，则，，解得.由椭圆定义得：，则，所以椭圆C的方程为：.【小问2详解】①当直线l的斜率不存在时，.②当直线l的斜率存在时，设斜率为k，则l的方程为.联立椭圆与直线的方程（由于点在椭圆内，∴成立），且，，令，则，，，由得，综上所述，弦的取值范围为.【点睛】(1)解答直线与椭圆的题目时，时常把两个曲线的方程联立，消去x(或y)建立一元二次方程，然后借助根与系数的关系，并结合题设条件建立有关参变量的等量关系(2)涉及到直线方程的设法时，务必考虑全面，不要忽略直线