山东省泰安第四中学2025届数学高二上期末检测模拟试题含解析

山东省泰安第四中学2025届数学高二上期末检测模拟试题考生须知：1．全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。2．请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。3．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．在等差数列中，已知，则数列的前6项之和为（）A.12 B.32C.36 D.722．函数的定义域为，其导函数的图像如图所示，则函数极值点的个数为（）A.2 B.3C.4 D.53．如图，在平行六面体（底面为平行四边形的四棱柱）中，E为延长线上一点，，则为（）A. B.C. D.4．已知、为非零实数，若且，则下列不等式成立的是()A. B.C. D.5．若直线l的倾斜角是钝角，则l的方程可能是（）A. B.C. D.6．在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD，，，点E为PA的中点，，，，则点B到平面PCD的距离为（）A. B.C. D.7．为了调查全国人口的寿命，抽查了11个省（市）的2500名城镇居民，这2500名城镇居民的寿命的全体是（）A.总体 B.个体C.样本 D.样本容量8．已知椭圆：的左、右焦点分别为、，为坐标原点，为椭圆上一点．与轴交于一点，，则椭圆C的离心率为（）A. B.C. D.9．下列关于命题的说法错误的是A.命题“若，则”的逆否命题为“若，则”B.“”是“函数在区间上为增函数”的充分不必要条件C.命题“，使得”的否定是“，均有”D.“若为的极值点，则”的逆命题为真命题10．已知等差数列满足，则等于（）A. B.C. D.11．若双曲线一条渐近线被圆所截得的弦长为，则双曲线的离心率是（）A. B.C. D.12．已知椭圆的左、右焦点分别为，，直线过且与椭圆相交于不同的两点，、不在轴上，那么△的周长（）A.是定值B.是定值C.不是定值，与直线的倾斜角大小有关D.不是定值，与取值大小有关二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．已知抛物线C：的焦点F到准线的距离为4，过点F和的直线l与抛物线C交于P，Q两点.若，则________.14．从1，3，5，7中任取2个数字，从0，2，4，6，8中任取2个数字，组成没有重复数字的四位数，这样的四位数一共有___________个.（用数字作答）15．直线l过点P(1，3)，且它的一个方向向量为(2，1)，则直线l的一般式方程为__________.16．我国著名数学家华罗庚曾说过：“数缺形时少直观，形少数时难人微”.事实上，很多代数问题可以转化为几何问题加以解决，如：与相关的代数问题可以转化为点与点之间距离的几何问题.结合上述观点，可得方程的解是__________.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）已知椭圆，直线.（1）若直线与椭圆相切，求实数的值；（2）若直线与椭圆相交于A、两点，为线段的中点，为坐标原点，且，求实数的值.18．（12分）已知函数（1）解关于的不等式；（2）若不等式在上有解，求实数的取值范围19．（12分）圆的圆心为，且与直线相切，求：（1）求圆的方程；（2）过的直线与圆交于，两点，如果，求直线的方程20．（12分）已知公差大于零的等差数列的前项和为，且满足，，（1）求数列的通项公式；（2）若数列是等差数列，且，求非零常数；21．（12分）如图，在长方体中，，点E在棱上运动（1）证明：；（2）当E为棱的中点时，求直线与平面所成角的正弦值；（3）等于何值时，二面角的大小为？22．（10分）已知函数.（1）当时，求的极值；（2）当时，，求a的取值范围.

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、C【解析】利用等差数列的求和公式结合角标和定理即可求解.【详解】解：等差数列中，所以等差数列的前6项之和为：故选：C.2、C【解析】根据给定的导函数的图象，结合函数的极值的定义，即可求解.【详解】如图所示，设导函数的图象与轴的交点分别为，根据函数的极值的定义可知在该点处的左右两侧的导数符号相反，可得为函数的极大值点，为函数的极小值点，所以函数极值点的个数为4个.故选：C.3、B【解析】根据空间向量运算求得正确答案.【详解】.故选：B4、D【解析】作差法即可逐项判断.【详解】或，对于A：，∵，无法判断正负，故A错误；对于B：，∵无法判断正负，故B错误；对于C：，∵，，∴，，故C错误；对于D：，∴，故D正确.故选：D.5、A【解析】根据直线方程，求得直线斜率，再根据倾斜角和斜率的关系，即可判断和选择.【详解】若直线的倾斜角为，则，当时，为钝角，当，，当，为锐角；当不存在时，倾斜角为，对A：，显然倾斜角为钝角；对B：，倾斜角为锐角；对C：，倾斜角为锐角；对D：不存在，此时倾斜角为直角.故选：A.6、D【解析】为中点，连接，易得为平行四边形，进而可知B到平面PCD的距离即为到平面PCD的距离，再由线面垂直的性质确定线线垂直，在直角三角形中应用勾股定理求相关线段长，即可得△为直角三角形，最后应用等体积法求点面距即可.【详解】若为中点，连接，又E为PA的中点，所以，，又，，则且，所以为平行四边形，即，又面，面，所以面，故B到平面PCD的距离，即为到平面PCD的距离，由底面ABCD，面ABCD，即，，，又，即，，则面，面，即，而，，，，易知：，在△中；在△中；在△中；综上，，故，又，则.所以B到平面PCD的距离为.故选：D7、C【解析】由样本的概念即知.【详解】由题意可知，这2500名城镇居民的寿命的全体是样本.8、C【解析】由椭圆的性质可先求得，故可得，再由椭圆的定义得a，c的关系，故可得答案【详解】，，又，，则，，则，，由椭圆的定义得，，，故选：C9、D【解析】根据命题及其关系、充分条件与必要条件、导数在函数中应用、全称量词与存在量词等相关知识一一判断可得答案.【详解】解：A,由原命题与逆否命题的构成关系,可知A正确；B,当a=2>1时,函数在定义域内是单调递增函数，当函数定义域内是单调递增函数时，a>1.所以B正确；C,由于存在性命题的否定是全称命题,所以"，使得"的否定是"，均有,所以C正确；D,的根不一定是极值点，例如:函数,则=0，即x=0就不是极值点,所以“若为的极值点，则”的逆命题为假命题,故选D.【点睛】本题主要考查命题及其关系、充分条件与必要条件、导数在函数中应用、全称量词与存在量词等相关知识，需牢记并灵活运用相关知识.10、A【解析】利用等差中项求出的值，进而可求得的值.【详解】因为得，因此，.故选：A.11、A【解析】根据（为弦长，为圆半径，为圆心到直线的距离），求解出的关系式，结合求解出离心率的值.【详解】取的一条渐近线，因为（为弦长，为圆半径，为圆心到直线的距离），其中，所以，所以，所以，所以，所以，故选：A.【点睛】关键点点睛：解答本题的关键是利用几何法表示出圆的半径、圆心到直线的距离、半弦长之间的关系.12、B【解析】由直线过且与椭圆相交于不同的两点，，且，为椭圆两焦点，根据椭圆的定义即可得△的周长为，则答案可求【详解】椭圆，椭圆的长轴长为，∴△的周长为故选：B二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、9【解析】根据抛物线C：的焦点F到准线的距离为4，求得抛物线方程.再由和，得到点P的坐标，进而得到直线l的方程，与抛物线方程联立求得的坐标，再由两点间距离公式求解.【详解】由抛物线C：的焦点F到准线的距离为4，所以，所以抛物线方程为.因为，，所以点P的纵坐标为1，代入抛物线方程，可得点P的横坐标为，不妨设，则，故直线l的方程为，将其代入得.可得，故.故答案为：9【点睛】本题主要考查抛物线的方程与性质，还考查了运算求解的能力，属于中档题.14、1296【解析】根据取出的数字是否含有零，分类讨论，若不含零，则有四位数个，若含有零，则有四位数个，再根据分类加法计数原理即可求出【详解】若取出的数字中不含零，则有四位数个；若取出的数字中含零，则有四位数个；所以，这样的四位数有个故答案为：129615、【解析】根据直线方向向量求出直线斜率即可得直线方程.【详解】因为直线l的一个方向向量为(2，1)，所以其斜率，所以l方程为：，即其一般式方程为：.故答案为：.16、【解析】根据题意，列方程计算即可【详解】因为，所以，可转化为点到点和点的距离之和为，所以点在椭圆上，则，解得.故答案为：三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）（2）m值为或.【解析】（1）利用判别式直接求解；（2）用“设而不求法”表示出，即可求出m.【小问1详解】联立,消去y可得.因为直线与椭圆相切，所以，解得：.【小问2详解】设.联立,消去y可得.所以,，所以.又由,可得.所以.因为,所以，解得，所以实数m的值为或.18、（1）当时，或；当时，；当时，或（2）【解析】（1）由题意得对的值进行分类讨论可得不等式的解集；（2）将条件转化为，，再利用基本不等式求最值可得的取值范围；【小问1详解】，即，所以，所以，①当时不等式的解为或，②当时不等式的解为，③当时不等式的解为或，综上：原不等式的解集为当时或，当时，当时或【小问2详解】不等式在上有解，即在上有解，所以在上有解，所以，因为，所以，当且仅当，即时取等号，所以.19、（1）（2）或【解析】由点到直线的距离公式求得圆的半径，则圆的方程可求；当直线的斜率不存在时，求得弦长为，满足题意；当直线的斜率不存在时，设出直线方程，求出圆心到直线的距离，再由垂径定理列式求，则直线方程可求【小问1详解】由题意得：圆的半径为，则圆的方程为；【小问2详解】当直线的斜率不存在时，直线方程为，得，符合题意；当直线的斜率存在时，设直线方程为，即圆心到直线的距离，则，解得直线的方程为直线的方程为或20、（1）（2）【解析】(1)利用等差数列的性质可得,联立方程可得,代入等差数列的通项公式可求;(2)代入等差数列的前和公式可求,进一步可得,然后结合等差数列的定义可得,从而可求.【详解】（1）为等差数列，，又是方程的两个根，（2）由（1）可知，为等差数列，舍去)当时，为等差数列，满足要求【点睛】本题主要考查了等差数列的定义、性质、通项公式、前项和公式的综合运用,属于中档题.21、（1）证明见解析；（2）；（3）.【解析】（1）连接、，长方体、线面垂直的性质有、，再根据线面垂直的判定、性质即可证结论.（2）连接，由已知条件及勾股定理可得、，即可求、，等体积法求到面的距离，又直线与面所成角即为与面所成角，即可求线面角的正弦值.（3）由题设易知二面角为，过作于，连接，可得二面角平面角为，令，由长方体的性质及勾股定理构造方程求即可.【小问1详解】由题设，连接、，又长方体中，∴为正方形，即，又面，面，即，∵，面，∴面，而面，即.【小问2详解】连接，由E为棱的中点，则，∴，又，故，∴，又，，故，则，由，若到面的距离为，又，，∴，可得，又，∴直线与面所成角即为与面所成角为，故.【小问3详解】二面角大小为，即二面角为，由长方体性质知：面，面，则，过作于，连接，又，∴面，则二面角平面角为，∴，令，则，故，而，，∴，∴，整理得，解得.∴时，二面角的大小为.22、（1）极大值，没有极小值（2）【解析】（1）把代入，然后对函数求导，结合导数可求函数单调区间,即可得解；（2）构造函数，将不等式的恒成立转化为函数的最值问题，结合导数与单调性及函数的性质对进行分类讨论，其中当和时易判断函数的单调性以及最小值，而当