高考数学命题思路分析及复习策略

PAGEPAGE1高考数学命题思路分析及复习策略江苏省泰州市教育局教研室（225300）石志群从2004年开始进行分省命题试验，到今年已有18个省、市独立命题。经过六年左、右时间的探索，很多省份都形成了具有自身特点的命题风格。而这种风格的形成对我们研究高考数学命题技术、命题思路提供了依据，也为确定恰当的数学教学与复习策略提供了研究方向。本文对高考数学命题(主要对江苏省)的风格、思路及对数学复习的教学策略作些粗浅的探讨，以作引玉之砖。一、江苏省卷的风格、特点分析江苏高考数学命题经历了从全国卷到江苏卷的过渡期的“稳定”（2004年）；在教育与文化大省的背景下，努力形成江苏卷自身特点的探索期（2005年、2006年、2007年）；再到已初步形成了具有一定的稳定结构和独特风格基本成熟期（2008年、2009年）。这个“成熟”的主要标志就是命题专家的变更并没有产生大家预想中的命题风格的大变化，而是沿着既定的目标日臻完善。题号年份江苏高考数学命题经过六年的探索，已逐步形成风格：一是难度的控制逐步准确、合适；二是与高中教学逐步贴切，起到了较好的导向作用（这两年的高考题大多可以作为课堂教学中的好的例、习题）；三是试卷结构的改革有利于考出学生的真实的水平；四是试卷结构与形式的调整使得高中数学教学目标更明确。具体地，有以下几方面的特点和值得研究的问题：一是整卷难度逐年下降，并逐步趋于稳定。基础题足够基础已成为不同命题专家的共同认识（无论是填空题还是解答题，都有逐年下降的趋势）；二是填空题基本没有难题，以基础题为主，中档题次之，稍难题2条左右；三是结构基本定型，六个大题所考查的内容及位置：三角（向量）、立体几何、解析几何、函数、数列及应用问题。而数列、函数作为压轴题的趋势有被打破的趋势：如形成固定模式，则会导致最重要的知识点、花最多时间和精力，却最没有希望得分，势必会影响今后在这两个模块上的教学投入，而且过于固定的试卷结构也不利于中学教学中对各模块的正常教学课时安排；四是压轴题难度有逐年下降的趋势，对多数考生都能有所题号年份1516171819200811125.85.132.20911.4812.259.337.067.24.14五是附加题成为重要的得分点，值得重视。08年附加题均分21.76，09年均分超过27分。事实上，难度高于去年，而得分也高于去年，这说明，重视度对这部分的得分影响较大（08年不计入划线，09年计入再划线）；六是附加题得分的公平性对命题的影响：不等式得分最低，平面几何次之，矩阵与变换得分最高，连续两年如此，且今年对不等式证明的要求还有所降低（作差比较即可）。因此，选择性与教学策略很重要；七是逐步克服过重的竞赛味，试题更加通俗化，更接近常规，使学生看得懂，不会有心理上的恐惧。如今年的几条大题与去年，去年与前年比较，变化明显。事实上，与其他省、市卷比，江苏卷在这方面一直做得比较好；八是压轴题的独特风格具有延续性：数列、函数题的载体基础，不别出心裁。其他省市卷中的数列与不等式、函数与不等式在江苏不受青睐。导数考查层次比较基础，与其他省市的导数题的压轴风格及其与方程、不等式等的结构套路形成鲜明对照；九是江苏新课程卷特别注重对应用问题的考查，这两年都在区别度最高的位置设计了较为新颖的应用性问题；十要注意风格也有多样性，即稳定之中有变化（不可能始终位于平衡位置）。也即有时是个别题把关（也有层次），有时是多题把关（每题有一个问题难，且难得适当）。从各方反映看，后一种风格更为大家接受；十一是《考试说明》得到了充分尊重。内容不出界：韦达定理、三垂线定理、立体几何、解析几何等敏感内容，中规中矩。文理分得清：文理要求的层次性、文理内容的公平性。传统内容、新增内容层次分明：新增内容全面覆盖，传统内容重在区分；十二是可能出现个别有争议的“超纲”嫌疑的问题，不过可能因为出现在本来就较难的题中，并没有引起大的争议。如07年的第21（3）中需要解无理不等式，09年的前n-1个正整数的平方和问题，等等。个人的看法：到了压轴题，可能就不一定很“讲理”了，可以理解！二、高考数学命题思路分析1．源于教材的原则自自主命题以来，江苏卷在“源于教材”方面进行了很有成效的尝试，对高中数学教学起到了较好的导向作用。从下面的内容我们可以看到，江苏卷对教材中例题、练习与习题的改编也有一个从探索到成熟的发展过程。（1）直接改编即将教材中的问题进行较小的变化，如数据的改变、图形的添加等。这些题大多是基础题，主要考查学生对基础知识或基本方法的掌握的情况。范例1(2008年江苏卷第2题)若将一颗质地均匀的骰子（一种各面上分别标有1，2，3，4，5，6个点的正方体玩具）先后抛掷两次，则出现向上点数之和为4的概率是．教材（指苏教版课程标准高中数学实验教材，如无特别说明，以下同）必修3P95例3：将一颗质地均匀的骰子先后抛掷2次，观察向上的点数，问：（1）共有多少种不同的结果？（2）两数之和是3的倍数的结果有多少种？（3）两数之和是3的倍数的概率是多少？高考题就是将教材中的例题的数据改了一下，在和的大小上增加了1，而在结果的情形上降了格。范例2(2008年江苏卷第15题)如图，在平面直角坐标系xOy中，以Ox轴为始边作两个锐角，，它们的终边分别与单位圆交于A、B两点。已知A、B两点的横坐标分别为BA、BA（Ⅰ）求tan(+)的值；（Ⅱ）求+2的值。教材必修4P103习题3.1（3）第2（1）题：已知tanx=，tany＝－3，求tan(x-y)的值。教材必修4P108练习3：C1CAA1B1DFEB已知tanC1CAA1B1DFEB本题只是将原题条件还原为定义，其它基本未变。范例3(2009年江苏卷第16题)如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，E、F分别是A1B，A1C的中点，点D在B1C1上，A1D⊥B1C.求证（1）EF∥平面ABC；BC1CAA1B1DEBC1CAA1B1DE教材必修2P62第17题：如图，在正三棱柱ABC－A1B1C1中，点D在边BC上，AD⊥C1D。（1）求证：AD⊥平面BB1C1C.（2）如果点E为B1C1的中点，求证：A1E∥平面ADC1.两题从图形到思路都是相似的，属直接改编。（2）大跨度改编即教材题的背景深藏于新问题之中，从表象上已基本看不出教材中题目的形式或特征了。范例4(2006年江苏卷第9题)两个相同的四棱锥组成如图所示的几何体，可放入棱长为1的正方体内，使正四棱锥的底面ABCD与正方体的某一面平行，且各顶点均在正方体的面上，则这样的几何体的体积的可能值有ADADBCC3个D无穷多个人教版全日制普通高级中学教科书《数学》第三册x（选修I2004年版）P46习题2.5第4题：如图，已知x一个正方形内接于边长为a的正方形中，问x取什么值时，内接正方形面积最小？该题经历了以下的改编过程：课本题课本题求内接正四棱锥体积的最小值先提出的题目：求内接八面体体积的最小值后注意到内接八面体体积的从最小逐步连续增大的过程，提出了最后的高考题。本题的编制过程经历了从平面向空间、从简单图形向复杂图形的演化过程，并借助体积取值的连续性，提出了一个计数问题。应该说，这样的改编是本质的改编、创造性的改编，对教师研究教材提出了非常高的要求：不仅是在数、量、形上的不同维度的类比与复杂化，而且在高观点的数学观念上要有认识、有升华。（3）组合嫁接即将几个题目进行组合、嫁接，这是一种复合型编题法。解决这类问题的方法就是“还原”，即编题技术的逆向运行：分解。范例5(江苏卷2008第13题)满足条件AB=2,AC=eq\r(2)BC的ΔABC的面积的最大值是。教材必修2P100习题2.2（1）第10题：已知点M（x，y）与两个定点O（0，0），A（3，0）的距离之比为eq\f(1,2)，那么点M的坐标应满足什么关系？画出满足条件的点M所形成的曲线。教材必修5P24复习题第7题：如图，已知∠A为定角，AQPP、Q分别在∠A的两边上，PQ为定长，当P、AQP位置时，ΔAPQ的面积最大？前一题的一般规律即为著名的“阿波罗尼圆”，即到两个定点距离之比为不等于1的正常数的点的轨迹是圆。如果将前一题中的A、B分别视为第二题中的P、Q，则第一题中的C即对应第二题中的A，也即在第一题中，点C对线段AB张定角（由AB确定，C轨迹是一个圆可知），且AB定长。综上，该高考题即为课本上这两个题组合或嫁接而成的。范例6.(2009年江苏卷第18题)在平面直角坐标系xOy中，已知圆C1：（x+3）2+(y-1)2=4和圆C2：（x-4）2+(y-5)2=4.（1）若直线l过点A（4，0），且被圆C1截得的弦长为2eq\r(3)，求直线l的方程；（2）设P为平面上的点，满足：存在过点P的无穷多对互相垂直的直线l1和l2，它们分别与圆C1和圆C2相交，且直线l1被圆C1截得的弦长与直线l2被圆C2截得的弦长相等，试求所有满足条件的点P的坐标。教材必修2P103例3：求直线x-eq\r(3)y+2eq\r(3)=0被圆x2+y2=4截得的弦长。教材必修3P10练习3：写出解方程ax+b=0(a，b为常数)的一个算法，并画出流程图。高考题第（1）、（2）题均需求直线被圆截的弦长，这与教材必修2上的这道例题的方法是一致的；而第（2）题中，如果设点P（a，b），直线l1的斜率为k，则由弦长相等最后可化为关于k的方程(a+b-2)k=b-a+3或(a-b+8)k=a+b-5。这两个方程中至少要有一个有无数多组解，也即教材必修3上的方程ax+b=0求解算法中的一个选择分支：a=0且b=0时，也即方程有无数多个解的条件：一次项系数等于0且常数项等于0。（4）运用方法、思想也即将教材中的方法、思想作为改编的背景材料或思维起点，这种方法编制出的问题通常有着更加高的测试效果：共同的教材，不同的理解深度，就将教师的水平、学生的能力充分地区别开了。范例7（2008江苏卷第18题）在平面直角坐标系xOy中，二次函数f(x)=x2+2x+b(x∈R)与两坐标轴有三个交点。记过三个交点的圆为圆C（1）求实数b的取值范围；（2）求圆C的方程；（3）圆C是否经过定点？证明你的结论。教材必修２Ｐ115复习题第19题：求证：无论k取任何实数，直线(1+4k)x-(2-3k)y+(2-14k)=0必经过一个定点，并求出这个定点的坐标．教学时就应该将解决这个问题的基本思想方法与思维策略加以充分的挖掘：思路一：k变化，方程对应的曲线也就跟着变，但无论怎样变，都经过一个定点，因而，这个点就一定是这些变化着的曲线的交点，于是思路自然就产生了：取其中两个特殊的k所对应的两条曲线，求出它们的交点，再检验对一般情况都成立。思路二：k在变化，曲线跟着变化，而经过定点这个性质不变，也即这个性质不随着k的变化而变化，故其与k无关，故而只要对k集项，并令k的系数为0即可确定定点了。范例8（2008年江苏卷第23题）：请先阅读：在等式cos2x=2cos2x-1(x∈R)的两边对x求导：（cos2x）=（2cos2x-1），由求导法则得：(-sin2x)2=4cosx(-sinx)，化简得等式：sin2x=2sinxcosx。（1）利用上题的想法（或其他方法），试由等式(1+x)n=Ceq\o(\s\up1(0),n)+Ceq\o(\s\up1(1),n)x+Ceq\o(\s\up1(2),n)x2+…+Ceq\o(\s\up1(n),n)xn（x∈R,整数n≥2）,证明：n[(1+x)n-1-1]=eq\o(∑,\s\up6(n),\s\do7(k=2))kCeq\o(\s\up1(k),n)xk-1。（2）对于正整数n≥3，求证：（ⅰ）eq\o(∑,\s\up6(n),\s\do7(k=1))(-1)kkCeq\o(\s\up1(k),n)=0；（ⅱ）eq\o(∑,\s\up6(n),\s\do7(k=1))(-1)kk2Ceq\o(\s\up1(k),n)=0；（ⅲ）eq\o(∑,\s\up6(n),\s\do7(k=0))eq\f(1,k+1)Ceq\o(\s\up1(k),n)=eq\f(2n+1-1,n+1)。教材选修2－2P25练习3：已知，，求证：。教学中处理这个问题时，通常只注意到突出转化思想：，但没有注意到，如果只是为了说明转化思想，本不必要将诱导公式特别给出（这也正是部分教师感到困惑的地方），给出这个诱导公式就是要突出由取导数导出新等式的数学方法，从一个方面说明导数的价值。而第（3）（ⅲ）题则是对学生学习能力的进一步、高层次的考查：从表达式的结构上看，分母k+1与组合数的上标的关系应该想到“求积分”的思路，而且就题目的整体结构看、从学习的类化能力看，既然等式两边求导数可以构造出新的等式，那么，在等式两边求积分也一定能得到新的等式。因此，这个问题充分反映了教材中蕴含的思想、方法是值得深入挖掘的。我一向认为：教师对教材认识的高度决定学生的思维深度。范例9（2008年江苏卷第19题）：（Ⅰ）设a1，a2，…，an是各项均不为零的n（n≥4）项等差数列，且公差d≠0。若将此数列删去某一项后得到的数列（按原来的顺序）是等比数列。（I）（1）当n=4时，求的值；（2）求n的所有可能值；（Ⅱ）求证：对于给定的正整数n(n≥4),存在一个各项及公差均不为零的等差数列b1，b2,…，bn，其中任意三项（按原来顺序）都不能组成等比数列。本题（Ⅰ）所使用的是一个简单的事实：既成等差又成等比的三个数相等，这是研究等差数列和等比数列及其关系时的很容易想到的基本事实。这说明，数学教学应该抓住最基本问题挖掘最本质的知识、方法和思想。题（Ⅱ）需要由反面思考：如果有三项成等比数列（由此可得到一个等式），那么就会出现矛盾的结论（即那个等式不可能成立）。不仅这个反证的思想源于教材，而且产生矛盾的形式也在教材之中。教材2-2P84习题22第6题：证明：1，，3不可能是同一个等差数列中的三项。证明方法就是用反证法，构造一个一边为无理数，一边为有理数的等式。现在反思我们的教学，如果只是将反证法的思路讲一下，这个题的教学功能就没有能够充分发挥。我认为，如果教学中对本题多问几个深究性的问题，学生对其本质就会充分理解了（是不是任取三个实数，它们都不能成为同一个等差数列中的项？是不是有了无理数就不能成为同一个等差数列中的项？怎样的三个数不能成为同一个等差数列中的项？）。2．以“数学思想”与“思维策略”测试“数学素养”的原则“思想”（也就是“立意”）是命题者追求命题的创新性、能力考查力度的主要手段。事实证明，一种新的观念往往有着很好的测试功能，如1990年第一次出现不等式恒成立问题几乎考倒了所有江苏考生，而1988年第一次出现双二次曲线交点问题也几乎是全军覆没。真正的新观点，肯定是有难度的，真正体现思维素养的。不过，这类题通常的测试功能很低，基本是无效题。问题是：对一些并不很新的“思想”，就体现出数学基本功了，而且是可以有作为的。那么，究竟什么是命题的新思想呢：（1）合情推理，探究发现的思维策略范例10（2007年江苏卷第20(3)题）已知{an}是等差数列，{bn}是公比为q的等比数列，a1=b1,a1=b2≠a1。（3）是否存在这样的正数q，使等比数列{bn}中有三项成等差数列？若存在，写出一个q的值，并加以证明；若不存在，请说明理由。思路：（3）若第m,n,k项成等差数列,则2bn=bm+bk，也即：2b1qn-1=b1qm-1+b1qk-1，即：2qn-1=qm-1+qk-1，也即qm-k-2qn-k+1=0。取m-k=3,n-k=1。为什么要取m-k=3,n-k=1？思维过程应该是：方程qm-k-2qn-k+1=0含有4个变量，直接求解是不可能的，所以只能将其“特殊化”：如果m-k与n-k相等，用整体观点看就是一个一次方程了，但不可能；如果m-k是n-k的2倍也很好，这时本质就是一个二次方程了，但解得q=1，也不成立；那么只能考虑m-k是n-k的3倍，更特别地，令m-k=3，n-k=1，则得到一个3次方程。可以看出肯定有一个解为q=1（舍去），约去因式q-1后即得到一个一元二次方程，问题就不难解决了。（2）重要数学思想范例11（2007年江苏卷第21题）已知a,b,c,d是不全为零的实数，函数f(x)=bx2+cx+d，g(x)=ax3+bx2+cx+d。方程f(x)=0有实根，且f(x)=0的实数根都是g(f(x))=0的根，反之，g(f(x))=0的实数根都是f(x)=0的根。（Ⅰ）求d的值；（Ⅱ）若a=0，求c的取值范围；（Ⅲ）若a=1，f(1)=0，求c的取值范围。本题实际上是始终围绕“集合思想”进行设计的：“方程f(x)=0有实根，且f(x)=0的实数根都是g(f(x))=0的根，反之，g(f(x))=0的实数根都是f(x)=0的根”即指方程f(x)=0与g(f(x))=0的解集相同；而在题（Ⅱ）的条件下，f(x)=0即x(bx+c)=0，g(f(x))=0即x(bx+c)(b2x2+bcx+c)=0，由两个方程解集相同可知方程b2x2+bcx+c=0的解集为方程x(bx+c)=0的解集的子集；同样，在题（Ⅲ）的条件下，方程f2(x)-cf(x)+c=0的解集是方程f(x)=0的解集的子集。有了“集合思想”认识和分析问题，则只要对一个集合的子集进行准确分类，基本思路就明确了。（3）将表示式进行复合与叠加表示式的形式可以增加抽象程度和复杂程度，影响学生对问题本质的认识。我曾经将2008年江苏卷第20题进行了形式的“简化”但不改变其实质，让一个高一年级数学成绩中等偏上一点的学生做，在20分钟内，该学生给出了基本正确的解答。下面就是该考题与我改编后的题目：范例12（2008年江苏卷第20题）已知函数f1(x)=QUOTE3|x-p1|，f2(x)=2•QUOTE3|x-p2|(x∈R，p1,p2为常数)。函数f(f1(x)，若f1(x)≤f2(x),f(x)=f2(x)，若f1(x)>f2(x).（Ⅰ）求f(x)=f1(x)对所有实数x成立的充分必要条件（用p1,p2表示）；（Ⅱ）设a,b是两个实数，满足a<b，且p1,p2∈(a,b)。若f(a)=f(b)，求证：函数f(x)在区间[a,b]上的单调增区间的长度之和为eq\f(b-a,2).（闭区间[m,n]的长度定义为n-m）改编题：设f1(x)=|x-p|，f2（x）=|x-q|+2(p,q为常数)。函数f(x)定义为：对任意给定的实数x，f1(x)，若f1(x)≤f2(x),f(x)=f2(x)，若f1(x)>f2(x).（Ⅰ）求f(x)=f1(x)对所有实数x成立的充分必要条件（用p,q表示）；（Ⅱ）设a,b是两个实数，满足a<b，且p,q∈(a,b)。若f(a)=f(b)，求证：函数f(x)在区间[a,b]上的单调增区间的长度之和为eq\f(b-a,2).（闭区间[m,n]的长度定义为n-m）事实上，只要对高考题进行“取对数”的变换，就可以很容易地将其转化成我的改编题。换个角度，即使想不到这种变换法，从研究函数性质的最常用方法、最基本思路——图象分析法的角度也是不难处理的。这种数形结合的思想正是教材中引入函数的单调性时所采用的方法，也是教材中研究单调区间时所用的方法，更是从初中到高中，研究函数性质时最常用的方法。可惜的是，我们给学生补充了那么多的确定单调区间的技巧，恰恰忘记了最重要、最有效、最基本的方法。（4）数学化的基本能力范例13（2009年江苏卷第19题）按照某学者的理论，假设一个人生产某产品单件成本为a元，如果他卖出该产品的单价为m元，则他的满意度为eq\f(m,m+a)；如果他买进该产品的单价为n元，则他的满意度为eq\f(a,n+a)。如果一个人对两种交易（卖出或买进）的满意度分别为h1和h2，则他对这两种交易的综合满意度为eq\r(h1h2)。现假设甲生产A，B两种产品的单件成本分别为12元和5元，乙生产A，B两种产品的单件成本分别为3元和20元。设产品A、B的单价分别为mA元和mB元，甲买进A与卖出B的综合满意度为h甲，乙卖出A和买进B的综合满意度为h乙。（1）求h甲和h乙关于mA，mB的表达式；当mA=eq\f(3,5)mB时，求证：h甲=h乙；（2）设mA=eq\f(3,5)mB，当mA，mB分别为多少时，甲、乙两人的综合满意度均最大？最大综合满意度是多少？（3）记（2）中最大的综合满意度为h0，试问能否适当地选取mA，mB的值，使得h甲≥h0和h乙≥h0同时成立，但等号不同时成立？试说明理由。本题阅读量大，对学生的心理承受力是一种考验。其实只要认真审题，逐句翻译，（1）、（2）两小题并不困难。这次的课程改革，尤其是数学学科特别重视建模能力的培养，数学建模其实就是“数学表示”，而数学化是数学研究的起点，也是数学抽象思维的重要特征，有时还可能是新的数学思想的源泉，如欧拉对“七桥问题”问题的研究就是非常典型的数学抽象，将现实中的对象抽象为数学对象、现实中的对象之间的关系表示为数学关系，其思想方法导致图论、拓扑学等数学分支的产生。因此，从思维价值上看，数学化应该是一种重要的思想，当然应该为高考命题所重视。（5）初等数学中一些特殊技巧尽管我们始终强调通性通法，而且我认为这种提法是绝对正确的，但高考毕竟是选拔性考试，一定的区分度是必须保证的，于是，不可避免地会出现少量的具有特殊性技巧的问题。而对于这类问题，其实有不少在一些常见题中是出现过的，只是强化训练不够而已。这从另一方面说明了学生过份依赖强化训练是有负面作用的：训练得少的，印象不够深就会遗忘，从而重点与非重点不分，本质与非本质无别，主干与枝叶混淆。上面的范例13（3）最后就是问使得h甲=eq\r(\f(12,x+12)\f(y,y+5))≥eq\f(2,3)且h乙=eq\r(\f(x,x+3)\f(20,y+20))≥eq\f(2,3)同时成立，且h甲与h乙不能同时取eq\f(2,3)。象这样的问题的处理方法，我们在一些运用反证法处理不等式证明问题时是遇到过的，如：求证：当0<a，b，c<1时，三个数(1-a)b，(1-b)c，(1-c)a不能同时大于eq\f(1,4)。运用三个数相乘，然后将含相同变量的因式结合，再运用基本不等式可以发现：(1-a)b·(1-b)c·(1-c)a≤eq\f(1,64)，因而三个因式不可能均大于eq\f(1,4)。这里所运用的是将三数相乘，在适当组合后出现“和”为定值的结构，于是可以用基本不等式求出其上界，再用上界进行范围的制约。而范例13（3）要的就是h甲与h乙的“界”，而“积”后也会出现“定值”的结构：h甲h乙=eq\r(\f(12,x+12)\f(y,y+5)\f(x,x+3)\f(20,y+20))=eq\r(\f(12,x+\f(36,x)+15)\f(20,y+\f(100,y)+25))≤eq\f(4,9)，所以，当h甲≥eq\f(2,3)，h乙≥eq\f(2,3)时，有h甲=h乙=eq\f(2,3)。因此，不能取到mA，mB的值，使得h甲≥h0和h乙≥h0同时成立，但等号不同时成立。（6）特殊问题一般化有时在常规题、熟悉题上只要作一点小的改变，问题的难度就会大大提升。比如：求函数在闭区间上的最大值、最小值是常见题，应该是难度不大的，但在增加了字母参数后难度就会变大；如果再将闭区间改为开区间，则难度就更大了。范例14是否存在实数a，使得函数f(x)=x3-3ax在（-1，2）上的值域为［m,n］？若存在，求出实数a的取值范围；若不存在，请说明理由。因为在开区间上的值域是闭区间，说明在区间内部存在极大值与极小值，同时极大值不小于区间端点的函数值，极小值不大于区间端点的函数值。（7）类比构造如将一种曲线上的问题移植到另一种曲线上，将等差数列的问题类比到等比数列上等等。如北京市高考数学命题就曾经将圆上的“蝴蝶定理”放到椭圆中进行研究。再如,在等差数列中有前n和最大值问题（高考曾经考过），我们也可以类比到等比数列中，而且可以通过公比的符号增加问题的难度：范例15等比数列{an}的首项为50，公比为-eq\f(1,2)，求其前n项积的最大值。处理该问题，可以类比于等差数列前n项和最大值问题中的考察最后一个正项在哪里的思路，先研究各项绝对值中最后一个大于1的是哪个数，再考察其附近的项的符号就可以加以解决。本例说明：解决一个问题要掌握一种方法、一种思想，就题论题是不可能提高解题能力的。就如波利亚所说，特殊技巧用到第二次时就是一种方法了，问题是我们教学能否使学生达到如此境界。（8）逆向提出问题这种问题看似熟悉，有时却很难，或者让你在不经意中出现失误。范例16（2006年北京卷第5题）已知函数（a>0，a≠1)为R上的减函数，则实数a的取值范围是A（0，1）B（0，eq\f(1,3)）C[eq\f(1,7)，eq\f(1,3)）D[eq\f(1,7)，1)分段函数学生还是熟悉的，研究分段函数的单调性也不困难。现在将问题“倒”过来问：已知分段函数的单调性，确定其条件，学生并没有感到难，但错误率却惊人的高：只是分别确定了两段上均单调递减的条件，而没有从整体上明确能否保证在（-，+）上始终单调下降。（9）以具有特殊性质的函数（数列）为载体运用具有特殊性质（如有界性、单调性、凹凸性等）的函数、数列等数学对象作为载体构造相关的问题也是高考命题的常用技法。尤其是一些与函数有关的不等式问题、数列迭代问题，基本都是用函数的特殊性质（可以从函数图象上明显看出）。更难一些的，还要根据问题特点、数式结构、目标形式由考生自己构造函数解决问题。范例17（2009年辽宁卷第21题）已知函数f(x)=eq\f(1,2)x2–ax+(a-1)lnx，a>1。（1）讨论函数f(x)的单调性；（2）证明：若a<5，则对任意x1，x2∈（0，+），x1≠x2，有eq\f(f(x1)-f(x2),x1-x2)>-1。本题第（2）题就是根据函数g(x)=f(x)+x=eq\f(1,2)x2-ax+(a-1)lnx+x在1<a<5时在（0，+）上单调增加，得到当x1>x2>0时，g(x1)-g(x2)>0进而证得结果；同理，0<x1<x2时也成立。这里，解题的难度在于根据eq\f(f(x1)-f(x2),x1-x2)>-1的目标形式进行构造。这对于出题者很容易想到：只要研究一下f(x)在（0，+）上的导数值的范围就可以了。作为高校教师，这种题目是最容易出的，但也有明显缺陷：当中学教师知道了其风格后，就可以有对付的办法了。这样做，对加重题海战术的灾难可能起推波助澜的作用，这可能也是江苏命题专家们尽力避免出这类题的深层考虑吧？（10）表示形式复杂化就是通过函数复合的方式提高问题的抽象程度，增加难度，提高区分度。从这些年的江苏卷看，命题专家通常喜欢用无理函数、绝对值函数与二次函数、三次函数等进行复合或部分替代，构成综合性问题。而这种设计新题的方法有时恰能出现非常新颖的立意。范例18（(2005年江苏卷第22题)已知aÎR，求函数f(x)=x2|x-a|在区间[1，2]上的最小值。本题其实就是将三次函数y=x3中的一个因子x用|x-a|代替，从而增加了一个参数，形成了分类讨论的思维形态。该题的创新之处就在于若直接对绝对值进行讨论，化成分段函数进行研究，则很繁，难以承受，能够坚持到最后的学生几乎没有。而从整体思考，先进行整体认识则可明显降低分类情形和运算难度：显然，如果没有定义域的限制，则x2与|x-a|的最小值都是0，故函数的最小值必然是0。现在的问题是在定义域的限制下，x2是取不到0的，而|x-a|可能取到0，只需a[1，2]即可。于是，对a进行分类的思路自然出现了：当a[1，2]时，函数的最小值为0；当a<1和a>2时，f(x)的表达式唯一确定，不需对解析式进行讨论了。这种构造题目的方法在江苏卷中频繁出现：如2006年第21题、2009年第20题等。事实上，“新思想”并不神秘，还在于我们思考得是否深入、研究得是否到位。有些所谓的“新思想”其实并不新，如2009年江苏卷第17题的“整除”问题、第18题的ax=b有无数多个解的问题、2008年第19题的无理、有理分析法（相应于还有奇偶分析法）等等。另外，全国卷与有些省的卷子中常用的新定义一种数学对象、结构、运算等，再提出相关问题的题型、将平面轨迹问题向空间拓展的题型在江苏卷中还未出现过，这一现象的深层原因值得思考。我个人的观点是：尽可能在学生学习过的内容范围内命题，不在所谓的“创新”题上进行开拓，对控制题海的范围，减轻学生负担是有好处的（教师最痛苦的就是每年高考、各地模拟考试都在扩充题海，实在是“题海无涯”）。因此，我认为江苏的这种做法值得肯定。3．渗透新课程理念的原则从2007年高考开始江苏就对新课程背景下的高考数学命题进行了探索，在2008年、2009年的江苏卷中都充分体现了新课程的理念，主要表现为对学生的数学探索能力、应用意识与数学建模能力、数学学习能力等的有效考查上。如2007年第20题（见前）就对学生的合情推理能力、探索发现能力进行了相当深度的测试，2008年、2009年在此方面所占份量也相当大，这在全国进入新课程的省市的试卷中是绝无仅有的。如2008年第9题、第10题，2009年第8题等。而对逻辑探索、逻辑分析能力的考查是江苏卷最为重视的，也是最值得重视的。如江苏卷2008年第18题、第19题、第20题，2009年第17题、第18题、第23题等。江苏卷对学习能力的考查也是很成功的。如2008年第23题（见前），先阅读材料，介绍一种数学方法，再解决问题，并且四个小问题逐题上升：从简单模仿，到综合运用，到思想提升（思想方法的运用，也即创造性地运用）。当然，应用意识也是江苏卷考查重点，这两年都出现了应用大题：2008年第17题、2009年第19题，而且都是具有高区分度的题，这是一个值得注意的趋势。4．新增内容的逐步适应的原则江苏命题充分吸取2003年高考新增内容较多，且要求较高，导致学生不能适应，均分过低的现象的教训，这两年对新增内容的考查是适度的。与其他省市相比，可以说是新增内容考查的面最小、要求最低的。如其他省市对三示图、二分法，导数与积分，甚至统计案例都考了，而且前三部分内容几乎每年必考，有些要求还相当高，但江苏卷除导数有些基本的要求处，其他都没有考。注意到2010年的高考已是新课程的第三次高考了，教师与学生对新增内容应该基本适应，在有些内容，如导数（实际上已增加多年了）适当提高要求并非不可能。但由于江苏省《教学要求》在教学定位上的限制，在算法、几何概型、三示图、二分等方面的要求不会高，而根据江苏卷的结构，有些内容（如统计案例、积分等）几乎不会考。三、《考试说明》对命题的影响《考试说明》对考试内容及其要求的层级作了明确的规定，层级分A、B、C三等，并逐级提升。那么，层级要求对命题会有怎样的影响呢？越是层级高的知识点，考查的概率越大。例如，2008年对《考试说明》中的八个C级知识点，2009年的七个C级知识点，在当年的江苏卷中都全部进行了考查。C级知识点是命题者重点思考的、体现较高能力要求之所在。如2008年江苏卷中解答题部分没有出现“基本不等式”，于是就在填空题问题设计了一个能够反映学生相关能力的问题（第11题），2009年则在第19题中考查了基本不等式，且要求较高。综合题难度大的原因并不一定在于知识要求为C级，就在该知识点上加大难度，而在综合性与思维层面。如两个B级知识点的综合就可能成为有较大难度的问题，如2009年第20题是函数部分的问题，而2009年度的《考试说明》中函数部分已没有C级要求的内容了，，但因其与不等式相综合、运用分类讨论的思维方法、含参数等综合因素相作用，其难度仍然很大（是解答题中得分最低的）。高层级的知识点不一定都按高层级考，如C级知识点也可考A级要求。也就是说，如果定B级，则考试要求不超过B级，但不一定就是B级。另外，同级知识点，函数、不等式、数列、解析几何部分的可能要比其他部分在考试频度、要求的真实难度上要高一些。四、对高中数学复习教学的建议对高中数学复习大家都有着较丰富的经验和很有效的做法，我就不全面、系统地讲了，下面对我认为比较重要的几个问题谈谈个人的看法。1．讲题要突出数学本质与一般规律不能因追求简捷、优美的“好”方法而失去一般性，否则会产生负作用。范例19（人教版全日制高中数学教材的《数列》）已知数列{an}、{bn}均为等差数列，它们的前n项的和分别为Sn、Tn，且eq\f(Sn,Tn)=\f(2n+1,5n-1)，求eq\f(a9,b9)。老师通常介绍的方法是：将eq\f(Sn,Tn)中的n用17代替即可得到eq\f(a9,b9)。后来有人将问题中所求的式子改为eq\f(a9,a7)，很多学生就缩手无策了。我对一些学生进行了跟踪了解，原来他们一直在想着如何选择合适的n对条件式进行代入处理，从而走进了死胡同。事实上，上述方法并不是这类问题的最本质的方法，不是通法。思路1：根据等差数列前n项和的公式的结构形式（这是思考问题、抓住问题本质的一个视角：结构特征），可以知道可设Sn=k(2n+1)n，Tn=k(5n-1)n，k为非零常数，则a9=S9-S8==35k，,b7=64k，故eq\f(a9,b7)=eq\f(35,64)。思路2：我们知道，一个等差数列完全由其首项与公差而确定，故而，其性质必定反映到首项与公差之间的关系上。为此，我们运用从特例开始的探索方法（或用基本量表示出等式eq\f(Sn,Tn)=\f(2n+1,5n-1)，由恒等的条件，过程略），确定等差数列{an}与｛bn｝的首项与公差的关系。即在条件式eq\f(Sn,Tn)=\f(2n+1,5n-1)中分别令n取1，2，3等可以得到等差数列｛an｝的首项a1、公差d与等差数列｛bn｝的首项b1与公关d‘之间的关系：a1=eq\f(3,4)d，b1=d，d’=eq\f(5,2)d，于是，eq\f(a9,b7)=eq\f(a1+8d,b1+6d')=eq\f(\f(3,4)d+8d,d+15d)=eq\f(35,64)。上文中介绍的2006年北京卷第5题所反映出的问题也是这样，只讲单调性判定、证明的各种操作步骤、特殊技巧，忽略了对其概念本质的内涵的认识，讲再多的方法、做再多的题目，只要一出现没见过的问题就缩手无策，或出了错还没有知觉。PABCDMN范例20（必修2P38第11题）如图，在四棱锥P－ABCD中，M、N分别是AB、PC的中点，若ABCDPABCDMN这是去年我在江苏省海安中学听一位老师在高三复习课“空间平行关系”一课上所讲的第一道例题。问题提出后，学生们很快提出了两种思路：思路一：连结A与PD中点，证明MN与连线平行；思路二：证明M、N及PB中点所在平面平行于平面PAD。这位老师分析了学生的思路并说明两种方法：将线线平行问题转化为线面平行；将线线平行问题转化为面面平行。再提出问题：如果还是用第一种思路，但不用上面的那条线，也就是在平面PAD内再找一条线与MN平行，怎么办？问题提出后，学生们思考了六分钟之久，才有人陆续地想到直线的作法，如有学生提出：连结CM并延长交DA的延长线于E，连结PE，则可以证明PE与MN平行。老师要求学生说明：你是怎么想到这条辅助线的？最后“逼”着学生把握到最本质的“作线”的操作技能：找一个过MN的平面与平面PAD相交得到交线。为什么这位老师一定要让学生找到后一种类型的辅助线而不满足于已有的、最容易想到的“中点连线”呢？我认为，从思维的深度上看，中点连线的思路更多的是直觉的，非理性的，能够作这种辅助线的学生对确定面内的满足条件的线的最本质的方法：“线是面与面相交得到的”不一定有所认识，这从后来的较长时间的等待足以看出。一旦问题中缺少了诸如中点之类的明显的提示性语言的“启发”，就可能无从下手。只有明确了这种线是由“面面相交”（包括取中点时的线）得到，才能真正掌握解决这类问题的基本方法。2．解题教学要引导学生进行广泛联想对信息的处理，尤其是相关联想能力是解题能力的重要方面，因此，在解题教学中要注重引导学生对题目提供的各种信息进行有效联想。这里的联想包括与条件有关的知识、方法、已经见识过的问题有哪些？与目标有关的知识、方法、已经解决过的问题有哪些？由条件能得到哪些推论？要达到目标需要哪些要求？条件与目标之间有怎样的关系？条件或目标的等价形式是什么？（包括代数等价对象、几何等价对象以及其他形式的等价对象）…。南京师范大学葛军教授曾经提出过下面的问题：你看到“已知一元二次方程x2+bx+c=0的两个根是x1、x2”能想到哪些东西？他认为，应该想到（1）根与系数关系；（2）函数图像、顶点、对称轴分别用系数或根表示的式子；（3）方程根的判别式>0；（4）用求根公式表示系数与根的关系；（5）函数解析式的根的表示法x2+bx+c=(x-x1)(x-x2)；…。他以1997年高考压轴题“设二次函数f(x)=ax2+bx+c，方程f(x)-x=0的两个根分别为x1，x2，且满足0<x1<x2<eq\f(1,a)。（I）当xÎ(0,x1)时，证明：x<f(x)<x1；…”为例，说明了这种联想的重要作用：本题是一条几乎全军覆没的难题，如果注意到目标式的结构形式：0<f(x)-x<x1-x，应该联系到了函数表达式的根的表示形式：设f(x)-x=a(x-x1)(x-x2)，故即要证：0<a(x-x1)(x-x2)<x1-x。约去x1-x即得到一个显然成立的不等式：0<x2-x<eq\f(1,a)。3．要有对已经解决了的问题进行引申、拓展的习惯范例21对于所有满足1≤x≤2的实数x，不等式|ax+2|≥|x-4|恒成立，求实数a的取值范围。方法一：因为不等式|ax+2|≥|x－4|等价于(ax+2)2≥(x－4)2，所以，只要求不等式（a2-1）x2+(4a+8)x-12≥0在xÎ当a2-1=0时，若a=1，则由12x-12≥0解得x≥1，可见，当xÎ[1，2]上不等式恒成立；若a=-1，由4x-12≥0，解得x≥3，故当xÎ[1，2]上不等式不成立。当a2-1>0时，二次函数f(x)=（a2-1）x2+(4a+8)x-12的对称轴为x=-eq\f(2a+4,a2-1)，因为不等式-eq\f(2a+4,a2-1)<1等价于-2a-4<a2-1，等价于a2+2a+3>0，不是恒成立的，所以，当x=1时f(x)