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待定系数法求解二阶常系数非齐次线性常微分方程摘要：在自然科学、工程技术中，许多实际问题可以归结为二阶常微分方程，因此求二阶常微分方程的解有着非常重要意义。本文介绍利用待定系数法法求解二阶常系数非齐次线性常微分方程。关键词：二阶常微分方程；待定系数法我们要求非齐次方程的通解，关键在于求出非齐次方程的一个特解，接下来以二阶常系数非齐次线性常微分方程为例，根据自由项的形式来讨论两种不同的求解方法。对于方程当时，方程写成其中为任意实数，方程(1-2)即为二阶常系数非齐次线性常微分方程。待定系数法1方法介绍当自由项具备下面两种特殊形式时，利用待定系数法求解特解较为简便。类型一:其中是多项式，为常数。设其中为常数。(1)若不是特征根方程有特解(2)若为特征方程的k重根方程有特解其中是待定常数，可通过比较系数来确定。类型二:其中为常数，为的次数不高于的多项式，但二者中至少有一个次数为。(1)若不是特征根，则方程有形如的特解，其中为次多项式。(2)若为k重特征根，则方程有形如的特解，其中为次多项式。2应用举例(1)为多项式的情形例：求下列方程的通解：。解：对应齐次方程的特征方程为，特征根为，。故齐次方程的通解为，其中为任意常数，再求非齐次方程的一个特解。，对应,而不是特征根，故特解形如，其中待定，代入原方程得=，比较系数得解得，所以特解为因此，原方程的通解为，其中为任意常数。(2)为多项式与指数函数的组合的情形例：求下列方程的通解：。解：对应齐次方程的特征方程为，特征根，故齐次方程通解为其中为任意常数。，对应不是特征根，故特解形如代入原方程，消去，比较系数得，因此原方程的通解为，其中为任意常数。(3)为三角函数与指数函数的组合的情形例：求下列方程的通解：。解：对应齐次方程的特征方程为，特征根为，。故齐次方程的通解为，其中为任意常数。，而不是特征根，故特解形如。代入原方程，比较系数得。因此原方程的通解为，其中为任意常数。参考文献[1]罗兆富,王林,王刚.微分方程[M].北京:科学出版社,2018.182[2]韩茂安,周盛凡,刑业朋,丁玮.常微分方程[M].北京:高等教育出版社,2018.104[3]韩茂安,周盛凡,刑业朋,丁玮.常微分方程[M].北京:高等教育出版社,2018.107-108[4]罗兆富,王林,王刚.微分方程[M].北京:科学出版社,2018.3-5.[5]李瑞遐.应用微分方程[M].上海:华东理工大学出版社,2005.33-41.[6]李必文,赵临龙,张明波.常微分方程[M].武汉:华中师范大学出版

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