浙江省北斗联盟2021-2022学年高二上学期中联考数学试题 含解析

2021学年第一学期北斗联盟期中联考高二年级数学学科试题选择题部分一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.直线的倾斜角为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】先求出斜率，即可求出倾斜角.【详解】设直线的倾斜角为，斜率为，，则.故选：B.2.已知复数是的共轭复数，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】先求出，利用复数除法法则进行计算.【详解】，则故选：A3.已知向量，分别是直线、的方向向量，若，则下列几组解中可能正确的是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由方向向量的数量积为0可得．【详解】由题意，即，代入各选项中的值计算，只有A满足．故选：A．4.已知点，点在直线上，则|MP|的最小值是（）A. B.1 C. D.【答案】C【解析】【分析】MP|的最小值即到直线的距离，代入即可求出答案.【详解】因为点在直线上，所以|MP|的最小值是点到直线的距离，即：.故选：C.5.如图，已知电路中4个开关闭合的概率都是，且是相互独立的，则灯亮的概率为A. B. C. D.【答案】D【解析】【详解】由题意，灯泡不亮包括四个开关都开，后下边的2个都开，上边的2个中有一个开，这三种情况是互斥的，每一种情况的事件都是相互独立的，所以灯泡不亮的概率为，所以灯泡亮的概率为，故选D．6.已知函数的零点分别为a，b，c，则a，b，c的大小顺序为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】首先可求出，再由得，由得，将其转化为、与的交点，数形结合即可判断.【详解】解：由得，，由得，由得.在同一平面直角坐标系中画出、、的图象，由图象知，，.故选：B【点睛】本题考查函数的零点，函数方程思想，对数函数、指数函数的图象的应用，属于中档题.7.如图，在棱长为2的正方体中，点分别是棱、的中点，则点到平面的距离等于（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】建立空间直角坐标系，找到平面的法向量，利用向量法求点到平面的距离求解即可.【详解】以为坐标原点，分别以，，的方向为轴、轴、轴的正方向建立空间直角坐标系，则，，，.

设平面的法向量为，则，即令，得.又，点到平面的距离，故选：.【点睛】本题用向量法求点到平面的距离，我们也可以用等体积法求点到平面的距离，当然也可以找到这个垂线段，然后放在直角三角形中去求.8.在如图所示的平行六面体中，已知，，，N为上一点，且，若，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】将作为基底，用基底把表示出来，再由，可得，从而可求出【详解】令，因为，所以，令，因为，所以，因为，所以，因为，所以，所以，所以因为，，所以，所以，解得，故选：D二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.9.有一组样本数据，，…，和一组样本数据，，…，，如果，，…，，其中为非零常数，则（）A.两组样本数据的样本平均数相同 B.两组样本数据的样本方差相同C.两组样本数据的样本中位数相同 D.两组样本数据的样本极差相同【答案】BD【解析】【分析】A、B利用两组数据的线性关系有、，即可判断正误；根据中位数、极差的定义，结合已知线性关系可判断C、D的正误.【详解】选项A中，且，故平均数不相同，错误；选项B中，，故方差相同，正确；选项C中，若第一组中位数为，则第二组的中位数为，显然不相同，错误；选项D中，由极差的定义知，若第一组的极差为，则第二组的极差为，故极差相同，正确；故选：BD.10.一箱产品有正品10件，次品2件，从中任取2件，有如下事件，其中互斥事件有（）A.“恰有1件次品”和“恰有2件次品” B.C.“至少有1件正品”和“至少有1件次品” D.“至少有1件次品”和“都是正品”【答案】AD【解析】【分析】判断各选项中的事件是否有同时发生的可能，即可确定答案.【详解】A：“恰有1件次品”和“恰有2件次品”不可能同时发生，为互斥事件；B：“都是次品”的基本事件中包含了“至少有1件次品”的事件，不是互斥事件；C：“至少有1件正品”的基本事件为{“有1件正品和1件次品”，“有2件正品”}，“至少有1件次品”的基本事件为{“有1件正品和1件次品”，“有2件次品”}，它们有共同的基本事件“有1件正品和1件次品”，不是互斥事件；D：由C分析知：“至少有1件次品”和“都是正品”不可能同时发生，为互斥事件；故选：AD11.已知函数，则下列说法正确的是（）A.函数的周期为 B.函数图象的一条对称轴为直线C.函数在上单调递增 D.函数的最小值为【答案】ABD【解析】【分析】对函数进行化简，转化为正弦型函数，进而利用性质判断出结果即可.【详解】解：函数.所以函数的周期为，故A选项正确；当时，，所以直线是函数图象的一条对称轴，故B选项正确；当，则，由正弦函数性质可知，此时单调递减，故C选项错误；由可知，当时，取得最小值为，故D选项正确.故选：ABD.12.在正三棱柱中，，点满足，其中，，则（）A.当时，的周长为定值B.当时，三棱锥的体积为定值C.当时，有且仅有一个点，使得D.当时，有且仅有一个点，使得平面【答案】BD【解析】【分析】对于A，由于等价向量关系，联系到一个三角形内，进而确定点的坐标；对于B，将点的运动轨迹考虑到一个三角形内，确定路线，进而考虑体积是否为定值；对于C，考虑借助向量的平移将点轨迹确定，进而考虑建立合适的直角坐标系来求解点的个数；对于D，考虑借助向量的平移将点轨迹确定，进而考虑建立合适的直角坐标系来求解点的个数．【详解】易知，点在矩形内部（含边界）．对于A，当时，，即此时线段，周长不是定值，故A错误；对于B，当时，，故此时点轨迹为线段，而，平面，则有到平面的距离为定值，所以其体积为定值，故B正确．对于C，当时，，取，中点分别为，，则，所以点轨迹为线段，不妨建系解决，建立空间直角坐标系如图，，，，则，，，所以或．故均满足，故C错误；对于D，当时，，取，中点为．，所以点轨迹为线段．设，因为，所以，，所以，此时与重合，故D正确．故选：BD．【点睛】本题主要考查向量的等价替换，关键之处在于所求点的坐标放在三角形内．

非选择题部分三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.某校采用分层抽样的方法从三个年级的学生中抽取一个容量为的样本进行关于线上教学实施情况的问卷调查，已知该校高一年级共有学生人，高三年级共有人.抽取的样本中高二年级有人，则该校高二学生总数是_________人.【答案】【解析】【分析】根据分层抽样的性质直接计算即可.【详解】由分层抽样可得高二年级学生数占总人数的，故高一与高三总人数占三个年级总人数的，故总人数为人，故高二年级总人数为，故答案为：.14.已知直线与直线垂直，且垂足为，则的值为______．【答案】【解析】【分析】根据，可求得a，将代入直线，即可求得c，再代入直线，即可求得b，从而可得答案.详解】解：由，可得，解得，直线的方程为．由题意，可知是两条直线的交点，将代入直线得．将代入直线，得，所以．故答案为：-9.15.设的对角线和交于为空间任意一点，如图所示，若，则_______．【答案】4【解析】【分析】根据向量线性加法运算，由为中点，可得，，即可得解.【详解】由为中点，可得，，所以，所以，故答案为：.16.如图，在三棱锥中，已知，，设，则的最小值为______.【答案】【解析】【详解】试题分析：设，，，∵，∴，又∵，∴，∴，∴，当且仅当时，等号成立，即的最小值是．考点：1．空间向量的数量积；2．不等式求最值．【思路点睛】向量的综合题常与角度与长度结合在一起考查，在解题时运用向量的运算，数量积的几何意义，同时，需注意挖掘题目中尤其是几何图形中的隐含条件，将问题简化，一般会与函数，不等式等几个知识点交汇，或利用向量的数量积解决其他数学问题是今后考试命题的趋势．四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知直线和的交点为P．（1）若直线l经过点P且与直线平行，求直线l的方程；（2）若直线m经过点P且与x轴，y轴分别交于A，B两点，为线段的中点，求△OAB的面积．（其中O为坐标原点）．【答案】（1）4x－3y－3＝0（2）30【解析】【分析】（1）联立直线方程，求出交点坐标，根据直线平行，明确斜率，由点斜式方程可得答案；（2）由点斜式方程，设出直线方程，求得两点的坐标，根据中点坐标公式，求得斜率，根据三角形面积公式，可得答案.【小问1详解】由，求得，可得直线和的交点为P（－3，－5）．由于直线的斜率为，故过点P且与直线平行的直线l的方程为，即4x－3y－3＝0．【小问2详解】由题知：设直线m的斜率为k，则直线m的方程为，故，，且，且，求得，故、．故△OAB的面积为．18.20名学生某次数学考试成绩(单位：分)的频率分布直方图如图.（1）求频率分布直方图中的值；（2）根据频率分布直方图估计20名学生数学考试成绩的众数，中位数；（3）已知成绩在内的男生数与女生数的比例为，若在成绩为内的人中随机抽取2人进行座谈，求恰有1名男生和1名女生的概率.【答案】（1）（2）众位数为，中位数为（3）【解析】【分析】（1）根据所有矩形的面积之和即频率之和为1，求得答案；（2）根据频率分布直方图，结合众数和中位数的计算方法，求得答案；（3）’根据男女生比例确定男女生人数，算出8人选2人的总选法数和恰有1名男生1名女生的选法，根据古典概型的概率公式求得答案.【小问1详解】由频率分布直方图得：，解得；【小问2详解】根据频率分布直方图估计名学生数学考试成绩的众数为,设中位数为，则，则.【小问3详解】成绩在[80，100]内的学生人数有人男生人数6人，女生人数2人，8人选2人的总选法数种，恰有1名男生1名女生的选法有种，所以概率为.19.如图所示，在四棱锥中，，且，底面为正方形.（1）设试用表示向量；（2）求的长.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）将，代入中化简即可得出答案.（2）利用，结合向量数量积运算律计算即可.【小问1详解】∵M是PC的中点，∴.∵，∴，结合，，，得.【小问2详解】∵，∴，∵，∴，，∴.∴，即BM长等于.20.已知角，，是的内角，向量，，.（1）求角的大小；（2）求函数的值域.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】(1)根据向量垂直的性质求得，求得的值,进而根据A的范围求得A；(2)利用二倍角公式和两角和公式对函数解析式化简整理利用B的范围和正弦函数的性质求得函数的值域.【详解】（1）因为，且，所以，则，又，所以.（2）因为，而，所以，则，所以故所求函数的值域为.21.如图，在四棱锥中，平面，，，，，.（1）证明：；（2）求平面与平面夹角的余弦值；（3）设为棱上的点，满足异面直线与所成的角为，求的长.【答案】（1）证明见解析（2）（3）【解析】【分析】（1）根据线面垂直证明异面直线垂直；（2）过点作于，连接，可得即为平面与平面所成的角，再利用三角形的性质求得余弦值；（3）设，根据异面直线夹角，利用坐标法可得的值.【小问1详解】平面，平面，，，，、平面，平面，又平面，；【小问2详解】如图所示，过点作于，连接，由（1）知，平面，，又，平面，即为平面与平面所成的角．在中，，，，，在中，，，故平面与平面夹角的余弦值为．【小问3详解】以为原点，、、所在的直线分别为、、轴建立如图所示的空间直角坐标系，设，则，，，，，，异面直线与所成的角为，，解得或（舍），．.22.设常数，函数．（1）若a=1，求f(x)的单调区间；（2）若f(x)是奇函数，且关于x的不等式mx2+m>f[f(x)]对所有的x∈[-2，2]恒成立，求实数m的取值范围．【答案】（1）调增区间，单调减区间为(-∞，0)，；（2）.【解析】【分析】(1)当a=1时，求得，根据二次函数的单调性求出