2024-2025学年新教材高中数学第二章直线和圆的方程2.3.1-2.3.2两条直线的交点坐标两点间的距离公式学案含解析新人教A版选择性必修第一册

PAGE2.3直线的交点坐标与距离公式2.3.1两条直线的交点坐标2.3.2两点间的距离公式必备学问·自主学习导思1.怎样求两条直线的交点？2．怎样求两点间的距离？1.两条直线的交点坐标(1)定义：已知两条直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0，将方程联立，得方程组eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(A1x＋B1y＋C1＝0，,A2x＋B2y＋C2＝0.))若方程组有唯一解，则两条直线相交，此解就是交点的坐标．若方程组无解，则两条直线无公共点，此时两条直线平行．(2)本质：用代数方法求平面内两条直线的交点坐标．对于l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0，若方程组eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(A1x＋B1y＋C1＝0，,A2x＋B2y＋C2＝0))有多数组解，那么直线l1，l2是什么位置关系？提示：方程组有多数组解，直线l1，l2有多数个公共点，直线l1，l2重合．2．两点间的距离公式(1)公式：两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)间的距离公式|P1P2|＝eq\r(（x2－x1）2＋（y2－y1）2)，特殊地，原点O(0，0)与任一点P(x，y)的距离|OP|＝eq\r(x2＋y2).(2)本质：用代数方法求平面内两点之间的距离．两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)间的距离公式能否表示为|P1P2|＝eq\r(（x1－x2）2＋（y1－y2）2)？为什么？提示：能，因为eq\r(（x2－x1）2＋（y2－y1）2)＝eq\r(（x1－x2）2＋（y1－y2）2).1．辨析记忆(对的打“√”，错的打“×”).(1)求两直线的交点就是解由两直线方程组成的方程组．()(2)两直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0；l2：A2x＋B2y＋C2＝0相交的充要条件是A1B2－A2B1≠0.()(3)方程A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0，表示经过直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0和l2：A2x＋B2y＋C2＝0的交点的全部直线．()(4)两点间的距离公式与两点的先后依次无关．()提示：(1)√.由两直线方程组成的方程组的解同时满意两个方程，在两条直线上，所以是交点坐标．(2)√.两直线l1与l2相交，需eq\f(A1,A2)≠eq\f(B1,B2)(分母不为零)，转化为整式即为A1B2－A2B1≠0，也去掉了分母的限制条件．(3)×.无论λ取什么实数，都得不到A2x＋B2y＋C2＝0，因此它不能表示直线l2.(4)√.两点间的距离公式包含差的平方，所以与两点的先后依次无关．2．直线x＝1与直线y＝2的交点坐标是()A．(1，2)B．(2，1)C．(1，1)D．(2，2)【解析】选A.直线x＝1与直线y＝2是相互垂直的直线，其交点坐标是(1，2).3．已知M(2，1)，N(－1，5)，则|MN|等于()A．5B．eq\r(37)C．eq\r(13)D．4【解析】选A.|MN|＝eq\r(（2＋1）2＋（1－5）2)＝5.4．(教材二次开发：例题改编)已知两条直线l1：ax＋3y－3＝0，l2：4x＋6y－1＝0，若l1与l2相交，则实数a满意的条件是________.【解析】l1与l2相交，则有：eq\f(a,4)≠eq\f(3,6)，所以a≠2.答案：a≠2关键实力·合作学习类型一求两条直线的交点坐标(数学运算)1．直线4x＋2y－2＝0与直线3x＋y－2＝0的交点坐标是()A．(2，2) B．(2，－2)C．(1，－1) D．(1，1)2．(多选题)若三条直线l1：ax＋y＋1＝0，l2：x＋ay＋1＝0，l3：x＋y＋a＝0不能围成三角形，则a的取值可以为()A．a＝1B．a＝－1C．a＝－2D．a＝23．经过两直线l1：3x＋4y－2＝0和l2：2x＋y＋2＝0的交点且过坐标原点的直线l的方程是________．【解析】1.选C.解方程组eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(4x＋2y－2＝0，,3x＋y－2＝0，))得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝1，,y＝－1，))所以交点坐标为(1，－1).2．选ABC.由题意可得l1和l3平行，或l2和l3平行，或l1和l2平行．若l1和l3平行，则eq\f(a,1)＝eq\f(1,1)，求得a＝1；若l2和l3平行，则eq\f(1,1)＝eq\f(a,1)，求得a＝1.若l1和l2平行，则eq\f(a,1)＝eq\f(1,a)，求得a＝±1.当三条直线l1：ax＋y＋1＝0，l2：x＋ay＋1＝0，l3：x＋y＋a＝0交于同一个点时，a＝－2；综上可得，实数a全部可能的值为－1，1，－2，故选：ABC.3．方法一：由方程组eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(3x＋4y－2＝0，,2x＋y＋2＝0，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝－2,y＝2，))即l1与l2的交点坐标为(－2，2).因为直线过坐标原点，所以其斜率k＝eq\f(2,－2)＝－1.故直线方程为y＝－x，即x＋y＝0.方法二：因为l2不过原点，所以可设l的方程为3x＋4y－2＋λ(2x＋y＋2)＝0(λ∈R)，即(3＋2λ)x＋(4＋λ)y＋2λ－2＝0.将原点坐标(0，0)代入上式，得λ＝1，所以直线l的方程为5x＋5y＝0，即x＋y＝0.答案：x＋y＝0过两条直线交点的直线方程求法求过两条直线交点的直线方程，一般是先解方程组求出交点坐标，再结合其他条件写出直线方程．也可用过两条直线A1x＋B1y＋C1＝0与A2x＋B2y＋C2＝0的交点的直线系方程A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0，再依据其他条件求出待定系数，写出直线方程．过直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0交点的直线系有两种：①λ1(A1x＋B1y＋C1)＋λ2(A2x＋B2y＋C2)＝0可表示过l1，l2交点的全部直线；②A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0不能表示直线l2.【补偿训练】1.两条直线2x＋3y－k＝0和x－ky＋12＝0的交点在y轴上，那么k的值是()A．－24B．6C．±6D．24【解析】选C.设交点P(0，y)，代入2x＋3y－k＝0，得y＝eq\f(k,3).所以Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(k,3)))，代入x－ky＋12＝0，得0－eq\f(k2,3)＋12＝0，所以k＝±6.2．若三条直线2x＋3y＋8＝0，x－y－1＝0，x＋ky＝0相交于一点，则k的值为()A．－2B．－eq\f(1,2)C．2D．eq\f(1,2)【解析】选B.易求直线2x＋3y＋8＝0与x－y－1＝0的交点坐标为(－1，－2)，代入x＋ky＝0，得k＝－eq\f(1,2).3．过直线2x－y＋2＝0和x＋y＋1＝0的交点，且斜率为3的直线方程是________．【解析】解方程组eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2x－y＋2＝0，,x＋y＋1＝0，))得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝－1，,y＝0，))所以两直线的交点坐标为(－1，0)，又所求直线的斜率为3，故所求直线的方程为y－0＝3[x－(－1)]，即3x－y＋3＝0.答案：3x－y＋3＝0类型二过定点的直线(数学运算，直观想象)【典例】求证：不论λ为何实数，直线(λ＋2)x－(λ－1)y＝－6λ－3都恒过肯定点．四步内容理解题意条件：直线方程：(λ＋2)x－(λ－1)y＝－6λ－3结论：直线恒过定点思路探求给λ任取两个特殊值，得两条直线的方程，联立得交点；也可整理为关于λ的一次式，令系数与常数项都为零解得交点．续表四步内容书写表达证明：方法一：(特殊值法)取λ＝0，得到直线l1：2x＋y＋3＝0，取λ＝1，得到直线l2：x＝－3，故l1与l2的交点为P(－3，3).将点P(－3，3)代入方程左边，得(λ＋2)×(－3)－(λ－1)×3＝－6λ－3，所以点(－3，3)在直线(λ＋2)x－(λ－1)y＝－6λ－3上．所以直线(λ＋2)x－(λ－1)y＝－6λ－3恒过定点(－3，3).方法二：(分别参数法)由(λ＋2)x－(λ－1)y＝－6λ－3，整理得(2x＋y＋3)＋λ(x－y＋6)＝0.则直线(λ＋2)x－(λ－1)y＝－6λ－3通过直线2x＋y＋3＝0与x－y＋6＝0的交点．由方程组得所以直线(λ＋2)x－(λ－1)y＝－6λ－3恒过定点(－3，3).题后反思交点肯定是二元一次方程组的解．解决过定点问题常用的三种方法(1)特殊值法：给方程中的参数取两个特殊值，可得关于x，y的两个方程，从中解出的x，y的值即为所求定点的坐标；(2)点斜式法：将含参数的直线方程写成点斜式y－y0＝k(x－x0)，则直线必过定点(x0，y0)；(3)分别参数法：将含参数的直线方程整理为过交点的直线系方程A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0的形式，则该方程表示的直线必过直线A1x＋B1y＋C1＝0和A2x＋B2y＋C2＝0的交点，而此交点就是定点．求证：不论m取什么实数，直线(2m－1)x＋(m＋3)y－(m－11)＝0都经过肯定点，并求出这个定点坐标．【解析】方法一：对于方程(2m－1)x＋(m＋3)y－(m－11)＝0，令m＝0，得x－3y－11＝0；令m＝1，得x＋4y＋10＝0.解方程组eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x－3y－11＝0，,x＋4y＋10＝0，))得两条直线的交点坐标为(2，－3).将点(2，－3)代入直线方程，得(2m－1)×2＋(m＋3)×(－3)－(m－11)＝0.这表明不论m取什么实数，所给直线均经过定点(2，－3).方法二：将已知方程(2m－1)x＋(m＋3)y－(m－11)＝0，整理为(2x＋y－1)m＋(－x＋3y＋11)＝0.由于m取值的随意性，有eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2x＋y－1＝0，,－x＋3y＋11＝0，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝2，,y＝－3.))所以不论m取什么实数，所给直线均经过定点(2，－3).类型三两点间的距离(数学运算，直观想象)【典例】已知△ABC三顶点坐标A(－3，1)，B(3，－3)，C(1，7)，试推断△ABC的形态．【思路导引】计算三角形的各边长，通过长度获得关系；或者由斜率获得关系．【解析】方法一：因为|AB|＝eq\r(（3＋3）2＋（－3－1）2)＝2eq\r(13)，|AC|＝eq\r(（1＋3）2＋（7－1）2)＝2eq\r(13)，又|BC|＝eq\r(（1－3）2＋（7＋3）2)＝2eq\r(26)，所以|AB|2＋|AC|2＝|BC|2，且|AB|＝|AC|，所以△ABC是等腰直角三角形．方法二：因为kAC＝eq\f(7－1,1－（－3）)＝eq\f(3,2)，kAB＝eq\f(－3－1,3－（－3）)＝－eq\f(2,3)，则kAC·kAB＝－1，所以AC⊥AB.又|AC|＝eq\r(（1＋3）2＋（7－1）2)＝2eq\r(13)，|AB|＝eq\r(（3＋3）2＋（－3－1）2)＝2eq\r(13)，所以|AC|＝|AB|，所以△ABC是等腰直角三角形．推断三角形形态的方法在分析三角形的形态时，要从两方面考虑：一是要考虑角的特征，主要考察是否为直角或等角；二是要考虑三角形边的长度特征，主要考察边是否相等或满意勾股定理．已知点A(－2，－1)，B(－4，－3)，C(0，－5).求证：△ABC是等腰三角形．【证明】因为|AB|＝eq\r(（－4＋2）2＋（－3＋1）2)＝2eq\r(2)，|AC|＝eq\r(（0＋2）2＋（－5＋1）2)＝2eq\r(5)，|BC|＝eq\r(（0＋4）2＋（－5＋3）2)＝2eq\r(5)，所以|AC|＝|BC|.又因为点A，B，C不共线，所以△ABC是等腰三角形．备选类型坐标法证题(直观想象，逻辑推理)【典例】在△ABC中，D是BC边上随意一点(D与B，C不重合)，且|AD|2＋|BD|·|DC|＝|AB|2，求证：△ABC为等腰三角形．【思路导引】在图形中建立坐标系，设点，说明|AB|＝|AC|.【解析】如图，作AO⊥BC，垂足为O，以BC所在直线为x轴，以OA所在直线为y轴，建立平面直角坐标系xOy.设A(0，a)，B(b，0)，C(c，0)，D(d，0).因为|AD|2＋|BD|·|DC|＝|AB|2，所以由两点间距离公式，可得d2＋a2＋(d－b)(c－d)＝b2＋a2，化简得(c＋b)(d－b)＝0.又d－b≠0，所以c＋b＝0，即－b＝c，所以|OB|＝|OC|，所以|AB|＝|AC|，即△ABC为等腰三角形．坐标法解决几何问题关键坐标法解决几何问题时，关键要结合图形的特征，建立平面直角坐标系．坐标系建立的是否合适，会干脆影响问题能否便利解决．建系的原则