2024-2025学年新教材高中数学第七章随机变量及其分布7.4.2超几何分布学案含解析新人教A版选择性必修第三册

PAGE7.4.2超几何分布[教材要点]要点一超几何分布一般地，假设一批产品共有N件，其中有M件次品．从N件产品中随机抽取n件(不放回），用X表示抽取的n件产品中的次品数，则X的分布列为P(X＝k）＝____________，k＝m，m＋1，m＋2，…，r.其中n，N，M∈N*，M≤N，n≤N，m＝max{0，n－N＋M}，r＝min{n，M}，则称随机变量X听从超几何分布．eq\a\vs4\al(状元随笔)推断一个随机变量是否听从超几何分布，关键是要看随机变量是否满意超几何分布的特征：①不放回抽样；②一个总体(共有N个）内含有两种不同的事物A(有M个），B(有N－M个），任取n个，其中恰有X个A.符合以上特征即可断定随机变量听从超几何分布．满意超几何分布模型的事务的总体都是由较明显的两部分组成，如男生，女生；正品，次品；优，劣等．要点二超几何分布的均值设随机变量X听从超几何分布，则X可以说明为从包含M件次品的N件产品中，不放回地随机抽取n件产品中的次品数．令p＝eq\f(M,N)，则E(X）＝________．[基础自测]1.推断正误(正确的画“√”，错误的画“×”）(1）超几何分布的模型是有放回的抽样．(）(2）二项分布与超几何分布是同一种分布．(）(3）从3本物理书和5本数学书中选出3本，记选出的数学书为X本，则X听从超几何分布．超几何分布的总体里只有两类物品．(）2.下列随机事务中的随机变量X听从超几何分布的是(）A．将一枚硬币连抛3次，正面对上的次数XB．从7名男生与3名女生共10名学生干部中选出5名优秀学生干部，选出女生的人数XC．某射手射击的命中率为0.8，现对目标射击1次，记命中目标的次数为XD．盒中有4个白球和3个黑球，每次从中摸出1个球且不放回，X是首次摸出黑球时的总次数3.一袋中装5个球，编号为1，2，3，4，5，从袋中同时取出3个，以ξ表示取出的三个球中的最小号码，则随机变量ξ的分布列为(）4.已知100件产品中有10件次品，从中任取3件，则随意取出的3件产品中次品数的数学期望为________．题型一超几何分布——师生共研例1在高二年级的联欢会上设计了一个摸奖嬉戏，在一个口袋中装有5个红球和10个白球，这些球除颜色外完全相同，一次从中摸出3个球，至少摸到2个红球就中奖，求中奖的概率．方法归纳(1）当探讨的事物涉及二维离散型随机变量(如：次品、两类颜色等问题）时的概率分布可视为一个超几何分布；(2）在超几何分布中，只要知道参数N，M，n就可以依据公式求出X取不同值时的概率．跟踪训练1从一批含13件正品、2件次品的产品中，不放回地任取3件，求至少有一件次品的概率．题型二超几何分布的分布列与期望——师生共研例2盒中装有12个乒乓球，其中9个是新的，3个是旧的(用过的就是旧的）.从盒中任取3个运用，用完后放回盒中，此时盒中旧球个数Y是一个随机变量，求Y的分布列．eq\a\vs4\al(状元随笔)若随机变量Y的分布列不易求，则可以依据题意找出与随机变量Y有关的随机变量X，确定二者的对应值及取对应值的概率的关系，将求随机变量Y的分布列转化为求随机变量X的分布列．方法归纳若X是随机变量，则Y＝f(X）也是随机变量，求Y的分布列，可由X的分布列得出：先由Y＝f(X）求出随机变量Y的值，再依据随机变量X的取值所对应的概率写出分布列．跟踪训练2在心理学探讨中，常采纳对比试验的方法评价不同心理示意对人的影响，详细方法如下：将参与试验的志愿者随机分成两组，一组接受甲种心理示意，另一组接受乙种心理示意，通过对比这两组志愿者接受心理示意后的结果来评价两种心理示意的作用．现有6名男志愿者A1，A2，A3，A4，A5，A6和4名女志愿者B1，B2，B3，B4，从中随机抽取5人接受甲种心理示意，另5人接受乙种心理示意．(1）求接受甲种心理示意的志愿者中包含A1但不包含B1的概率；(2）用X表示接受乙种心理示意的女志愿者人数，求X的分布列．题型三超几何分布与二项分布的区分——师生共研例3在10件产品中有2件次品，连续抽3次，每次抽1件，求：(1）不放回抽样时，抽取次品数ξ的均值；(2）放回抽样时，抽取次品数η的均值．方法归纳二项分布和超几何分布最主要的区分在于是有放回抽样还是不放回抽样，所以在解有关二项分布和超几何分布问题时，细致阅读，辨别题目条件是特别重要的．跟踪训练3(1）现有语文、数学课本共7本(其中语文课本不少于2本），从中任取2本，至多有1本语文课本的概率是eq\f(5,7)，则语文课本的本数为(）A．2B．3C．4D．5(2）甲、乙两人玩秒表嬉戏，先按起先键，然后随机按暂停键，视察秒表最终一位数．若出现0，1，2，3，则甲赢；若出现6，7，8，9，则乙赢；若出现4，5，则是平局．玩三次，记甲赢的次数为随机变量X，求X的分布列．易错辨析对超几何分布的概念理解不透致错例4盒中装有零件12个，其中有9个正品，3个次品，从中任取一个，若取出的是次品不再放回，再取一个零件，直到取得正品为止．求在取得正品之前已取出次品数X的分布列．解析：X的全部可能取值为0，1，2，3.P(X＝0）＝eq\f(Ceq\o\al(\s\up1(1),\s\do1(9)),Ceq\o\al(\s\up1(1),\s\do1(12)))＝eq\f(3,4)，P(X＝1）＝eq\f(Ceq\o\al(\s\up1(1),\s\do1(3))Ceq\o\al(\s\up1(1),\s\do1(9)),Aeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(12)))＝eq\f(9,44)，P(X＝2）＝eq\f(Aeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(3))Ceq\o\al(\s\up1(1),\s\do1(9)),Aeq\o\al(\s\up1(3),\s\do1(12)))＝eq\f(9,220)，P(X＝3）＝eq\f(Aeq\o\al(\s\up1(3),\s\do1(3))Ceq\o\al(\s\up1(1),\s\do1(9)),Aeq\o\al(\s\up1(4),\s\do1(12)))＝eq\f(1,220).因此，随机变量X的分布列为X0123Peq\f(3,4)eq\f(9,44)eq\f(9,220)eq\f(1,220)【易错警示】易错缘由本题易错认为X听从超几何分布，其中N＝12，M＝3，n＝3，所以在取得正品之前已取出次品数X的分布列为P(X＝k）＝(k＝0，1，2，3），从而所求分布列错误．产生错误的缘由是未理解超几何分布的概念，本题是不放回抽样，属于排列问题，而超几何分布是一次性抽取若干件产品，属于组合问题．纠错心得依据超几何分布的定义，可以知道超几何分布的模型是不放回抽样．同时在总体中只有两类物品，它探讨的对象必需明确，即是对哪一类物品的分布进行探讨的，不能搞错．如检验产品时，既可以探讨抽取的产品中合格品的件数是否听从超几何分布．也可以探讨抽取的产品中不合格品的件数是否听从超几何分布，由于是从总数为N件的物品中任取n件，这N件物品中包括合格品与不合格品，因此在计算不合格品的分布列的过程中也可得到合格品的分布列．eq\x(温馨提示：请完成课时作业（十二）)

7．4.2超几何分布新知初探·课前预习要点一eq\f(Ceq\o\al(\s\up1(k),\s\do1(M))Ceq\o\al(\s\up1(n－k),\s\do1(N－M)),Ceq\o\al(\s\up1(n),\s\do1(N)))要点二np[基础自测]1．(1)×(2)×(3)√2．解析：由超几何分布的定义可知B正确．答案：B3．解析：随机变量ξ的可能值为1，2，3，P(ξ＝1)＝eq\f(Ceq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(4)),Ceq\o\al(\s\up1(3),\s\do1(5)))＝eq\f(3,5)，P(ξ＝2)＝eq\f(Ceq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(3)),Ceq\o\al(\s\up1(3),\s\do1(5)))＝eq\f(3,10)，P(ξ＝3)＝eq\f(Ceq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(2)),Ceq\o\al(\s\up1(3),\s\do1(5)))＝eq\f(1,10).故选C.答案：C4．解析：次品数听从超几何分布，则E(X)＝3×eq\f(10,100)＝0.3.答案：0.3题型探究·课堂解透题型一例1解析：由题意知，摸到红球个数X为离散型随机变量，X听从超几何分布，则至少摸到2个红球的概率为P(X≥2)＝P(X＝2)＋P(X＝3)＝eq\f(Ceq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(5))Ceq\o\al(\s\up1(1),\s\do1(10)),Ceq\o\al(\s\up1(3),\s\do1(15)))＋eq\f(Ceq\o\al(\s\up1(3),\s\do1(5))Ceq\o\al(\s\up1(0),\s\do1(10)),Ceq\o\al(\s\up1(3),\s\do1(15)))＝eq\f(22,91).故中奖的概率为eq\f(22,91).跟踪训练1解析：由题意知X听从超几何分布，其中N＝15，M＝2，n＝3，则P(X≥1)＝1－P(X＝0)＝1－eq\f(Ceq\o\al(\s\up1(0),\s\do1(2))Ceq\o\al(\s\up1(3),\s\do1(13)),Ceq\o\al(\s\up1(3),\s\do1(15)))＝1－eq\f(22,35)＝eq\f(13,35).故至少有一件次品的概率为eq\f(13,35).题型二例2解析：由题意知，取出的3个球中旧球的个数X的全部可能取值为0，1，2，3，且X听从参数为N＝12，M＝3，n＝3的超几何分布，用完放回后增加的旧球个数分别为3(取出的为3个新球)，2(取出的为1个旧球和2个新球)，1(取出的为2个旧球和1个新球)，0(取出的为3个旧球)，所以此时盒中旧球的个数Y的全部可能取值为6，5，4，3.由此建立了Y与X的关系，可用X的分布列表示Y的分布列．依据超几何分布的分布列可得P(Y＝3)＝P(X＝3)＝eq\f(Ceq\o\al(\s\up1(0),\s\do1(9))Ceq\o\al(\s\up1(3),\s\do1(3)),Ceq\o\al(\s\up1(3),\s\do1(12)))＝eq\f(1,220)，P(Y＝4)＝P(X＝2)＝eq\f(Ceq\o\al(\s\up1(1),\s\do1(9))Ceq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(3)),Ceq\o\al(\s\up1(3),\s\do1(12)))＝eq\f(27,220)，P(Y＝5)＝P(X＝1)＝eq\f(Ceq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(9))Ceq\o\al(\s\up1(1),\s\do1(3)),Ceq\o\al(\s\up1(3),\s\do1(12)))＝eq\f(27,55)，P(Y＝6)＝P(X＝0)＝eq\f(Ceq\o\al(\s\up1(3),\s\do1(9))Ceq\o\al(\s\up1(0),\s\do1(3)),Ceq\o\al(\s\up1(3),\s\do1(12)))＝eq\f(21,55)，所以Y的分布列为Y3456Peq\f(1,220)eq\f(27,220)eq\f(27,55)eq\f(21,55)跟踪训练2解析：(1)记“接受甲种心理示意的志愿者中包含A1，但不包含B1”的事务为M，则P(M)＝eq\f(Ceq\o\al(\s\up1(4),\s\do1(8)),Ceq\o\al(\s\up1(5),\s\do1(10)))＝eq\f(5,18).(2)由题意知X的全部可能取值为0，1，2，3，4，则P(X＝0)＝eq\f(Ceq\o\al(\s\up1(5),\s\do1(6)),Ceq\o\al(\s\up1(5),\s\do1(10)))＝eq\f(1,42)，P(X＝1)＝eq\f(Ceq\o\al(\s\up1(4),\s\do1(6))Ceq\o\al(\s\up1(1),\s\do1(4)),Ceq\o\al(\s\up1(5),\s\do1(10)))＝eq\f(5,21)，P(X＝2)＝eq\f(Ceq\o\al(\s\up1(3),\s\do1(6))Ceq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(4)),Ceq\o\al(\s\up1(5),\s\do1(10)))＝eq\f(10,21)，P(X＝3)＝eq\f(Ceq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(6))Ceq\o\al(\s\up1(3),\s\do1(4)),Ceq\o\al(\s\up1(5),\s\do1(10)))＝eq\f(5,21)，P(X＝4)＝eq\f(Ceq\o\al(\s\up1(1),\s\do1(6))Ceq\o\al(\s\up1(4),\s\do1(4)),Ceq\o\al(\s\up1(5),\s\do1(10)))＝eq\f(1,42).因此X的分布列为X01234Peq\f(1,42)eq\f(5,21)eq\f(10,21)eq\f(5,21)eq\f(1,42)题型三例3解析：(1)方法一P(ξ＝0)＝eq\f(Ceq\o\al(\s\up1(3),\s\do1(8)),Ceq\o\al(\s\up1(3),\s\do1(10)))＝eq\f(7,15)；P(ξ＝1)＝eq\f(Ceq\o\al(\s\up1(1),\s\do1(2))Ceq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(8)),Ceq\o\al(\s\up1(3),\s\do1(10)))＝eq\f(7,15)；P(ξ＝2)＝eq\f(Ceq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(2))Ceq\o\al(\s\up1(1),\s\do1(8)),Ceq\o\al(\s\up1(3),\s\do1(10)))＝eq\f(1,15)，∴随机变量ξ的分布列为ξ012Peq\f(7,15)eq\f(7,15)eq\f(1,15)E(ξ)＝0×eq\f(7,15)＋1×eq\f(7,15)＋2×eq\f(1,15)＝eq\f(3,5).方法二由题意知P(ξ＝k)＝eq\f(Ceq\o\al(\s\up1(k),\s\do1(2))Ceq\o\al(\s\up1(3－k),\s\do1(8)),Ceq\o\al(\s\up1(3),\s\do1(10)))(k＝0，1，2)，∴随机变量ξ听从超几何分布，n＝3，M＝2，N＝10，∴E(ξ)＝eq\f(nM,N)＝eq\f(3×2,10)＝eq\f(3,5).(2)由题意，知每次取到次品的概率为eq\f(2,10)＝eq\f(1,5)，∴η～Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3，\f(1,5)))，∴E(η)＝3×eq\f(1,5)＝eq\f(3,5).跟踪训练3解析：(1)设语文课本有m本，任取2本中的语文课本数为X，则X听从参数为N＝7，M＝m，n＝2的超几何分布，其中X的全部可能取值为0，1，2，且P(X＝k)＝eq\f(Ceq