2024-2025学年新教材高中数学第四章指数函数对数函数与幂函数4.3指数函数与对数函数的关系课时素养评价含解析新人教B版必修第二册

PAGE指数函数与对数函数的关系(15分钟30分)1.(2024·成都高一检测)已知函数f(x)=log2x,若函数g(x)是f(x)的反函数,则fQUOTE= ()A.1 B.2 C.3 D.4【解析】选B.由函数y=f(x)=log2x,把x与y互换,得x=log2y(x∈R),可得y=2x,即g(x)=2x,所以g(2)=22=4,则fQUOTE=f(4)=log24=2.【补偿训练】(2024·日照高一检测)已知函数f(x)=1+2lgx,则f(1)+f-1(1)= ()A.0 B.1 C.2 D.3【解析】选C.依据题意:fQUOTE=1+2lg1=1,若f(x)=1+2lgx=1,解得x=1,则f-1QUOTE=1,故fQUOTE+f-1QUOTE=1+1=2.2.函数y=QUOTE的反函数是 ()A.y=QUOTE(x∈R且x≠-4)B.y=QUOTE(x∈R且x≠3)C.y=QUOTE(x∈R且x≠QUOTE)D.y=QUOTE(x∈R且x≠-QUOTE)【解析】选B.由y=QUOTE,得x=QUOTE.故所求反函数为y=QUOTE(x∈R且x≠3).3.设y=QUOTE+m和y=nx-9互为反函数,那么m,n的值分别是 ()A.-6,3 B.2,1 C.2,3 D.3,3【解析】选D.求出y=QUOTE+m的反函数y=3x-3m,再与y=nx-9对比系数,得m=3,n=3.4.函数f(x)是增函数,它的反函数是f-1(x),若a=f(2)+f-1(2),b=f(3)+f-1(3),则下面结论中正确的是 ()A.a<b B.a=bC.a>b D.无法确定【解析】选A.因为f(x)是增函数,故其反函数f-1(x)也是增函数,所以f(3)>f(2),f-1(3)>f-1(2),即b>a.5.函数f(x)=QUOTE的反函数是________.

【解析】函数的值域为[0,+∞),令y=QUOTE,将其中的x,y对调得x=QUOTE,解得y=4-x2,所以反函数f-1(x)=4-x2(x≥0).答案:f-1(x)=4-x2(x≥0)6.若函数y=f(x)的反函数是y=-QUOTE(-1≤x≤0),求原函数的定义域和f(-1)的值.【解析】因为原函数的定义域为反函数的值域,又-1≤x≤0,所以1≤2-x2≤2,即y∈[-QUOTE,-1].令-QUOTE=-1,解得x=±1,因为原函数的定义域为[-QUOTE,-1],所以x=-1.所以原函数y=f(x)的定义域为[-QUOTE,-1],f(-1)=-1.(30分钟60分)一、单选题(每小题5分,共20分)1.若f(x)为y=2-x的反函数,则f(x-1)的图像大致是 ()【解析】选C.由题意,f(x)的图像与y=2-x的图像关于y=x对称,即f(x)=loQUOTEx,所以f(x-1)的图像就是将f(x)=loQUOTEx右移一个单位得到.2.函数f(x)与g(x)=QUOTE互为反函数,则函数f(4-x2)的单调增区间是()A.(-∞,0] B.[0,+∞)C.(-2,0] D.[0,2)【解析】选D.因为f(x)与g(x)=QUOTE互为反函数,所以f(x)=loQUOTEx,所以f(4-x2)=loQUOTE(4-x2),x>0,由4-x2>0,所以-2<x<2,所以0<x<2,因为y=4-x2在[0,2)上是减函数,所以f(x)在[0,2)上是增函数.【补偿训练】(2024·辛集高一检测)若y=f(x)是函数y=2x的反函数,则函数y=f(-x2+2x+3)的单调递增区间是 ()A.(-∞,1) B.(-3,-1)C.(-1,1) D.(1,+∞)【解析】选C.由y=f(x)是函数y=2x的反函数,得y=f(x)=log2x,则y=f(-x2+2x+3)=log2(-x2+2x+3),由-x2+2x+3>0,解得-1<x<3,所以函数y=f(-x2+2x+3)的定义域为(-1,3),因为y=log2u是增函数,u=-x2+2x+3在(-∞,1)上是增函数,所以y=log2(-x2+2x+3)的递增区间为(-1,1).3.(2024·潍坊高一检测)已知函数g(x)=f(x)+x2是奇函数,当x>0时,函数f(x)的图像与函数y=log2x的图像关于y=x对称,则gQUOTE+gQUOTE= ()A.-7 B.-9 C.-11 D.-13【解析】选C.因为x>0时,f(x)的图像与函数y=log2x的图像关于y=x对称,所以x>0时,f(x)=2x,所以x>0时,g(x)=2x+x2,又g(x)是奇函数,所以g(-1)+g(-2)=-[g(1)+g(2)]=-(2+1+4+4)=-11.4.若函数y=QUOTE的图像关于直线y=x对称,则a的值为 ()A.1 B.-1 C.2 D.-2【解析】选B.由y=QUOTE,将x,y的位置互换得x=QUOTE,整理得y=QUOTE,则原函数的反函数是y=QUOTE,由题意知原函数与反函数相同,所以QUOTE=QUOTE,解得a=-1.二、多选题(每小题5分,共10分,全部选对得5分,选对但不全的得3分,有选错的得0分)5.函数y=2|x|在下面的区间上,不存在反函数的是 ()A.[-1,1] B.(-∞,0]C.[-2,4] D.[2,4]【解析】选AC.函数若在区间上单调,则存在反函数,易知函数y=2|x|在[-1,1],[-2,4]上不单调.6.函数y=f(x)是y=ax(a>0,且a≠1)的反函数,则下列结论正确的是 ()A.f(x2)=2f(|x|)B.f(2x)=f(x)+f(2)C.fQUOTE=f(x)-f(2)D.f(2x)=2f(x)【解析】选ABC.因为函数y=f(x)是y=ax(a>0,且a≠1)的反函数,所以f(x)=logax,所以fQUOTE=loga2x=loga2+logax=f(x)+f(2)≠2f(x),B对D错;fQUOTE=logax2=2loga|x|=2f(|x|),A对;fQUOTE=logaQUOTE=logax-loga2=f(x)-f(2),C对.【补偿训练】已知函数f(x)=ex+x-2,g(x)=lnx+x-2,且f(a)=g(b)=0,则下列结论错误的是 ()A.a>b B.g(a)<0<f(b)C.g(a)>0>f(b) D.a+b=2【解析】选AC.因为函数y=ex,y=lnx,y=x-2都是增函数,所以f(x)=ex+x-2,g(x)=lnx+x-2都是增函数,又f(0)=e0+0-2=-1<0,f(1)=e1+1-2=e-1>0,所以0<a<1,g(1)=ln1+1-2=-1<0,g(2)=ln2+2-2=ln2>0,所以1<b<2,所以0<a<1<b<2,故A错误;因为a<b,所以g(a)<g(b)=0,f(a)<f(b),即f(b)>0,所以g(a)<0<f(b),故B正确,C错误;令f(x)=ex+x-2=0,g(x)=lnx+x-2=0,则ex=2-x,lnx=2-x,由于函数y=ex,y=lnx都和y=2-x相交,且y=ex和y=lnx关于直线y=x对称,又y=2-x和y=x的交点为(1,1),所以a+b=2,所以D正确.三、填空题(每小题5分,共10分)7.设a>0且a≠1,若函数f(x)=QUOTE+2的反函数的图像经过定点P,则点P的坐标是________.

【解析】因为函数f(x)=QUOTE+2经过定点(1,3),所以函数f(x)的反函数的图像经过定点P(3,1).答案:(3,1)【补偿训练】若函数f(x)=log2(x+1)+a的反函数的图像经过点(4,1),则实数a=________.

【解析】函数f(x)=log2(x+1)+a的反函数的图像经过点(4,1),即函数f(x)=log2(x+1)+a的图像经过点(1,4),所以4=log2(1+1)+a,所以4=1+a,a=3.答案:38.设点(9,3)在函数f(x)=loga(x-1)(a>0,a≠1)的图像上,则f(x)的反函数f-1(x)=________.

【解析】因为点(9,3)在函数f(x)=loga(x-1)(a>0,a≠1)的图像上,所以loga(9-1)=3,可得a=2,则令函数f(x)=y=log2(x-1),那么x=2y+1.把x与y互换可得y=2x+1,所以f(x)的反函数f-1(x)=2x+1.答案:2x+1四、解答题(每小题10分,共20分)9.已知函数f(x)=QUOTE的定义域为(-∞,2].(1)求函数f(x)的值域;(2)求函数f(x)的反函数.【解析】(1)f(x)的定义域为x≤2,0<2x≤4,所以4≤8-2x<8,所以QUOTE8<QUOTE≤QUOTE4,即-3<QUOTE≤-2,故函数的值域为(-3,-2].(2)由y=QUOTE,将x,y互换,x=loQUOTE(8-2y)(-3<x≤-2).整理得2y=8-QUOTE,y=log2QUOTE,所以f-1(x)=log2QUOTE(-3<x≤-2).10.已知函数f(x)=lg(x+1).(1)当x∈[1,9]时,求函数f(x)的反函数.(2)若0<f(1-2x)-f(x)<1,求x的取值范围.【解析】(1)令y=f(x)=lg(x+1),所以当x∈[1,9]时,y∈[lg2,1],且x+1=10y,即x=10y-1,互换x,y得,y=10x-1,所以,f-1(x)=10x-1,x∈[lg2,1].(2)不等式0<f(1-2x)-f(x)<1可化为:0<lgQUOTE<1,等价为1<QUOTE<10且x+1>0,解得x∈QUOTE,所以,原不等式中x的取值范围为:QUOTE.1.已知函数f(x)是定义在R上的奇函数,当x<0时,f(x)=QUOTE,那么f-1(-9)的值为 ()A.2 B.-2 C.3 D.-3【解析】选A.设f-1(-9)=x,则f(x)=-9,设x>0,则-x<0.因为当x<0时,f(x)=QUOTE,所以f(-x)=QUOTE=3x.因为函数f(x)是定义在R上的奇函数,所以f(x)=-f(-x)=-3x.所以-3x=-9,故x=2.2.已知函数f(x)=x2+bx+4满意f(1+x)=f(1-x),且函数g(x)=ax(a>0,且a≠1)与函数y=log3x互为反函数.(1)求函数f(x),g(x)的解析式;(2)函数y=f(g(x))-m在x∈[-1,2]上有零点,求实数m的取值范围.【解析】(1)由f(1+x)=f(1-x)知函数的对称轴-QUOTE=1,故b=-2;所以f(x)=x2-2x+4.由函数g(x)=ax(a>0,且a≠1)与函数y=log3x互为反函数,知a=3.故g(x)=3x.(2)令t=3x,因为x∈[-1,2],所以t∈QUOTE,则y=f(g(x))-m=t2-2t+4-m在t∈QUOTE上有零点,即函数y=m的图像与y=t2-2t+4的图像在t∈QUOTE上有交点,而y=(t-1)2+3,t∈QUOTE,所以当t=1时,此时x=0,f(g(x))min=3,当t=9时,此时x=2,f(g(x))max=67,因此m的取值范围是QUOTE.【补偿训练】已知函数f(x)=2x的反函数为f-1(x).(1)若f-1(x)-f-1(1-x)=1,求实数x的值;(2)若关于x的方程f(x)+f(1