2024-2025学年新教材高中数学第七章随机变量及其分布7.5正态分布学案含解析新人教A版选择性必修第三册

7.5正态分布最新课标(1）通过误差模型，了解听从正态分布的随机变量，通过详细实例，借助频率直方图的几何直观，了解正态分布的特征．(2）了解正态分布的均值、方差及其含义．[教材要点]要点一正态曲线1.正态曲线：我们称f(x）＝eq\f(1,σ\r(2π))e－eq\f(（x－μ）2,2σ2)，x∈R，(其中2.正态曲线的特点(1）曲线位于x轴上方；(2）曲线和x轴之间的区域面积为1；(3）曲线是单峰的，它关于直线x＝μ对称；(4）曲线在x＝μ处达到峰值(最大值）eq\f(1,σ\r(2π))；(5）当|x|无限增大时，曲线无限接近x轴．要点二正态分布1.正态分布：若随机变量X的概率分布密度函数为，x∈R，则称随机变量X听从正态分布，记为X～N(μ，σ2）.特殊地，当μ＝0，σ＝1时，称随机变量X听从标准正态分布．2.均值与方差若X～N(μ，σ2），则E(X）＝μ，D(X）＝σ2.3.三个特殊区间内取值的概率值(1）P(μ－σ<X≤μ＋σ）≈________．(2）P(μ－2σ<X≤μ＋2σ）≈________．(3）P(μ－3σ<X≤μ＋3σ）≈________．4.3σ原则在实际应用中，通常认为听从于正态分布N(μ，σ2）的随机变量X只取[μ－3σ，μ＋3σ]中的值，这在统计学中称为3σ原则．eq\a\vs4\al(状元随笔)对小概率事务(一般状况下，指发生的概率小于0.27%的事务）要有一个正确的理解：(1）这里的“几乎不行能发生”是针对“一次试验”来说的，假如试验次数多了，该事务当然是很有可能发生的；(2）当我们运用“小概率事务几乎不行能发生”的原理进行推断时，也有0.27%的犯错的可能．[基础自测]1.推断正误(正确的画“√”，错误的画“×”）(1）正态曲线是单峰的，其与x轴围成的面积是随参数μ，σ的改变而改变的．(）(2）正态曲线可以关于y轴对称．(）(3）在正态分布中，参数μ是反映随机变量取值的平均水平的特征数，可以用样本均值去估计；σ是衡量随机变量总体波动大小的特征数，可以用样本标准差去估计．(）(4）正态曲线的对称轴的位置由μ确定，曲线形态由σ确定．(）2.已知三条正态曲线(x∈R，i＝1，2，3）如图所示，则下列推断正确的是(）A．μ1<μ2＝μ3，σ1＝σ2>σ3B．μ1>μ2＝μ3，σ1＝σ2<σ3C．μ1＝μ2<μ3，σ1<σ2＝σ3D．μ1<μ2＝μ3，σ1＝σ2<σ33.正态曲线关于y轴对称，则它所对应的正态总体均值为(）A．1B．－1C．0D．不确定4.设随机变量X～N(μ，σ2），且P(X≤c）＝P(X>c），则c＝________．题型一正态曲线及其特点——自主完成1.(多选题）甲、乙两类水果的质量(单位：kg）分别听从正态分布N(μ1，σeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(1))），N(μ2，σeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(2))），其正态分布密度曲线如图所示，则下列说法正确的是(）A．甲类水果的平均质量μ1＝0.4kgB．甲类水果的质量比乙类水果的质量更集中于平均质量C．甲类水果的平均质量比乙类水果的平均质量小D．乙类水果的质量听从的正态分布的参数σ2＝1.99

2.某市组织一次高三调研考试，考试后统计的数学成果听从正态分布，其密度函数为f(x）＝eq\f(1,10\r(2π))e，则下列命题中不正确的是(）A．这次考试的数学平均成果为80分B．分数在120分以上的人数与分数在60分以下的人数相同C．分数在110分以上的人数与分数在50分以下的人数相同D．这次考试的数学成果的标准差为10方法归纳要确定一个正态分布密度函数的解析式，关键是求解析式中的两个参数μ，σ的值，其中μ确定曲线的对称轴的位置，σ则与曲线的形态和函数的最大值有关．题型二正态分布的概率计算——师生共研例1(1）已知随机变量X听从正态分布N(2，σ2），P(X<4）＝0.84，则P(X≤0）＝(）A．0.16B．0.32C．0.68D．0.84(2）若随机变量ξ听从正态分布N(0，1），已知P(ξ<－1.96）＝0.025，则P(|ξ|<1.96）＝(）A．0.025B．0.050C．0.950D．0.975(3）据调查统计，某市高二学生中男生的身高X(单位：cm）听从正态分布N(174，9）.若该市共有高二男生3000人，试估计该市高二男生身高在(174，180]范围内的人数为________．方法归纳求解正态分布的概率问题的思路利用正态曲线的对称性求概率是正态分布的基本题型，也是高考考查的重点．解题的关键是利用对称轴x＝μ确定所求概率对应的随机变量的区间与已知概率对应的随机变量的区间的关系，必要时，可借助图形推断，常用结论如下．1.对于正态分布N(μ，σ2），由直线x＝μ是正态曲线的对称轴知：(1）对随意的实数a，P(X<μ－a）＝P(X>μ＋a）；(2）P(X<x0）＝1－P(X≥x0）；(3）P(a<X<b）＝P(X<b）－P(X≤a）.2.对于μ＝0的正态分布，求X落在某区间的概率时常利用如下两个公式：(1）P(X<－x0）＝1－P(X≤x0）；(2）P(a<X<b）＝P(X<b）－P(X≤a）.3.当条件中无已知概率时，则要将区间转化为三个特殊区间：P(μ－σ<X≤μ＋σ）≈0.6827，P(μ－2σ<X≤μ＋2σ）≈0.9545，P(μ－3σ<X≤μ＋3σ）≈0.9973.跟踪训练1(1）已知随机变量ξ听从正态分布N(2，σ2），且P(ξ<4）＝0.8，则P(0<ξ<2）＝(）A．0.6B．0.4C．0.3D．0.2(2）已知随机变量X～N(1，σ2），若P(0<x<3）＝0.5，P(0<X<1）＝0.2，则P(X<3）＝(）A．0.4B．0.6C．0.7D．0.8(3）某工厂制造的某种机器零件的尺寸X～N(100，0.01），现从中随机抽取10000个零件，尺寸在(99.8，99.9]内的个数约为________．题型三正态分布的实际应用——师生共研例2有一种精密零件，其尺寸X(单位：mm）听从正态分布，即X～N(20，4）.若这批零件共有5000个，试求：(1）这批零件中尺寸在18～22mm间的零件所占的百分比；(2）若规定尺寸在24～26mm间的零件不合适，则这批零件中不合适的零件大约有多少个？eq\a\vs4\al(状元随笔)(1）识别出P(18≤X≤22）＝P(20－2≤X≤20＋2）＝P(μ－σ≤X≤μ＋σ）即可得解．(2）P(μ＋2σ≤X≤μ＋3σ）＝eq\f(1,2)[P(μ－3σ≤X≤μ＋3σ）－P(μ－2σ<X<μ＋2σ）].方法归纳解答这类问题的关键是：第一，能够依据正态分布的参数，判别出所供应区间与特殊区间的关系；其次，熟记正态变量的取值位于区间(μ－σ，μ＋σ]，(μ－2σ，μ＋2σ]，(μ－3σ，μ＋3σ]上的概率值，同时又要依据已知的正态分布确定给定区间属于上述三个区间中的哪一个．跟踪训练2某厂生产的圆柱形零件的外直径ξ(单位：cm）听从正态分布N(4，0.52）.质检人员从该厂生产的1000件零件中随机抽查1件，测得它的外直径为5.7cm，试问：该厂生产的这批零件是否合格？温馨提示：请完成课时作业(十三）章末质量检测(二）7．5正态分布新知初探·课前预习要点二3．(1)0.6827(2)0.9545(3)0.9973[基础自测]1．(1)×(2)√(3)√(4)√2．解析：由正态曲线关于直线x＝μ对称，知μ1<μ2＝μ3；σ的大小确定曲线的形态，σ越大，总体分布越分散，曲线越“矮胖”；σ越小，总体分布越集中，曲线越“瘦高”，则σ1＝σ2<σ3.故选D.答案：D3．解析：由正态曲线性质知E(X)＝0.故选C.答案：C4．解析：由正态曲线关于直线x＝μ对称的特点可知c＝μ.答案：μ题型探究·课堂解透题型一1．解析：由图象可知甲曲线关于直线x＝0.4对称，乙曲线关于直线x＝0.8对称，所以μ1＝0.4，μ2＝0.8，故A，C正确；因为甲曲线比乙曲线更“高瘦”，所以甲类水果的质量比乙类水果的质量更集中于平均质量，故B正确；因为乙曲线的峰值为1.99，即eq\f(1,\r(2π)σ2)＝1.99，所以σ2≠1.99，D错误，故选ABC.答案：ABC2．解析：由正态分布密度函数知这次考试的数学平均成果为80分，标准差为10，故A，D正确．因为函数图象关于直线x＝80对称，故分数在110分以上的人数与分数在50分以下的人数相同，C正确．B不正确，故选B.答案：B题型二例1解析：(1)由X～N(2，σ2)可知，其正态曲线如图所示，对称轴为直线x＝2，则P(X≤0)＝P(X≥4)＝1－P(X<4)＝1－0.84＝0.16.故选A.(2)由随机变量ξ听从正态分布N(0，1)，得P(ξ<1.96)＝1－P(ξ≥1.96)＝1－P(ξ≤－1.96)，所以P(|ξ|<1.96)＝P(－1.96<ξ<1.96)＝P(ξ<1.96)－P(ξ≤－1.96)＝1－2P(ξ≤－1.96)＝1－2P(ξ<－1.96)＝1－2×0.025＝0.950.故选C.(3)因为身高X～N(174，9)，所以μ＝174，σ＝3.所以μ－2σ＝174－2×3＝168，μ＋2σ＝174＋2×3＝180，所以身高在(168，180]范围内的概率为0.9545.因为μ＝174，所以身高在(168，174]和(174，180]范围内的概率相等，均为0.47725.故该市高二男生身高在(174，180]范围内的人数为3000×0.47725≈1432.答案：(1)A(2)C(3)1432跟踪训练1解析：(1)因为随机变量X听从正态分布N(2，σ2)，所以μ＝2，对称轴是x＝2.因为P(ξ<4)＝0.8，所以P(ξ≥4)＝P(ξ<0)＝0.2，所以P(0<ξ<4)＝0.6，所以P(0<ξ<2)＝0.3.故选C.(2)由题意可得P(1<x<3)＝0.5－0.2＝0.3.∵随机变量X～N(1，σ2)，∴P(X<3)＝0.3＋0.5＝0.8.故选D.(3)∵X～N(100，0.01)，∴μ＝100，σ＝0.1，则P(99.8<X≤99.9)＝P(μ－2σ<X≤μ－σ)＝eq\f(1,2)[P(μ－2σ<X≤μ＋2σ)－P(μ－σ<X≤μ＋σ)]＝eq\f(1,2)×(0.9545－0.6827)＝0.1359.故随机抽取的10000个零件中尺寸在(99.8，99.9]内的个数约为10000×0.1359＝1359.答案：(1)C(2)D(3)1359题型三例2解析：(1)∵X～N(20，4)，∴μ＝20，σ＝2.∴P(18≤X≤22)＝P(20－2≤X≤20＋2)＝P(μ－σ≤X≤μ＋σ)≈0.6827.∴零件尺寸在18～22mm间的零件所占百分比大约是68.27%.(2)∵P(16≤X≤24)＝P(20－2×2≤X≤20＋2×2)＝P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)≈0.9545，P(14<X<26)＝P(20－3×2<X<20＋3×2)＝P(μ－3σ<X<μ＋3σ)≈0.9973，∴P(24≤X≤26)＝eq\f(1,2)[P(14≤X≤26)－P(1