人教版九年级数学 第二十四章 圆综合题拓展训练（14考点92题）

试卷第=page22页，共=sectionpages206206页第二十四章圆综合题拓展训练目录与链接考点一、常规最值问题………………2考点二、隐圆问题…………………10考点三、与圆有关的网格作图……………………23考点四、与园有关的尺规作图……………………32考点五、三角形的外接圆问题……………………40考点六、三角形的内切圆问题……………………56考点七、圆的平移…………………73考点八、圆的折叠问题……………84考点九、圆的旋转问题……………97考点十、正多边形和圆……………111考点十一、圆与函数的综合问题…………………126考点十二、圆的应用………………146考点十三、与圆有关的计算………………………162考点十四、圆的综合问题…………177考点一、常规最值问题1．（22-23九年级上·湖北武汉·阶段练习）如图，矩形的顶点，在半径为5的上，，当点在上运动时，点也随之运动，则矩形的对角线的最小值为（

）．A． B． C． D．2．（2024九年级下·全国·专题练习）如图，抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C．若点D为抛物线上一点且横坐标为，点E为y轴上一点，点F在以点A为圆心，2为半径的圆上，则的最小值．3．（2024·陕西渭南·二模）如图，在平行四边形中，，，，点F、点N分别为、的中点，点E在边上运动，将沿折叠，使得点D落在处，连接，点M为中点，则的最小值是．4．（2021·河南洛阳·三模）如图，半圆O的直径AB＝4cm，，点C是上的一个动点（不与点B，G重合），CD⊥OG于点D，CE⊥OB于点E，点E与点F关于点O中心对称，连接DE、DF，则△DEF面积的最大值为cm25．（23-24九年级上·江苏徐州·期中）如图，的半径为，点是半圆的中点，点是的一个三等分点（靠近点），点是直径上的动点，则的最小值．

6．（24-25九年级上·全国·课后作业）如图，在平面直角坐标系中，点C是以点为圆心，1个单位长度为半径的圆上一点，点B的坐标为，连接，D是的中点，连接，求的最大值．

考点二、隐圆问题7．（2024·安徽蚌埠·二模）如图，在正方形中，，M，N分别为边，的中点，E为边上一动点，以点E为圆心，的长为半径画弧，交于点F，P为的中点，Q为线段上任意一点，则长度的最小值为（

）

A． B． C． D．8．（23-24九年级上·北京东城·期末）如图，以为圆心，半径为的圆与轴交于两点，与轴交于两点，点为上一动点，于，当点在的运动过程中，线段的长度的最小值为（

）A． B． C． D．9．（2024九年级下·全国·专题练习）如图，正方形的边长为，点分别在、上，且，与相交于点，连接，则的最小值为．10．（23-24九年级上·湖北武汉·期中）如图，已知在中，，，将绕点A逆时针旋转．得到．点D是边的中点，点E为边上的动点，在绕点A逆时针旋转的过程中，点E的对应点是点，则线段长度的最大值与最小值的差是．11．（2023·江苏南通·模拟预测）直线分别与轴、轴相交于点、，边长为2的正方形的一个顶点在坐标系的原点，直线与相交于点，若正方形绕着点旋转一周，则点到点0,2长度的最小值是．12．（2024·山东济宁·模拟预测）如图，与x轴交于点A，B，与y轴交于点C，D，P为上一动点，Q为弦上一点，．若点D的坐标为(0,−5)，则的最小值为．13．（23-24九年级上·天津·期末）已知，均是边长为4的等边三角形，点D是边的中点．（Ⅰ）如图①，这两个等边三角形的高为；（Ⅱ）如图②，直线相交于点M，当绕点D旋转时，线段长的最小值是．14．（2024·吉林长春·一模）【问题呈现】数学兴趣小组遇到这样一个问题：如图①，是的半径，．点P在上，将点P沿的方向平移到点Q，使．当点P在上运动一周时，试探究点Q的运动路径．【问题解决】经过讨论，小组同学想利用平行四边形的知识解决该问题：如图②，在线段上截取，连结、，由平行四边形的性质可推出点Q的运动路径是以点B为圆心、3为半径的圆．下面是部分证明过程：证明：在线段上截取，连接、．1°当点P在直线外时，证明过程缺失2°当点P在直线上时，易知．综上，点Q的运动路径是以点B为圆心、3为半径的圆．请你补全证明中缺失的过程．【结论应用】在上述问题的条件下，记点M是线段的中点，如图②．若点P在上运动一周，则点M的运动路径长为．【拓展提升】如图③，在矩形中，，．点P是平面内一点，，将点P沿的方向平移到点Q，使．点M是线段上的任意一点，连结．设线段长度的最大值为a，最小值为b，则．考点三、与圆有关的网格作图15．（2024·天津和平·三模）如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，的顶点A，C均落在格点上，点B在网格线上．（Ⅰ）线段的长等于；（Ⅱ）以AB为直径作半圆，在的角平分线上有一点P，上有一点Q，使的值最小．请用无刻度的直尺，在如图所示的网格中，画出点P，并简要说明点P的位置是如何找到的（不要求证明）．16．（2024·天津武清·三模）如图，在每个小正方形的边长为的网格中，圆经过，，三点，点是圆与网格线的交点，点，均在格点上．（1）线段的长为；（2）请用无刻度的直尺，在如图所示的网格中，画出以点为顶点的，使得，并简要说明作图过程（不要求证明）．17．（23-24九年级上·天津·期末）如图，由边长为1的小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点，是的两条弦，且点A，B，C都是格点．仅用无刻度的直尺在给定的网格中完成画图，画图过程用虚线表示，画图结果用实线表示．（1）线段的长等于；（2）在如图所示的网格中，在直线的右侧找一点M，使得且，再在线段上找一点F，使，简要说明点M和F的位置是如何找到的（不要求证明）．18．（23-24九年级下·湖北武汉·阶段练习）如图，在的网格中，的三个顶点都在格点上．为的外接圆，请在指定的网格中用无刻度的直尺作图：(1)在图中标出这个外接圆的圆心，并写出________；(2)在图中画出的角平分线交于；(3)在图中画出关于直线对称的；(4)在图中，若交于点，画出平行四边形．19．（22-23九年级上·江苏南京·阶段练习）按要求作图：(1)如图1，在正方形网格中，有一圆经过了两个小正方形的顶点A，B，利用无刻度直尺画出这个圆的一条直径；(2)如图2，BA，BD是⊙O中的两条弦，C是BD上一点，BAC50，利用无刻度直尺在图中画一个含有50角的直角三角形；(3)如图3，利用无刻度直尺和圆规，以AB边上一点O为圆心，过A、D两点作⊙O（不写作法，保留作图痕迹）；(4)如图4，AB与圆相切，且切点为点B，利用无刻度直尺在网格中找出点B的位置．考点四、与园有关的尺规作图20．（21-22九年级上·江苏南京·期末）如图，已知P是⊙O外一点．用直尺和圆规作图．(1)过点P作一条直线l，使l与⊙O相切；(2)在⊙O上作一点Q，使∠OQP＝60°．（要求：保留作图痕迹，不写作法）21．（2023·广东湛江·一模）如图，已知四边形是矩形，把沿对角线翻折得到，交于点，是的外接圆．

(1)利用尺规作出的外接圆（要求保留作图痕迹，不写作法）；(2)求证：；(3)若，试判断与直线的位置关系，并说明理由．22．（23-24九年级上·江苏徐州·期中）据《尔雅·释器》记载：“好倍肉，谓之瑗（yuàn）．”如图1，“好”指中间的孔，“肉”指中孔以外的边（阴影部分），“好倍肉”指中孔和环边比例为．(1)观察：“瑗”的主视图可以作两个同心圆，根据图1中的数据，可得小圆与大圆的半径之比是_______；(2)联想：如图2，在中，，，平分交于点，则_______；(3)迁移：图3表示一个圆形的玉坯，若将其加工成玉瑗，请利用圆规和无刻度的直尺先确定圆心，再以题（2）的知识为作图原理作出内孔．（不写作法，保留作图痕迹）23．（22-23九年级下·河南商丘·阶段练习）年版《义务教育数学课程标准》在年月日正式投入使用，在这个课程标准中要求学生能利用尺规过圆外一点作圆的切线．下面是某数学兴趣小组在学过圆的相关知识后进行的一系列探究．已知：如图，为的切线，切点为．求作：的另一条切线，切点为．该数学兴趣小组的同学们展开了探究，经梳理，有以下几种作法：作法一：以点为圆心，长为半径作弧，交于点，作直线，则直线即为所求，如图所示．作法二：连接，作线段的垂直平分线，交于点，以点为圆心，长为半径作圆，交于点，作直线，则直线即为所求，如图所示．作法三：作直线，过点作的垂线交于点，作直线，则直线即为所求．

根据以上信息，完成下列问题：(1)该数学兴趣小组的某同学对根据作法二作出的图形进行了证明，过程如下：证明：连接，由作图，可知是的直径．∴（依据：①），即．又∵是的半径，∴直线为的切线（依据：②）．在上述证明过程中，“①”处应填写__________________；“②”处应填写________________．(2)根据作法三，请用尺规补全图．（保留作图痕迹）(3)若的半径为，，请你根据作法三作出的图形，求线段的长．考点五、三角形的外接圆问题24．（2022·湖北武汉·模拟预测）如图是由三个大小相同的正方形组成的“品”字型轴对称图案，测得顶点A，B之间的距离为5．现用一个等边三角形纸片将其完全覆盖，当此等边三角形面积最小时，则它的外接圆半径是（）

A． B． C． D．25．（23-24九年级上·湖北武汉·期末）已知，在中，，，以为直径的圆经过的外心，则的长为．26．（2021·河北保定·一模）如图1，在中，，点D和点E分别从点A、点B同时出发，在线段上以做等速运动，分别到达点B、点A后停止运动．设运动时间为t秒．(1)求证：；(2)若，求的度数；(3)当△ADC的外心在其外部时，请直接写出t的取值范围．27．（2020九年级·全国·专题练习）如图，在中，，D、E分别是、的中点，.（1）如图1，若，求的长度（用含a的代数式表示）；（2）如图2，将绕点A顺时针旋转，旋转角为，连接、，判断与的数量关系，并说明理由；（3）在（2）的条件下，当的外心在三角形的外部时，请直接写出的取值范围．28．（23-24九年级上·江苏连云港·阶段练习）在中，，，点是外一动点（点，点位于两侧），连接CD，AD．

(1)如图1，点是AB的中点，连接，，当为等边三角形时，的度数是______．(2)当时，①如图2，连接BD，探究线段BD，CD，之间的数最关系，并说明理由；②如图3，是的外接圆，点在上，点为AB上一点，连接CE，DE，当，时，直接写出面积的最大值．29．（23-24九年级下·浙江·阶段练习）我们将能完全覆盖某平面图形的最小圆称为该平面图形的最小覆盖圆．例如：线段的最小覆盖圆是以线段为直径的圆；不共线三点A、B、C的最小覆盖圆就是的外接圆．【操作探究】现有三个边长为的正方形．①小芳按图1方式摆放，则最小覆盖圆的直径为________；②小玲按图2方式摆放，则最小覆盖圆的直径为________；③小慧发现另一种摆放方式，其最小覆盖圆的直径比他俩都小，请你也设计一种比小芳和小玲都小的摆放方式，并求出最小覆盖圆的直径．【延伸运用】某地有四个村庄E，F，G，H（其位置如图3所示），现拟建一个广播信号中转站，为了使这四个村庄的居民都能接收到广播信号，且使中转站所需发射广播功率最小（距离越小，所需功率越小），请在图中画出中转站所建位置．30．（22-23九年级上·浙江嘉兴·期中）如图1，已知抛物线经过原点，它的对称轴是直线，动点从抛物线的顶点出发，在对称轴上以每秒1个单位的速度向上运动，设动点运动的时间为秒，连接并延长交抛物线于点，连接，．(1)求抛物线的函数解析式；(2)当为直角三角形时，求的值；(3)如图2，为的外接圆，在点的运动过程中，点也随之运动变化，请你探究：在时，求点经过的路径长度．考点六、三角形的内切圆问题31．（22-23九年级下·广东梅州·开学考试）若四边形的对角线，BD相交于，，，，的周长相等，且，，的内切圆半径分别为，，，则的内切圆半径是（）A． B． C． D．以上答案均不正确

32．（2024·江苏无锡·二模）如图，在矩形中，，将边翻折到，使点D的对应点E在边上；再将边翻折到，点A的对应点为F，连接．（1）若，则的长为；（2）若点F为的内心，则的长为．33．（22-23九年级上·安徽·阶段练习）如图，为的外接圆，是的中点，接交于点，延长至点，使得平分．(1)求证：直线是的切线．(2)若的半径为，，求的长．(3)在（）的前提下，点在上，的内心在边上，求的长．34．（23-24九年级上·广东江门·阶段练习）如图，为的直径，C、D为圆上两点，平分，，．

(1)求证：为切线；(2)用直尺和圆规：作的内心点I．并求长；(3)求长．35．（2022九年级下·浙江·专题练习）如图，为的外接圆，D为与的交点，E为线段延长线上一点，且．(1)求证：直线是的切线．(2)若D为的中点，，，①求的半径；②求的内心到点O的距离．36．（21-22九年级上·广东茂名·期末）如图，在中，，与的角平分线相交于点，的延长线交的外接圆于点，连接．(1)求证：；(2)证明：点、、在以点为圆心的同一个圆上；(3)若，，求内心与外心之间的距离．37．（23-24九年级下·吉林长春·期中）【模型提出】如图，已知线段的长度为，在线段所在直线外有一点，且，想确定满足条件的点的位置，可以以为底边构造一个等腰直角三角形，再以点为圆心，长为半径画圆，则点在的优弧上.即：若线段的长度已知，的大小确定，则点一定在某一个确定的圆上，即定弦定角必定圆，我们把这样的几何模型称之为“定弦定角”模型.【模型应用】如图，在正方形中，，点分别是边、上的动点，，连接、，与交于点.

(1)求证：；(2)点从点到点的运动过程中，点经过的路径长为______；(3)若点是的内心，连接，则线段的最小值为______.考点七、圆的平移38．（22-23九年级下·广东深圳·期中）如图，在位于轴右侧且半径为6的，从的位置沿直线向上平移，交直线于点，且是与轴的一个公共点，若，则四边形的面积是（

）A．42 B．64 C．68 D．4839．（21-22九年级上·安徽六安·期末）如图所示，直线与x轴、y轴分别交于点M，N，的半径为1，将以每秒1个单位的速度向右作平移运动，当移动秒时，直线恰好与相切．40．（23-24九年级上·河北廊坊·阶段练习）如图1，在中，，，，点O在边AB上，且，以点O为圆心，2为半径在AB的上方作半圆O，交AB于点D，E，交AC于点P．将半圆O沿AB向右平移，设点D平移的距离为．(1)在图1中，劣弧的长为________；(2)当半圆O平移到与边AC相切时，如图2所示．①求x的值；②已知M，N分别是边BC与上的动点，连接MN，求MN的最小值和最大值之和；(3)在半圆O沿边AB向右平移的过程中，当半圆O与的重叠部分是半圆O时，直接写出x的取值范围．41．（22-23九年级上·江苏淮安·期中）在平面直角坐标系中，的半径为1，A、B为外的两点，．给出如下定义：平移线段得到的弦，（，分别是A，B的对应点），线段的最小值称为线段到的“平移距离”(1)平移线段得到的长度为的弦和，则这两条弦的位置关系是______；在点，，，中，连接点A与点______的线段的长度等于线段到的“平移距离”；(2)若A、B两点在直线上，记线段到的“平移距离”为，求的最小值；(3)若点A的坐标是，记线段到的“平移距离”为d3，①求d3②当d3取得最小值时点的坐标为______．42．（20-21九年级上·江苏宿迁·阶段练习）如图1，已知线段，的长是方程的两根，且，点的坐标为，与轴相切于点．（1）求点和点的坐标及的度数；（2）以每秒1个单位长度的速度沿轴负方向平移，同时，直线绕点顺时针匀速旋转．当第一次与轴相切时，直线也恰好与第一次相切．问：直线绕点每秒旋转多少度？（3）如图2，过，，三点作，点是劣弧上一点，连接，，，当点在劣弧上运动时（不与，两点重合），的值是否发生变化？如果不变，求其值；如果变化，说明理由．考点八、圆的折叠问题43．（21-22九年级下·湖北武汉·阶段练习）如图，是的直径，是弦，沿对折劣弧，交于点D，E、F分别是和的中点，令为所在圆的圆心，若，，则的长为（

）A． B． C． D．44．（21-22九年级上·浙江台州·期中）一张圆形纸片，小芳进行了如下连续操作：将圆形纸片左右对折、折痕为AB，将圆形纸片上下折叠使A、B两点重合，折痕CD与AB相交于M，将圆形纸片沿EF折叠使B、M两点重合，折痕EF与AB相交于N．连结AE、AF，经过以上操作小芳得到了以下结论：①CDEF；②四边形MEBF是菱形；③△AEF为等边三角形④．以上结论正确的有（

）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个45．（23-24九年级上·浙江宁波·阶段练习）如图，在半圆O中，C是半圆上一点，将沿弦折叠交直径于点D，点E是的中点，连结，若的最小值为，则的长为（

）A． B． C． D．46．（2024·江西·中考真题）如图，是的直径，，点C在线段上运动，过点C的弦，将沿翻折交直线于点F，当的长为正整数时，线段的长为．47．（2022·上海·一模）如图，已知扇形AOB的半径为6，圆心角为90°，E是半径OA上一点，F是上一点．将扇形AOB沿EF对折，使得折叠后的圆弧恰好与半径OB相切于点G，若OE＝5，则O到折痕EF的距离为．48．（2019·浙江温州·一模）如图，AB为⊙O的直径，点C是⊙O上一点，CD是⊙O的切线，∠CDB＝90°，BD交⊙O于点E．（1）求证：．（2）若AE＝12，BC＝10．①求AB的长；②如图2，将沿弦BC折叠，交AB于点F，则AF的长为49．（2024·云南·模拟预测）如图，在等边三角形中，，点E是射线上的一个动点，点D随着点E的运动而在射线上运动，连接，始终有，是的外接圆．(1)为如图1，若点D在边上，求证：是的切线；(2)如图2，若圆心O在边上时，求的长；(3)如图3，当点E运动到边的延长线上时，将的优弧沿直线翻折，交的垂线于点F，若，求弧的长．考点九、圆的旋转问题50．（2024·山东临沂·二模）如图，将半径为4，圆心角为的扇形绕点A逆时针旋转得扇形，点O，B的对应点分别为点C，D．当点C落在上时旋转停止，则阴影部分的面积为．51．（22-23九年级上·浙江宁波·开学考试）如图，为半圆的直径，且，半圆绕点B顺时针旋转，点A旋转到点的位置，则图中的阴影部分的面积为．52．（22-23九年级上·河北邢台·期末）在等边三角形中，于点D，半圆O的直径开始在边上，且点E与点C重合，．将半圆O绕点C顺时针旋转，当时，半圆O与相切于点P．如图1所示．(1)求的长度；(2)如图2．当，分别与半圆O交于点M，N时，连接，，．①求的度数；②求的长度；(3)当时，将半圆O沿边向左平移，设平移距离为x．当与的边一共有两个交点时，直接写出x的取值范围．53．（23-24九年级下·浙江杭州·阶段练习）图形的旋转蕴含于自然界的运动变化规律中，即“变”中蕴含着“不变”，这是我们解决图形旋转的关键．三角形的旋转如此，扇形的旋转也如此．【问题情境】如图1，，将绕点O顺时针旋转成扇形，点C是延长线上一点，，过点C作射线，求弧的长．【问题解决】如图2，将上题中的扇形绕点B按顺时针方向旋转，若旋转后的扇形和射线相切与点D，求的长．【问题拓展】如图3，将题（1）中的扇形继续旋转，使旋转后点落在射线上，弧与射线交于另一点E，求的长．54．（23-24九年级上·河北张家口·期中）在矩形中，，，连接，．将半圆形量角器放在如图1所示的位置，其直径在边上，点E是量角器上的零刻度，交于点F，点O是半圆形量角器所在圆的圆心．

图1

图2

备用图(1)求点F在半圆形量角器上的读数；(2)将半圆形量角器绕点A顺时针旋转．①当点E旋转到上时，交于点M，如图13－2所示．求证：与半圆形量角器相切，并求图2中阴影部分的面积；②在旋转过程中，当与直线只有一个交点（不包括端点A，E）时，设此交点与点C的距离为d，请直接写出d的取值范围．55．（23-24九年级上·河北邢台·期中）如图1，在正方形中，，点与点重合，以点为圆心，作半径长为5的半圆，交于点，交的延长线于点，点是的三等分点（点在点的左侧）．将半圆绕点逆时针旋转，记旋转角为，旋转后，点的对应点为点．(1)如图2，在旋转过程中，当经过点时．①求的度数；②求图中阴影部分的面积；(2)在旋转过程中，若半圆与正方形的边相切，请直接写出点到切点的距离．考点十、正多边形和圆56．（21-22九年级上·山东淄博·期末）已知四个正六边形如图摆放在图中，顶点A，B，C，D，E，F在圆上．若两个大正六边形的边长均为2，则小正六边形的边长是（

）

A． B． C． D．57．（2023·浙江温州·三模）图1是由两个正六边形组成的壁挂置物架，轴对称仙人堂盆栽放置在木板上，图2是其示意图．两个正六边形的边与，与均在同一直线上．木板（木板厚度忽略不计），，则的长为．盆栽由矩形和圆弧组成，且，，恰好在同一直线上，已知，圆弧最高点到的距离与线段的长度之比为，则圆弧的半径为．58．（22-23九年级上·湖北恩施·期末）已知的半径为a，按照下列步骤作图：（1）作的内接正方形ABCD（如图1）；（2）作正方形的内接圆，再作较小圆的内接正方形（如图2）；（3）作正方形的内接圆，再作其内接正方形（如图3）；…；依次作下去，则正方形的边长是．59．（2023·浙江温州·三模）杭州奥体网球中心以极度对称的“莲花”造型惊艳众人．该建筑底部是由24片全等“花瓣”组成的“固定花环”，上方穹顶由8片全等“旋转花瓣”均匀连接，可根据天气变化合拢或旋转展开．小明借助圆的内接正多边形的知识，模拟“小莲花”变化状态．穹顶合拢时，如图①，正二十四边形顶点，正八边形顶点与圆心O共线，正二十四边形顶点，与正八边形顶点，共线，则的值为；穹顶开启时，如图②，所有“旋转花瓣”同时绕着固定点，，…，逆时针同速旋转．圆心O绕旋转后的对应点为，以此类推，当落在上时，若米，则的值为米．

60．（2021·浙江温州·一模）某厂家要设计一个装彩铅的纸盒，已知每支笔形状、大小相同，底面均为正六边形，六边形边长为1cm.目前厂家提供了圆形和等边三角形两种作为底面的设计方案，我们以6支彩铅为例，可以设计如图的两种收纳方案：（1）如果要装6支彩铅，在以上两种方案里，你认为更小的底面积是cm.（2）如果你要装12只彩铅，要求相邻彩铅拼接无空隙，请设计一种最佳的布局，并使用圆形来设计底面，则底面半径的最小值为cm.61．（23-24九年级上·广东东莞·期中）如图①，正六边形ABCDEF的边长为a，P是BC上一动点，过P作PMAB交AF于M，作PNCD交DE于N.(1)求出的度数，并证明；(2)如图②，点是的中点，连接、，求证：；(3)如图③，点O是AD的中点，OG平分，求证：四边形OMGN是菱形.62．（23-24九年级上·广东汕头·期中）【给出问题】：已知：是正方形的外接圆，点P在上（除A、B外），试求的度数．【分析问题】：善于思考的小明在分析上述题目后，有了以圆为工具来解决问题的思路．用圆来画出准确的示意图就能顺利解题了，在此基础上进一步探索就有了新发现．请善于思考的你帮助解答以下问题：（1）①尺规作图，在中作出内接正方形（保留痕迹，不写作法）．②原题中．【深入思考】：（2）【问题】如图1，若四边形是的内接正方形，点P为弧上一动点，连接，请探究三者之间或者三者之间有何数量关系，并给予证明．（3）【拓展】如图2，若六边形是的内接正六边形，点P为弧上一动点，请探究三者之间有何数量关系：（不写证明过程）．（4）【应用】如图3，若四边形是矩形，点P为边上一点，，，，试求矩形的面积．

考点十一、圆与函数的综合问题63．（2022·四川泸州·模拟预测）已知在平面直角坐标系中，为坐标原点，点是反比例函数图像上的一个动点，若以点为圆心，为半径的圆与直线相交，交点为、，当弦的长等于时，点的坐标为．64．（23-24九年级上·浙江绍兴·期末）根据以下情境信息，探索完成任务．公路涵洞改造方案的设计与解决情境1图1是某公路涵洞，图2是其截面示意图，它由圆心在点的劣弧和矩形构成．测得公路宽，涵洞直壁高，涵洞顶端高出道路（）（即）．情境2现需对公路进行拓宽，改造成双向隔离车道，并同步拓宽涵洞，中间设置宽为的隔离带，两边为机动车道．如图3，改造后的公路宽，涵洞直壁高和涵洞顶端到的距离保持不变．

改造方案方案一如图4，将涵洞上半部分劣弧改造成顶点为的抛物线一部分的形式．

方案二如图5，将涵洞上半部分劣弧改造成仍为劣弧的形式

问题解决任务1按方案一改造以点为坐标原点，所在直线为轴建立平面直角坐标系，求抛物线的函数表达式．任务2按方案二改造求涵洞上半部分劣弧所在圆的半径．任务3隔离带最大宽度的确定要使高，宽的货运车能通过此公路涵洞，分别求出两种改造方案下的最大值（，，结果精确到）．任务三：65．（2024·广东珠海·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线与x轴交于两点，与y轴交于C点，且．(1)求抛物线的解析式；(2)在第一象限内抛物线上是否存在点M，使，如果存在，求M点的坐标，如果不存在，说明理由；(3)若D是抛物线第二象限上一动点，过点D作轴于点F，过点A、B、D的圆与交于E点，求的面积．66．（2024·湖南长沙·一模）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线与x轴交于两点，与y轴交于C点，且．

(1)求该抛物线的解析式；(2)抛物线上是否存在点M，使，如果存在，求点M的坐标，如果不存在，说明理由；(3)若点D是抛物线第二象限上一动点，过点D作轴于点F，过点的圆与交于点E，连接，求的面积．

67．（23-24九年级下·福建福州·期中）如图，已知抛物线的图象与x轴交于点A−2,0和点，与y轴交于点C．连接．

(1)求抛物线的解析式；(2)点M在直线下方的抛物线上，过点M作，交于点N，求的最大值，并写出此时点M的坐标；(3)点P是的外心，点Q在抛物线上，且位于y轴左侧，若，求点Q的坐标．68．（2023·广东佛山·一模）二次函数．(1)当时，函数图象与轴交于点、，与轴交于点．①写出函数的一个性质；②如图1，点是第四象限内函数图象上一动点，求出点坐标，使得的面积最大；③如图2，点为第一象限内函数图象上一动点，过点作.轴，垂足为，的外接圆与交于点，求的长度；(2)点、为函数图象上任意两点，且.若对于时，都有，求的取值范围．69．（2023·浙江湖州·模拟预测）如图1，抛物线的顶点为，与轴交于点，其对称轴与轴交于点，点是抛物线对称轴左侧一动点，以AB和AD为边作，连结DE．已知抛物线经过点．(1)求该抛物线的函数表达式．(2)若、、三点在同一直线上，记的面积为，求证：．(3)连结BD，若，(如图2)，将沿DE边翻折，得到，试探究：在轴上是否存在点，使？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由考点十二、圆的应用70．（2023·河北衡水·二模）如图1，某校学生礼堂的平面示意图为矩形，其宽米，长米，为了能够监控到礼堂内部情况，现需要在礼堂最尾端墙面上安装一台摄像头进行观测，并且要求能观测到礼堂前端墙面区域，同时为了观测效果达到最佳，还需要从点出发的观测角．甲、乙二人给出了找点的思路，以及的值，下面判断正确的是(

)甲：如图2，在矩形中取一点，使得，即为所求，此时米；乙：如图3，在矩形中取一点，使得，且，以为圆心，长为半径画弧，交于点，，则，均满足题意，此时或．A．甲的思路不对，但是的值对 B．乙的思路对，的值都对且完整C．甲、乙求出的的值合在一起才完整 D．甲的思路对，但是的值不对71．（2024·浙江温州·二模）图1是圆形置物架，示意图如图2所示，已知置物板，且点E是BD的中点，测得，，，，则该圆形置物架的半径为cm．72．（23-24九年级上·浙江温州·阶段练习）图1是车载手机支架实物图，图2是其正面示意图，其中，，为伸缩杆，其中，支架最大宽度，支架的高为，则外接圆的半径为，当一部宽为的手机置于支架中，如图3，此时手机夹臂收缩，手机托下移，手机伸缩杆的移动距离相同，形成的外接圆的圆心为点，若，则为cm．

73．（2024·陕西西安·一模）【问题提出】（）如图，为的弦，在上找一点并画出，使点到的距离最大；（不需要说明理由）【问题探究】（）如图，在扇形中，点为扇形所在圆的圆心，点为上一动点，连接，与交于点，若，，求的最大值；【问题解决】（）某公园有一圆形水池（如图），是水池上的两座长度相等的小桥，且，现规划人员计划再修建两座小桥和，桥的入口在水池边上（即点在上），为使游客观赏效果最佳，要求四座桥围成的四边形面积最大，已知，修建小桥的成本为元，当四边形的面积最大时，求修建和两座小桥的总成本．74．（2024·陕西西安·模拟预测）（1）如图①，点P为上一点，，垂足分别为点A与点H，若，则的最大值为；(2)如图②，在中，，D是边上一点，且，点E是边上一点，将沿折叠，则点C落在F处，连接，求周长的最小值；（3）如图③，是某花园的设计示意图，已知，，，，弧为上的一段优弧，点E为弧上的一点，过点E与点O铺设一条观赏小路，过点A铺设一条与之垂直的观赏小路，垂足为F，现计划在内种植牡丹花，已知牡丹花每平米的成本费为500元，则种植牡丹花所需费用至少为多少元？75．（23-24九年级上·陕西西安·期末）【发现问题】如图1，在画展厅，为保护展品，会放置围栏分隔观赏者和展品，现在数学小组想知道围栏位置是否合适，做出以下研究．【资料查阅】1471年德国数学家米勒也提出过类似问题，如图2，观赏最佳的位置就是展品的最高点A与最低点B与观赏者的眼睛C所形成的视角最大．【米勒定理】如图3，当经过A，B，C三点的与过点C的水平线相切于点C时，视角最大，站在此处观赏最理想．这是为什么呢？请思考后完成填空：设点是上任意一个异于C的点，是的外角，______（填“、或”），又______，．眼睛位于点C处时，最大．【问题解决】如图4，在上述定理基础上，假如竖直墙壁上的展品的最高点A距离地面的高度为3.4米，最低点B距离地面的高度为2.4米，观赏者的眼睛C距离地面的高度为1.6米，那么围栏放在什么位置最合适呢？76．（23-24九年级上·江苏苏州·阶段练习）【观察思考】：某种在同一平面进行传动的机械装置如图1，图2是它的示意图．其工作原理是：滑块在平直滑道上可以左右滑动，在滑动的过程中，连杆也随之运动，并且带动连杆绕固定点摆动．在摆动过程中，两连杆的接点在以为半径的上运动．数学兴趣小组为进一步研究其中所蕴含的数学知识，过点作于点，并测得分米，分米，分米．

(1)点在上滑到最左端的位置与滑到最右端位置间的距离是______分米；(2)如图3，小明同学说：“当点滑动到点的位置时，与是相切的．”你认为他的判断对吗？为什么？(3)小丽同学发现：“当点运动到上时，点到的距离最小．”事实上，还存在着点到距离最大的位置，此时，点到的距离是______分米；考点十三、与圆有关的计算77．（23-24九年级下·河南驻马店·阶段练习）在如图所示的网格中，每个小正方形的边长为，点、、均为格点，点为的三等分点（靠近点），点、分别是线段、上的动点，且，点为的中点，连接、．在滑动的过程中，当值最小时，阴影部分的面积是．78．（2024·河南南阳·二模）如图，在扇形中，，半径，点C是上一点，连接，沿将扇形折叠，使得点A落在的延长线上的点D处，连接，则图中阴影部分面积为(结果保留π)．79．（2023·广西贵港·模拟预测）如图，将半径为4，圆心角为的扇形绕弧的中点逆时针旋转，点，的对应点分别为点，点落在上，点落在上，则图中阴影部分的面积为．80．（2020·山东烟台·一模）如图，在一圆柱铁桶内底面的点处有一飞虫，在其上边沿的点处有一面包残渣，已知是点正下方的桶内底面上一点，已知劣弧的长为，铁桶的底面直径为，桶高为60cm，则该飞虫从点到达的最短路径是cm．

81．（22-23九年级上·四川绵阳·期末）如图，为直径，为的弦，，延长至，且，的半径为6．(1)求证：直线与相切；(2)如图1，若，求阴影部分面积；(3)如图2，若，求的值．82．（2023·江苏宿迁·模拟预测）在矩形中，，点、分别是边、上的动点，且，连接，将矩形沿折叠，点落在点处，点落在点处．(1)如图1，当与线段交于点时，求证：；(2)如图2，当点在线段的延长线上时，连结交于点连结．求证：；(3)当时，在点由点移动到中点的过程中，直接写出点运动的路线长．83．（2023·江苏南京·二模）在平面内，将小棒经过适当的运动，使它调转方向(调转前后的小棒不一定在同一条直线上)，那么小棒扫过区域的面积如何尽可能地小呢？已知小棒长度为4，宽度不计．方案1：将小棒绕中点O旋转180°到，设小棒扫过区域的面积为(即图中灰色区域的面积，下同)；方案2：将小棒先绕A逆时针旋转60°到，再绕C逆时针旋转60°到，最后绕B逆时针旋转60°到，设小棒扫过区域的面积为．

(1)①______，______；(结果保留)②比较与的大小．(参考数据：，．)(2)方案2可优化为方案3：首次旋转后，将小棒先沿着小棒所在的直线平移再分别进行第2、3次旋转，三次旋转扫过的面积会重叠更多，最终小棒扫过的区域是一个等边三角形．①补全方案3的示意图；②设方案3中小棒扫过区域的面积为，求．(3)设计方案4，使小棒扫过区域的面积小于，画出示意图并说明理由．84．（22-23九年级上·山西临汾·阶段练习）综合与实践问题情境：如图，将一个圆锥的侧面展开后可得到一个圆心角为，半径为l的扇形，圆锥底面是一个半径为r的圆．母线在展开图上对应的半径经过的中点．(1)特例研究：当，时，，展开图上，与OB的夹角为．(2)问题提出：求证：．(3)问题解决：如图2，一种纸质圆锥形生日帽，底面直径为，母线长也为，为了美观，想在底面圆上一点A和与之相对的母线PB中点C之间拉一条细彩带进行装饰，求彩带长度的最小值．（提示：尝试画出圆锥侧面展开图）考点十四、圆的综合问题85．（23-24九年级上·福建厦门·期中）如图1，在中，D在边上，圆O为锐角的外接圆，连接并延长交于点E，设．

(1)若，求的度数；(2)如图2，作，垂足为F，与交于点G，已知．①求证：；②若，求的值．86．（2024·山东济宁·二模）【初步感知】（1）如图1，点A，B，P均在上，若，则锐角的大小为______度；【深入探究】（2）如图2，小明遇到这样一个问题：是等边三角形的外接圆，点P在上（点P不与点A，C重合），连接，，．求证：；小明发现，延长至点E，使，连接，通过证明．可推得是等边三角形，进而得证.请根据小明的分析思路完成证明过程．【启发应用】（3）如图3，是的外接圆，，，点P在上，且点P与点B在的两侧，连接，，，若，则的值为_____．87．（23-24九年级上·浙江台州·期末）如图，内接于，，点是上的动点（不与点，，重合），连接，，．

(1)当点在上时（不与点，重合），求的度数；（用含的式子表示）(2)如图，当点在上时，过点作AD⊥BP于点．①请探究线段，和之间的数量关系，并证明；②若，则________；(3)若，在点运动过程中，，过点作AD⊥BP于点，求的长．88．（23-24九年级上·江苏无锡·期末）如图1，在中，，，．点是射线上一动点，作的外接圆．(1)若圆心在边上，如图2，则此时的长为______；(2)当与的某一边所在的直线相切时，求此时的长；(3)随着点的运动，与的边的公共点的个数有哪些变化？直接写出对应的长的值或取值范围．89．（23-24九年级上·湖北武汉·阶段练习）正方形和等腰共顶点，将绕点逆时针旋转一周．(1)如图1，当点与点重合时，若，求的长；(2)如图2，为中点，连接，探究的关系，并说明理由；(3)如图3，在（2）条件下，连接，若，在旋转过程中，的最小值为___________．90．（23-24九年级上·河北廊坊·期中）在矩形中，，，连接，，将半圆形量角器放在如图1所示的位置，其直径在边上，点是量角器上的零刻度，交于点，点是半圆形量角器所在圆的圆心．(1)求点在半圆形量角器上的度数；(2)将半圆形量角器绕点顺时针旋转．①当点旋转到上时，交AB于点，如图所示．求证：与半圆形量角器相切；②在旋转过程中，当与直线只有一个交点（不包括端点，）时，设此交点与点的距离为，请直接写出的取值范围．91．（22-23九年级上·广东广州·阶段练习）如图1，在中，，于，为AB边上的点，过、、三点的交于，连接DE，．

(1)求证：；(2)如图2，点为弧DE上一动点，连接，，．在点运动过程中，试探索，，之间的数量关系，并证明；(3)如图3，在扇形中，为弧上任意一点，过点作于点，设为的内心，当点从点运动到点时，请直接写出内心所经过的路径长．92．（2024·山东·模拟预测）综合与实践【问题解决】（1）如图1，射线、的夹角为，平面内有一点C，连接、，．若，，求线段与线段的长；【延伸思考】（2）如图2，当，，时，在射线上取一点E，过点E向BC的延长线作垂线，垂足为点F，连接，．以为直径作．C点为线段上的一个动点，连接，并且．当与相切时，连接，求的长；【思维拓展】（3）在图2的构图基础上深入探究：如图3，已知点A、B成为平面内的动点，点O、C为定点，且．若，，其他条件与（2）相同，求的最大值．

第二十四章圆综合题拓展训练目录与链接考点一、常规最值问题………………2考点二、隐圆问题…………………10考点三、与圆有关的网格作图……………………23考点四、与园有关的尺规作图……………………32考点五、三角形的外接圆问题……………………40考点六、三角形的内切圆问题……………………56考点七、圆的平移…………………73考点八、圆的折叠问题……………84考点九、圆的旋转问题……………97考点十、正多边形和圆……………111考点十一、圆与函数的综合问题…………………126考点十二、圆的应用………………146考点十三、与圆有关的计算………………………162考点十四、圆的综合问题…………177考点一、常规最值问题1．（22-23九年级上·湖北武汉·阶段练习）如图，矩形的顶点，在半径为5的上，，当点在上运动时，点也随之运动，则矩形的对角线的最小值为（

）．A． B． C． D．【答案】A【分析】如图，取的中点，连接，，在Rt中，为中点，，当时，最小，此时矩形的对角线最小.、、三点共线时，最小，此时在Rt△OAM中，设，知道，长度，根据勾股定理建立方程，即可求解的长度，进而求得的长度.【详解】解：如图，取的中点，连接，，在Rt中，为中点，，当时，最小，此时矩形的对角线最小，∵，为弦，为中点，∴在过的直径上，而为圆心，则、、三点都在一条直线上；故、、三点共线时，最小；此时在Rt△OAM中，设，知道，，有，有，解得，(舍去)，，故选A．【点睛】本题考查了圆内动点问题、垂径定理等知识，根据垂径定理作出图形是解题的关键．2．（2024九年级下·全国·专题练习）如图，抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C．若点D为抛物线上一点且横坐标为，点E为y轴上一点，点F在以点A为圆心，2为半径的圆上，则的最小值．【答案】【分析】此题考查了二次函数与轴的交点，利用轴对称求最短路线，圆的性质，勾股定理等，解答此题的关键是准确的求出二次函数与轴的交点坐标，难点是确定当为最小式，点，的位置．先求出，点坐标，做辅助线如图求点坐标，根据图像即可分析出答案．【详解】解：对于，当时，，解得：，，∴点的坐标为，对于，当时，，∴点的坐标为，作点关于轴对称的点，则点，连接交于轴与，交与，过点作轴与，连接，当点与点重合，点与点重合时，为最小，最小值为线段的长．理由如下：当点与点不重合，点与点不重合时，根据对称轴的性质可知：，∴，根据“两点之间线段最短”可知：，即：，∵，∴，即：，∴当点与点重合，点与点重合时，为最小．∵点，A−4,0，∴，，，∴，在中，，，由勾股定理得：，∴，即的最小为，故答案为：．3．（2024·陕西渭南·二模）如图，在平行四边形中，，，，点F、点N分别为、的中点，点E在边上运动，将沿折叠，使得点D落在处，连接，点M为中点，则的最小值是．【答案】/【分析】根据三角形中位线定理可得，知当取得最小值时，取得最小值，由折叠知，点在以点F为圆心，的长为半径的半圆弧上运动，当点运动到线段上时，取得最小值，为，过点F作于点H，，根据30°的直角三角形的性质可得的长与的长，根据勾股定理求出的长，进一步可得的最小值，即可求出的最小值．【详解】连接，，∵点N为的中点，点M为中点，∴，∴当取得最小值时，取得最小值，∵平行四边形中，，点F为的中点，∴，由折叠知，，∴点在以点F为圆心，的长为半径的半圆弧上运动，当点运动到线段上时，取得最小值，最小值为，过点F作于点H，如图所示，则，∵，，∴，∴，∴，，∵，∴，∴，∴的最小值为，∴的最小值为，故答案为：．【点睛】本题主要考查了平行四边形折叠．熟练掌握平行四边形性质，折叠性质，三角形中位线定理，含30°的直角三角形性质，勾股定理解直角三角形，是解决问题的关键．4．（2021·河南洛阳·三模）如图，半圆O的直径AB＝4cm，，点C是上的一个动点（不与点B，G重合），CD⊥OG于点D，CE⊥OB于点E，点E与点F关于点O中心对称，连接DE、DF，则△DEF面积的最大值为cm2【答案】2【分析】连接OC，设OD＝x，OE＝OF＝y．根据S△DEF＝×EF×OD＝×2y×x＝xy，当xy的值最大时，△DEF的面积最大；根据矩形的性质，通过判定四边形ODCE是矩形，得；根据勾股定理、完全平方公式的性质分析，可得结论．【详解】连接OC，设OD＝x，OE＝OF＝y．∵∴OG⊥AB，∵S△DEF＝×EF×OD＝×2y×x＝xy，∴xy的值最大时，△DEF的面积最大，∵CD⊥OG于点D，CE⊥OB于点E，∴∠CEO＝∠CDO＝∠DOE＝90°，∴四边形ODCE是矩形，∴∴x2+y2＝22，即x2+y2＝4，∵（x﹣y）2≥0，∴x2+y2≥2xy，∴2xy≤4，∴xy≤2，∴xy的最大值为2，∴△DEF的面积的最大值为2cm2故答案为：2．【点睛】本题考查了圆、勾股定理、中心对称、矩形、完全平方公式的知识；解题的关键是熟练掌握圆的对称性、勾股定理、完全平方公式的性质，从而完成求解．5．（23-24九年级上·江苏徐州·期中）如图，的半径为，点是半圆的中点，点是的一个三等分点（靠近点），点是直径上的动点，则的最小值．

【答案】【分析】如图，作点关于直径的对称点，根据圆的对称性可知点在圆上，连接，交直径于点，此时的最小值是的长，根据弧的度数等于它所对圆心角的度数可知，，根据对称的性质可得，，由垂径定理及推论可知，，根据角的直角三角形和勾股定理可得，即可得出答案．【详解】解：如图，作点关于直径的对称点，则点在圆上，连接，交直径于点，∴，则的最小值是的长，∵点是半圆的中点，的半径为，∴等于半圆的一半，∴，∵点是的一个三等分点（靠近点），∴等于的，∴，∵点与点关于直径的对称，∴，∴，∴，，∴，∵，∴，∴，∴，∴，即的最小值是．故答案为：．

【点睛】本题考查对称的性质，弧的度数和圆心角的关系，垂径定理及推论，等腰三角形的性质，两点之间线段最短，角的直角三角形和勾股定理等知识点，掌握弧的度数和圆心角的关系，垂径定理以及直角三角形的边角关系是解题的关键．6．（24-25九年级上·全国·课后作业）如图，在平面直角坐标系中，点C是以点为圆心，1个单位长度为半径的圆上一点，点B的坐标为，连接，D是的中点，连接，求的最大值．

【答案】3【分析】本题考查了利用轴对称求最短距离问题，三角形的中位线定理，勾股定理，圆的基本性质，掌握圆外一点到圆上任意一点距离的最长线段经过圆心是解本题的关键．作点B关于y轴的对称点，连接，根据三角形中位线定理得，当最大时，有最大值，确定当，，共线时，有最大值，从而解答即可．【详解】解：作点B关于原点O的对称点，连接，如图①．

∵D是的中点，∴如图②，当点C运动到的延长线上时，最大，此时也最大．∵∴∵，∴，∴的最大值为，∴的最大值为3．考点二、隐圆问题7．（2024·安徽蚌埠·二模）如图，在正方形中，，M，N分别为边，的中点，E为边上一动点，以点E为圆心，的长为半径画弧，交于点F，P为的中点，Q为线段上任意一点，则长度的最小值为（

）

A． B． C． D．【答案】B【分析】如图，连接，为的中点，可得，则在以为圆心，为半径的圆弧上运动，当四点共线时，最小，再进一步求解即可．【详解】解：如图，连接，

∵正方形，，∴，，∵分别，的中点，∴，，∵为的中点，∴，∴在以为圆心，为半径的圆弧上运动，当四点共线时，最小，此时，，∴，∴，即的最小值为：，故选B【点睛】本题考查的是直角三角形斜边上的中线的性质，勾股定理的应用，等腰三角形的性质，正方形的性质，圆的确定，熟练的确定P的运动轨迹是解本题的关键．8．（23-24九年级上·北京东城·期末）如图，以为圆心，半径为的圆与轴交于两点，与轴交于两点，点为上一动点，于，当点在的运动过程中，线段的长度的最小值为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】本题考查垂径定理、直角三角形30度角的判定和性质、勾股定理等知识连接，作，连接，可知点在以为直径的圆上移动，当点在的延长线上时，的长最小，根据含的直角三角形的性质和勾股定理求出，即可求解，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题．【详解】连接，作，连接，，∴，∵为圆心，半径为，∴，，在中，，∴，∴，，∵，∴，∴∴，∴，，∴，∵，∴点在以为直径的圆上移动，当点在的延长线上时，的长最小，最小值为，故选：．9．（2024九年级下·全国·专题练习）如图，正方形的边长为，点分别在、上，且，与相交于点，连接，则的最小值为．【答案】【分析】本题考查了正方形的性质，圆周角定理，勾股定理，以及全等三角形的判定与性质，熟练掌握的圆周角所对的弦是直径是解答本题的关键．通过证明，可证，则点在以为直径的一段弧上运动，当点在与弧的交点处时，最短，然后根据勾股定理求出的长即可求解．【详解】解∶四边形是正方形，，在和中，，，，∴，点在以为直径的一段弧上运动，设的中点为，则当点在与弧的交点处时，最短，，，∴，，故答案为：．10．（23-24九年级上·湖北武汉·期中）如图，已知在中，，，将绕点A逆时针旋转．得到．点D是边的中点，点E为边上的动点，在绕点A逆时针旋转的过程中，点E的对应点是点，则线段长度的最大值与最小值的差是．【答案】【分析】如图，连接，作于H，于．求出的最小值以及最大值即可解决问题．【详解】解：如图，连接，作于H，于．以A为圆心，以为半径作圆，与直线的右侧交点为，以A为圆心，以为半径作圆，与直线的左侧交点为，∵，，点D是边的中点，∴，，∴，∵，∴，在旋转过程中，当点与重合时，的值最小，且最小值为：，当点与重合时，的值最大，且最大值，∴线段长度的最大值与最小值的差为：，故答案为：．【点睛】本题考查了旋转的性质，勾股定理，等腰三角形的三线合一性质，垂线段最短，圆的基本性质，熟练掌握勾股定理，等腰三角形的三线合一性质，垂线段最短，圆的基本性质是解题的关键．11．（2023·江苏南通·模拟预测）直线分别与轴、轴相交于点、，边长为2的正方形的一个顶点在坐标系的原点，直线与相交于点，若正方形绕着点旋转一周，则点到点0,2长度的最小值是．【答案】/【分析】由题意可得，则有，由，，进而可得，旋转同理可证，则P在以为直径的圆上，可得圆心G为，半径为，由，可知当圆心G，点P，三点共线时，最小，由，进而可得最小值．【详解】解：如图：∵直线与轴、轴交于点、，∴、，∴，在和中，．∴，∴，∵，，∴，∴∴，在正方形旋转的过程中，同理可证，，可得，，∴在以为直径的圆上，∴圆心为，半径为，连接，∵，∴当圆心，点，三点共线时，最小，∵，∴，∴点到点0,2长度的最小值为，故答案为：．【点睛】本题考查了一次函数与几何变换、正方形的性质、三角形全等的判定与性质，圆的有关知识，解题的关键是发现点P在以为直径的圆上，确定点P的位置是解题的关键．12．（2024·山东济宁·模拟预测）如图，与x轴交于点A，B，与y轴交于点C，D，P为上一动点，Q为弦上一点，．若点D的坐标为(0,−5)，则的最小值为．【答案】【分析】本题考查坐标与图形的性质，勾股定理，关键是作出辅助圆，当Q与重合时，最小．连接，过Q作，交于M，以M为圆心，为半径作圆，连接交于，得到，求出的长，推出，由勾股定理求出的长即可．【详解】解：连接，过Q作，交于M，以M为圆心，为半径作圆，连接交于，∴，∵，∴，∵D的坐标是，∴，∴，∵，∴，∵，∴P，∴，∴，∴Q在M上，∴当Q与重合时，最小，∵，，∴，∴，∴的最小值是．故答案为：．13．（23-24九年级上·天津·期末）已知，均是边长为4的等边三角形，点D是边的中点．（Ⅰ）如图①，这两个等边三角形的高为；（Ⅱ）如图②，直线相交于点M，当绕点D旋转时，线段长的最小值是．【答案】/【分析】本题考查等边三角形的性质、勾股定理，圆周角定理、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质等知识，得到点M的运动路线是解答的关键．（Ⅰ）可根据等边三角形的性质和勾股定理求解即可；（Ⅱ）如图①中，连接、、，根据题意可得，，，分别证明和，利用全等三角形的性质和等腰三角形的判定与性质推导出，则点M在以为直径的圆上运动，进而得到当点M运动到时，最短，利用圆的基本知识求解即可．【详解】解：（Ⅰ）如图①中，连接，∵是边长为4的等边三角形，点D是边的中点，∴，，，在中，∴故答案为：；（Ⅱ）如图①中，连接、、，由题意，，，，∴，，∴，∴，则，∵，∴，在和中，，∴，∴，，∵，∴，∴，∵，∴，∴，∴，又，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∴点M在以为直径的圆上运动，如图②中，当点M运动到时，最短，∵，，∴的最小值为，故答案为：．14．（2024·吉林长春·一模）【问题呈现】数学兴趣小组遇到这样一个问题：如图①，是的半径，．点P在上，将点P沿的方向平移到点Q，使．当点P在上运动一周时，试探究点Q的运动路径．【问题解决】经过讨论，小组同学想利用平行四边形的知识解决该问题：如图②，在线段上截取，连结、，由平行四边形的性质可推出点Q的运动路径是以点B为圆心、3为半径的圆．下面是部分证明过程：证明：在线段上截取，连接、．1°当点P在直线外时，证明过程缺失2°当点P在直线上时，易知．综上，点Q的运动路径是以点B为圆心、3为半径的圆．请你补全证明中缺失的过程．【结论应用】在上述问题的条件下，记点M是线段的中点，如图②．若点P在上运动一周，则点M的运动路径长为．【拓展提升】如图③，在矩形中，，．点P是平面内一点，，将点P沿的方向平移到点Q，使．点M是线段上的任意一点，连结．设线段长度的最大值为a，最小值为b，则．【答案】问题解决：见解析；结论应用：；拓展提升：【分析】本题主要考查了平行四边形的性质与判定，一点到圆上一点距离的最值问题，勾股定理，矩形的性质等等：（1）根据平移的性质得到，则可证明四边形是平行四边形，得到，则点Q的运动路径是以点B为圆心、3为半径的圆．（2）在上截取，同理可证明点M的运动路径是以点N为圆心、3为半径的圆，再根据圆周长公式求解即可；（3）如图所示，在上截取，连接，同理可证明，则点M的运动轨迹是以点N为圆心，1为半径的圆，则在整个运动过程中当最小时，且当点M运动到上时，有最小值，同理在整个运动过程中当最大时，且当点M运动到延长线上时，有最大值，在中利用勾股定理求出的最大值和最小值即可得到答案．【详解】问题解决：证明：在线段上截取，连接、．当点P在直线外时，由平移的性质可得，∵，∴四边形是平行四边形，∴，∴点Q的运动路径是以点B为圆心、3为半径的圆．结论应用：如图所示，在上截取，同理可证明点M的运动路径是以点N为圆心、3为半径的圆，∴点P在上运动一周，则点M的运动路径长为；拓展提升：如图所示，在上截取，连接，同理可证明，∴点M的运动轨迹是以点N为圆心，1为半径的圆，∵，∴当点N固定时，当点M运动到上时，有最小值，最小值为，∴在整个运动过程中当最小时，且当点M运动到上时，有最小值，同理在整个运动过程中当最大时，且当点M运动到延长线上时，有最大值，∵，∴，∵四边形是矩形，∴，，，在中，，∴，∴，∴．考点三、与圆有关的网格作图15．（2024·天津和平·三模）如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，的顶点A，C均落在格点上，点B在网格线上．（Ⅰ）线段的长等于；（Ⅱ）以AB为直径作半圆，在的角平分线上有一点P，上有一点Q，使的值最小．请用无刻度的直尺，在如图所示的网格中，画出点P，并简要说明点P的位置是如何找到的（不要求证明）．【答案】见解析【分析】本题主要考查复杂作图能力，勾股定理，中位线定理，垂线段最短等知识点，掌握以上知识点并与已知图形结合是解决本题关键．（Ⅰ）根据勾股定理计算即可；（Ⅱ）先将补成等腰三角形，然后利用等腰三角形构建三角形的角平分线，然后根据垂线段最短构造三角形的高线交于点P，点P即为所作．【详解】解：（Ⅰ），（Ⅱ）如图，点即为所作；取与格线的交点D，AB与格线交点O，连接并延长交半圆于点E，连接，取与半圆的交点F，与半圆的交点G，连接和相交于点H，连接并延长与相交于点P，点P即为所求．∵是的中位线，∴，∴，又∵，∴，∴，即平分，又∵AB是直径，∴，∴，根据垂线段最短可得当时，最小，即点P为与的交点．16．（2024·天津武清·三模）如图，在每个小正方形的边长为的网格中，圆经过，，三点，点是圆与网格线的交点，点，均在格点上．（1）线段的长为；（2）请用无刻度的直尺，在如图所示的网格中，画出以点为顶点的，使得，并简要说明作图过程（不要求证明）．【答案】见解析【分析】（）根据网格特征，利用勾股定理即可求解；（）根据三角形中线，垂径定理及推论，圆周角定理即可；本题考查了尺规作图，勾股定理，垂径定理及推论，三角形中线，熟练掌握知识点的应用是解题的关键．【详解】（）由网格可知：，故答案为：；（）如图，取格点，，设圆与网格线交于点，连接交于点，则点为圆心，交于点，与网格线的交点为，连接并延长，交于点，分别连接，，∴即为所求，作图过程理由：如图，取格点，由网格可知，点在线段上，且四边形为菱形，∴，故直线经过圆心，连接，，则，故直线经过圆心，故与的交点为圆心，∵交于点，∴点为的中点，过点作网格线的垂线，与网格线交于点，取格点，∴，∴，∴为的中点，∴点为的中点，∴，则，，∴．17．（23-24九年级上·天津·期末）如图，由边长为1的小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点，是的两条弦，且点A，B，C都是格点．仅用无刻度的直尺在给定的网格中完成画图，画图过程用虚线表示，画图结果用实线表示．（1）线段的长等于；（2）在如图所示的网格中，在直线的右侧找一点M，使得且，再在线段上找一点F，使，简要说明点M和F的位置是如何找到的（不要求证明）．【答案】见解析【分析】本题考查了网格与勾股定理，同弧或等弧对的圆周角相等，等腰三角形的判定与性质，正方形的性质等知识，熟练掌握相关性质定理是解题关键．（1）利用勾股定理即可求解；（2）在上取格点G，则，找到格点N，连接，相交于点M，取格点D，连接，则交于点F，根据圆周角定理等知识即可得到点M，F即为所求．【详解】解：（1）；故答案为：；（2），，，，，为圆的直径，在上取格点G，则，找到格点N，连接，相交于点M，为正方形，；取格点D，连接，则交于点F，连接CF，可得，如图，点M，F即为所求．18．（23-24九年级下·湖北武汉·阶段练习）如图，在的网格中，的三个顶点都在格点上．为的外接圆，请在指定的网格中用无刻度的直尺作图：(1)在图中标出这个外接圆的圆心，并写出________；(2)在图中画出的角平分线交于；(3)在图中画出关于直线对称的；(4)在图中，若交于点，画出平行四边形．【答案】(1)作图见解析，(2)作图见解析(3)作图见解析(4)作图见解析【分析】（）利用圆周角定理及矩形的性质可找到点的位置，再根据圆周角定义及正弦的定义可求出的值；（）利用正方形的性质作出的垂直平分线，交于点，连接，则即为所求；（）利用网格特点作出的垂线，交于点，连接，则即为所求；（）利用作平行线的方法找到点的位置，连接，则四边形即为所求；本题考查了圆周角定理，三角函数，正方形、矩形的性质，平行四边形的判定，掌握正方形、矩形的性质和平行四边形的判定是解题的关键．【详解】（1）解：如图，点即为所求，由圆周角定理可得，∴；（2）解：如图，射线即为所求；（3）解：如图，即为所求；（4）解：如图，四边形即为所求．19．（22-23九年级上·江苏南京·阶段练习）按要求作图：(1)如图1，在正方形网格中，有一圆经过了两个小正方形的顶点A，B，利用无刻度直尺画出这个圆的一条直径；(2)如图2，BA，BD是⊙O中的两条弦，C是BD上一点，BAC50，利用无刻度直尺在图中画一个含有50角的直角三角形；(3)如图3，利用无刻度直尺和圆规，以AB边上一点O为圆心，过A、D两点作⊙O（不写作法，保留作图痕迹）；(4)如图4，AB与圆相切，且切点为点B，利用无刻度直尺在网格中找出点B的位置．【答案】(1)见解析；(2)见解析；(3)见解析；(4)见解析．【分析】（1）根据垂径定理可知，AB的垂直平分线过圆心，连接AB，利用网格找出线段AB的垂直平分线即可；（2）延长AC交⊙O与点E，连接BO并延长交⊙O于点F，在连接EF，则即为所求；（3）作线段AD的垂直平分线，交AB于点O，再以点O为圆心，OA为半径作圆即可；（4）过点A作圆的两条割线：ACD和AEF；连接CF，DE交于点G，延长EC和FD交于点H，连接HG交圆于点B，连接AB即可．【详解】（1）解：根据垂径定理可知，AB的垂直平分线过圆心，连接AB，利用网格找出线段AB的垂直平分线即可，如图：EF即为直径；（2）解：延长AC交⊙O与点E，连接BO并延长交⊙O于点F，在连接EF，则即为所求；（3）解：作线段AD的垂直平分线，交AB于点O，再以点O为圆心，OA为半径作圆即可，如图；（4）解：过点A作圆的两条割线：ACD和AEF；连接CF，DE交于点G，延长EC和FD交于点H，连接HG交圆于点B，连接AB即可，如图：【点睛】本题考查作图，圆周角定理，切线性质，垂直平分线，解题的关键是理解题意，综合运用所学知识，是中考中常见题型．考点四、与园有关的尺规作图20．（21-22九年级上·江苏南京·期末）如图，已知P是⊙O外一点．用直尺和圆规作图．(1)过点P作一条直线l，使l与⊙O相切；(2)在⊙O上作一点Q，使∠OQP＝60°．（要求：保留作图痕迹，不写作法）【答案】(1)见解析(2)见解析【分析】（1）连接，作线段的垂直平分线，交于点，以为圆心，的长为半径作弧，交于点，过点作直线，则即为所求；（2）构造四点共圆，作，步骤如下，连接,作垂直平分线与交于点，分别以为圆心，的长为半径作弧，两弧交于点,连接，交于点，则,连接，则,作的外心，即作的垂直平分线与交于点,以为半径作，交于点，连接,则，点即为所求．【详解】（1）连接，作线段的垂直平分线，交于点，以为圆心，的长为半径作弧，交于点，过点作直线，则即为所求；理由：三点共圆，是直径，则是直角，即，则为所求作的切线（2）如图，连接,作垂直平分线与交于点，分别以为圆心，的长为半径作弧，两弧交于点,连接，交于点，则,连接，则,作的外心，即作的垂直平分线与交于点,以为半径作，交于点，连接,则，点即为所求，理由是：是的内接四边形，，则【点睛】本题考查了尺规作图，作圆的切线，作圆周角，四点共圆，作特殊角，掌握基本作图是解题的关键．21．（2023·广东湛江·一模）如图，已知四边形是矩形，把沿对角线翻折得到，交于点，是的外接圆．

(1)利用尺规作出的外接圆（要求保留作图痕迹，不写作法）；(2)求证：；(3)若，试判断与直线的位置关系，并说明理由．【答案】(1)见解析；(2)见解析；(3)直线是的切线，理由见解析【分析】此题是圆的综合题，主要考查了尺规作图，矩形的性质，等腰三角形的判定和性质，等边三角形的判定，锐角三角函数，求出是解本题的关键．（1）先作出，的垂直平分线，找出圆心，即可得出结论；（2）先判断出，即可得出结论；（3）先求出，进而依次求出，，，再判断出，进而求出，判断出是等边三角形，即可得出结论．【详解】（1）解：如图，为所求作的图形．

（2）证明：∵四边形是矩形，∴，∴，由折叠知，，∴，∴．（3）解：直线是的切线，如图，连接，，

∵四边形是矩形，∴，，∵，∴，在中，，∴，∴，由折叠知，，∴，∴，由折叠知，，∴，∴，由（2）知，，∴，∴，∵，∴是等边三角形，∴，∴，∴，∵点在上，∴直线是的切线．22．（23-24九年级上·江苏徐州·期中）据《尔雅·释器》记载：“好倍肉，谓之瑗（yuàn）．”如图1，“好”指中间的孔，“肉”指中孔以外的边（阴影部分），“好倍肉”指中孔和环边比例为．(1)观察：“瑗”的主视图可以作两个同心圆，根据图1中的数据，可得小圆与大圆的半径之比是_______；(2)联想：如图2，在中，，，平分交于点，则_______；(3)迁移：图3表示一个圆形的玉坯，若将其加工成玉瑗，请利用圆规和无刻度的直尺先确定圆心，再以题（2）的知识为作图原理作出内孔．（不写作法，保留作图痕迹）【答案】(1)(2)(3)作图见解析【分析】（1）根据图1中的数据可确定小圆和大圆的半径，即可得出答案；（2）根据直角三角形两锐角互余可得，根据角平分线的定义可得，再根据等角对等边和角的直角三角形可得，，可得出答案；（3）作直线交圆于点，，作的垂直平分线交圆于点，，作的垂直平分线交圆于点，，交于点，过点作，以点为圆心，为半径画弧