33函数单调性与极值

一、函数的单调性3.3函数单调性与极值二、函数的极值及其求法一、函数的单调性1、引论：函数增减性与导数符号的关系f(x)单调增函数f(x)单调减函数定理1

设函数y=f(x)在区间(a,b)内可微，(1)若当

x

(a,b)时，f

(x)>0，

则

f(x)在(a,b)内单调递增；(2)若当

x

(a,b)时，f

(x)<0，

则

f(x)在(a,b)内单调递减.2、函数的单调性的判定法说明１：判定法中的区间可以推广到其它各种区间，但是结论中的区间要与条件中的连续区间相同．

２：定理中的条件“在

(a,b)内f(x)>0，（f(x)<0）”，改为“在

(a,b)内除个别孤立点导数为零或导数不存在外，都有f(x)>0，（f(x)<0）”，而其他条件不变，定理的结论仍成立解３、单调区间定义：区间和叫做这个函数的单调区间例1讨论函数的单调性说明：求连续函数的单调区间时，可以利用导数为零和导数不存在的点将函数定义域划分为若干区间，然后在每个区间上根据导数的正负来确定函数的单调增减区间例2求函数f(x)=x3

-3x的单调区间．解

(1)该函数的定义区间为(,)；(2)f(x)=3x2-3=3(x+1)(x-1)，令f

(x)=0，得x=-1，x=1，它们将定义区间分为三个子区间：(,-1)，(-1,1)，(1,)；

(3)因为当x(,-1)时，

f(x)>0，x(1,1)时，f

(x)<0，x(1,+)时f

(x)>0，所以(,-1)和(1,)是f(x)的递增区间，(-1,1)是f(x)的递减区间.为简便直观起见，我们通常将上述讨论归纳为如下的表格：x(,-1)(-1,1)

(1,)

f

(x)

-

f(x)其中箭头，分别分表示函数在指定区间递增和递减.确定某个函数的单调性的一般步骤是：(1)确定函数的定义域；(2)求出使f

(x)=0和f(x)不存在的点，并以这些点为分界点,将定义域分为若干个子区间；(3)确定f

(x)在各个子区间内的符号，从而判定出f(x)的单调性.解

(1)该函数的定义区间为(，)；例3此外，显然x=0

为f(x)的不可导点，（2）x(

,0)f(x)－

f(x)（3）列表讨论：例4证明：当时，证明：设所以函数f(x)在[0,+∞)上单调增加，故x>0时，f(x)>f(0)=0；从而x>ln(1+x).在内，定义1

设函数

y=f(x)在x0的一个邻域内有定义，若对于该邻域内异于x0的x恒有(1)

f(x0)>f(x)，则称f(x0)

为函数f(x)的极大值，x0称为f(x)的极大值点；(2)

f(x0)<f(x)，则称f(x0)

为函数f(x)的极小值，x0称为f(x)的极小值点；函数的极大值、极小值统称为函数的极值，极大值点、极小值点统称为极值点.二、函数的极值及其求法1、函数的极值和极值点的概念显然，在图中，x1，x4，x6为f(x)的极小值点，x2，x5

为f(x)的极大值点.注：1）极值是局部性概念，一个函数在定义域内的极值可能有多个，且极大值不一定大于极小值；

2）极值一定在区间内部取得，在区间端点不可能取得极值。定理2(必要条件)

设函数y=f(x)在x0处连续，且f(x0)为极值(即x0

为极值点)，则f

(x0)=0或f

(x0)不存在.2、函数极值的判定和求法定义函数可能在其导数为零的点，或者是在连续但不可导的点处取得极值.注意:例如,定理3(极值的第一充分条件)设函数y=f(x)在x0的一个邻域内可导,且f

(x0)=0(或f(x)在x0处可以不可导，但必须连续).若当x在该邻域内由小于x0连续地变为大于x0时，其导数f

(x)改变符号，则f(x0)为函数的极值.并且x0为函数的极值点.(1)若导数f

(x)由正值变成负值，则x0为极大值点,f(x0)为f(x)的极大值；(2)若导数f

(x)由负值变成正值，则x0为极小值点，f(x0)为f(x)的极小值;(3)若导数f

(x)不变号，则f(x0)不为f(x)的极值。定理3(极值的第一充分条件)运用定理3求函数极值的一般步骤是：(1)确定定义域，求导数，并找出所给函数的驻点和导数不存在的点；(2)考察上述点两侧导数的符号，确定极值点；(3)求出极值点处的函数值，得到极值.(不是极值点情形)例

5求函数f(x)=(x-1)2(x-2)3

的极值.解定义域为(-

,+

).f

(x)=(x-1)

(x-2)2(5x-7).令f

(x)=0可得f(x)的三个驻点：该函数在定义区间内无不可导的点。x(-,1)f

(x)12(2,+

)+0-0+0+f(x)极大值0无极值列表：所以，极大值f(1)=0，f

(x)=(x-1)

(x-2)2(5x-7).解所给函数的单调性在例4中已讨论过.例

6求函数f(x)=(x-1)3

的极值.此外，显然x=0

为f(x)的不可导点，其定义区间为(，)x(-,0)f

(x)0+×-0+f(x)极大值03所以极大值f(0)=0,极小值f()=3列表：练习1填空1、设，因为，所以在区间

函数单调

.2、函数的单调递增区间为

，函数单调递减区间为

.3、函数在处取得极小值

，在处取得极大值

.4、函数在处取得极

值

.

增加1-6-22110小练习2解,现列表讨论0