31拉格朗日中值定理

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3.1拉格朗日中值定理一、定理二、例题三、推论定理3-1（拉格朗日（Lagrange）中值定理）如果函数满足下列条件：（1）在闭区间上连续,（2）在开区间内可导，那么在(a,b)内至少存在一点ξ，使得:OxyABbaC由定理的条件可知,如图所示，连接端点A和B作弦AB,则

几何直观曲线在上是一条连续的曲线弧曲线弧

内部每一点处都有不垂直于x轴的切线.ξ令01)0()1()('--=ffxf,即得

0,110122=+-xx验证拉格朗日中值定理对函数1例

254)(23-+-=xxxxf

在区间[01]，上的正确性．

故它在闭区间[01]，

足拉格朗日中值定理的条件．

解254)(23-+-=xxxxf是初等函数，[0，1]所以函数在内可导，上连续，在开区间(0,1)上满即存在使得

因此，拉格朗日中值定理对函数在区间[0，1]上成立．

注：只需要有一个根满足就行，这是一个存在性定理。例2证明：对任意不等式成立．解

设．显然它在拉格朗日中值定理的条件，所以有即

，因为

，故

所以

上满足证

设为区间上任意两点（不妨设），显然在上满足拉格朗日中值定理的条件，，即，则由于上为一常数．在区间)(xfI故也就是说，函数在区间

上任意两点的函数值相等，I推论1若函数上满足在区间，则在区间)(xf上必为一常数．I所以内相等

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