专题17解直角三角形（全章直通中考）（培优练）-2023-2024学年九年级数学下册全章复习与专题突破讲与练（浙教版）

专题1.7解直角三角形（全章直通中考）（培优练）单选题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）1．在中，，，若是锐角三角形，则满足条件的长可以是（

）A．1 B．2 C．6 D．82．如图，四边形是矩形，分别以点，为圆心，线段，长为半径画弧，两弧相交于点，连接，，．若，，则的正切值为（

）

A． B． C． D．3．如图，在矩形中，，，以点为圆心，长为半径画弧，交于点，连接，则扇形的面积为（

）A． B． C． D．4．《梦溪笔谈》是我国古代科技著作，其中它记录了计算圆弧长度的“会圆术”．如图，是以点O为圆心、为半径的圆弧，N是的中点，．“会圆术”给出的弧长的近似值计算公式：．当，时，则的值为（）

A． B． C． D．5．如图，正方形的边长为4，剪去四个角后成为一个正八边形，则可求出此正八边形的外接圆直径d，根据我国魏晋时期数学家刘的“割圆术”思想，如果用此正八边形的周长近似代替其外接圆周长，便可估计的值，下面d及的值都正确的是（

）A．， B．，C．， D．，6．如图，在矩形中，对角线与相交于点O，，，垂足为点E，F是的中点，连接，若，则矩形的周长是（

）A． B． C． D．7．如图，一款可调节的笔记本电脑支架放置在水平桌面上，调节杆，，的最大仰角为.当时，则点到桌面的最大高度是（

）

A． B． C． D．8．如图，在中，，以点A为圆心，以的长为半径作弧交于点D，连接，再分别以点B，D为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点P，作射线交于点E，连接，则下列结论中不正确的是（）

A． B． C． D．9．如图，在四边形中，，，，若线段在边上运动，且，则的最小值是（

）

A． B． C． D．1010．如图1，点P从等边三角形的顶点A出发，沿直线运动到三角形内部一点，再从该点沿直线运动到顶点B．设点P运动的路程为x，，图2是点P运动时y随x变化的关系图象，则等边三角形的边长为（

）A．6 B．3 C． D．填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分）11．在中，，分别为的对边，若，则的值为．12．在中，的对边分别为a、b、c，且满足，则的值为．13．如图，在四边形中，，平分．若，，则．14．如图，CD是平面镜，光线从A点出发经CD上点O反射后照射到B点，若入射角为α，反射角为β（反射角等于入射角），AC⊥CD于点C，BD⊥CD于点D，且AC＝3，BD＝6，CD＝12，则tanα的值为．15．如图，对折矩形纸片ABCD使AD与BC重合，得到折痕MN，再把纸片展平．E是AD上一点，将△ABE沿BE折叠，使点A的对应点A′落在MN上．若CD＝5，则BE的长是．16．如图，中，，，将绕点C逆时针旋转得到，连接BD，则的值是．17．如图，在直角中，，，将绕点顺时针旋转至的位置，点是的中点，且点在反比例函数的图象上，则的值为．

18．如图，测量船以20海里每小时的速度沿正东方向航行并对某海岛进行测量，测量船在A处测得海岛上观测点D位于北偏东15°方向上，观测点C位于北偏东45°方向上，航行半个小时到达B点，这时测得海岛上观测点C位于北偏西45°方向上，若CD与AB平行，则CD＝海里（计算结果不取近似值）．三、解答题（本大题共6小题，共58分）19．（8分）（1）在计算时，小亮的计算过程如下：解：小莹发现小亮的计算有误，帮助小亮找出了3个错误．请你找出其他错误，参照①～③的格式写在横线上，并依次标注序号：①；②；③；____________________________________________________________________________．请写出正确的计算过程．（2）先化简，再求值：，其中x是方程的根．20．（8分）如图，已知矩形ABCD中，AB＝8，BC＝x（0＜x＜8），将△ACB沿AC对折到△ACE的位置，AE和CD交于点F．（1）求证：△CEF≌△ADF；（2）求tan∠DAF的值（用含x的式子表示）．21．（10分）如图，点A在反比例函数的图象上，轴于点B，，．

（1）求反比例函数的解析式；（2）点C在这个反比例函数图象上，连接并延长交x轴于点D，且，求点C的坐标．22．（10分）如图，以的边为直径作，交边于点D，过点C作交于点E，连接．

（1）求证：；（2）若，求和的长．23．（10分）某数学兴趣小组借助无人机测量一条河流的宽度．如图所示，一架水平飞行的无人机在处测得河流左岸处的俯角为，无人机沿水平线方向继续飞行12米至处，测得河流右岸处的俯角为，线段米为无人机距地面的铅直高度，点，，在同一条直线上，其中．求河流的宽度（结果精确到1米，参考数据：）．24．（12分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于两点，与y轴交于点．

（1）求此抛物线的解析式；（2）已知抛物线上有一点，其中，若，求的值；（3）若点D，E分别是线段，上的动点，且，求的最小值．参考答案：1．C【分析】如图，作，，则，，，，由是锐角三角形，可得，即，然后作答即可．解：如图，作，，交的延长线于点E

∴，，∴，，∵是锐角三角形，∴，即，∴满足条件的长可以是6，故选：C．【点拨】本题考查了余弦，锐角三角形．解题的关键在于确定的取值范围．2．C【分析】设，交于点，根据矩形的性质以及以点，为圆心，线段，长为半径画弧得到，，设，故，在中求出的值，从而得到，从而得到，即可求得答案．解：设，交于点，由题意得，，，四边形是矩形，，，，，设，故，在中，，即，解得，，，，，．

故选：C．【点拨】本题主要考查矩形的性质，全等三角形的判定与性质，以及正切值的求法，本题中得到是解题的关键．3．C【分析】解直角三角形求出，推出，再利用扇形的面积公式求解．解：四边形是矩形，，，，，，，，故选：C．【点拨】本题考查扇形的面积，三角函数、矩形的性质等知识，解题的关键是求出的度数．4．B【分析】连接,根据等边三角形的性质，垂径定理，勾股定理，特殊角的三角函数，后代入公式计算即可．解：连接，根据题意，是以点O为圆心、为半径的圆弧，N是的中点，，

得，∴点M，N，O三点共线，∵，，∴是等边三角形，∴，∴．故选B．【点拨】本题考查了等边三角形的性质，垂径定理，勾股定理，特殊角的函数值，熟练掌握相关知识是解题的关键．5．C【分析】根据勾股定理求出多边形的边长，利用多边形内角和求解内角度数，再根据锐角三角函数求值即可．解：设剪去△ABC边长AC=BC=x，可得：，解得x=，则BD=，∵正方形剪去四个角后成为一个正八边形，根据正八边形每个内角为135度，，则∠BFD=22.5°，∴外接圆直径d=BF=，根据题意知周长÷d==，故选：C．【点拨】本题考查了勾股定理、多边形内角和、圆周长直径公式和锐角三角函数等相关知识，阅读理解题意是解决问题的关键．6．D【分析】根据矩形的性质得出，即可求证为等边三角形，进而得出点E为中点，根据中位线定理得出，易得，求出，即可得出矩形的周长．解：∵四边形是矩形，∴，∵，∴为等边三角形，∵，∴点E为中点，∵F是的中点，若，∴，∵，∴，∴，∴矩形的周长，故选：D．【点拨】矩形主要考查了矩形的性质，等边三角形的判定和性质，中位线定理，解直角三角形，解题的关键是掌握矩形的对角线相等，等边三角形三线合一，三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半，以及解直角三角形的方法和步骤．7．D【分析】过点作于，过点作于，利用解直角三角形可得，，根据点到桌面的最大高度，即可求得答案．解：如图，过点作于，过点作于，

在中，，在中，，点到桌面的最大高度，故选：D．【点拨】本题考查了解直角三角形的应用，解题关键是添加辅助线，构造直角三角形，利用解直角三角形解决问题．8．D【分析】利用等腰三角形的性质和线段垂直平分线的性质可以判断①的正确；利用等边三角形的性质结合①的结论和等腰三角形的三线合一的性质可以判断②正确；利用直有三角形中30度角所对的直角边等于斜边的一半判断③的正确；利用相似三角形的面积比等于相似比的平方即可判断④的错误．解：由题意得：，为的平分线，，，，为等边三角形，为的垂直平分线，，故A的结论正确；为等边三角形，，，，，，，．，，，，，垂直平分线段，，故B的结论正确；中，，，，，故C的结论正确．，，，，，，，故D的结论错误；故选：D．【点拨】本题主要考查了含角的直角三角形的性质，角平分线，线段垂直平分线的判定与性质，相似三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，熟练掌握含角的直角三角形的性质和相似三角形的判定与性质是解题的关键．9．B【分析】过点C作，过点B作，需使最小，显然要使得和越小越好，则点F在线段的之间，设，则，求得关于x的二次函数，利用二次函数的性质即可求解.解：过点C作，

∵，，∴，过点B作，∵，∴四边形是矩形，∴，需使最小，显然要使得和越小越好，∴显然点F在线段的之间，设，则，∴，∴当时取得最小值为．故选：B．【点拨】本题考查了二次函数应用，矩形的判定和性质，解直角三角形，利用二次函数的性质是解题的关键．10．A【分析】如图，令点从顶点出发，沿直线运动到三角形内部一点，再从点沿直线运动到顶点．结合图象可知，当点在上运动时，，，易知，当点在上运动时，可知点到达点时的路程为，可知，过点作，解直角三角形可得，进而可求得等边三角形的边长．解：如图，令点从顶点出发，沿直线运动到三角形内部一点，再从点沿直线运动到顶点．结合图象可知，当点在上运动时，，∴，，又∵为等边三角形，∴，，∴，∴，∴，当点在上运动时，可知点到达点时的路程为，∴，即，∴，过点作，∴，则，∴，

即：等边三角形的边长为6，故选：A．【点拨】本题考查了动点问题的函数图象，解决本题的关键是综合利用图象和图形给出的条件．11．解：如图所示：在中，由勾股定理可知：，，，，，，，即：，求出或（舍去），在中：，故答案为：．【点拨】本题考查了锐角三角函数的概念及勾股定理，熟练掌握锐角三角函数的定义是解答本题的关键．在中，，，．12．/【分析】由，可得，求解，证明，再利用正弦的定义求解即可．解：∵，∴，∴，∴，，，解得：，∴，∴，∴，故答案为：．【点拨】本题考查的是利用完全平方公式分解因式，算术平方根，绝对值，偶次方的非负性，勾股定理的逆定理的应用，锐角的正弦的含义，证明是解本题的关键．13．【分析】过点作的垂线交于，证明出四边形为矩形，为等腰三角形，由勾股定理算出，，即可求解．解：过点作的垂线交于，，四边形为矩形，，，平分，，，，∴∠CDB=∠CBD，，，，，，故答案为：．【点拨】本题考查了锐角三角函数、矩形、等腰三角形形、勾股定理、平行线的性质，解题的关键是构造直角三角形求解．14．【分析】如图（见分析），先根据平行线的判定与性质可得，从而可得，再根据相似三角形的判定证出，根据相似三角形的性质可得的长，然后根据正切的定义即可得．解：如图，由题意得：，，，，同理可得：，，，在和中，，，，，，解得，经检验，是所列分式方程的解，则，故答案为：．【点拨】本题考查了相似三角形的判定与性质、正切等知识点，正确找出两个相似三角形是解题关键．15．【分析】在Rt△A'BM中，利用轴对称的性质与锐角三角函数求出∠BA′M=30°，再证明∠ABE=30°即可解决问题．解：∵将矩形纸片ABCD对折一次，使边AD与BC重合，得到折痕MN，∴AB=2BM，∠A′MB=90°，MN∥BC．∵将△ABE沿BE折叠，使点A的对应点A′落在MN上．∴A′B=AB=2BM．在Rt△A′MB中，∵∠A′MB=90°，∴sin∠MA′B=＝，∴∠MA′B=30°，∵MN∥BC，∴∠CBA′=∠MA′B=30°，∵∠ABC=90°，∴∠ABA′=60°，∴∠ABE=∠EBA′=30°，故答案为：．【点拨】本题考查了矩形的性质，翻折变换，锐角三角函数的定义，平行线的性质，熟练掌握并灵活运用翻折变换的性质是解题的关键．16．【分析】连接AD，由旋转的性质可得CA=CD，∠ACD=60°，得到△ACD为等边三角形，由AB=BC，CD=AD，得出BD垂直平分AC，于是求出BO=AC=，OD=CD•sin60°=，可得BD=BO+OD，即可求解．解：如图，连接AD，设AC与BD交于点O，由题意得：，∴为等边三角形，∴，；∵，，∴，∵，，∴BD垂直平分AC，∴，，∴∴，故答案为【点拨】本题考查了图形的变换旋转，等腰直角三角形的性质，等边三角形的判定和性质，线段的垂直平分线的性质，准确把握旋转的性质是解题的关键．17．【分析】依据题意，在中，，，从而，可得，又结合题意，，进而，故可得点坐标，代入解析式可以得解．解：如图，作轴，垂足为．

由题意，在中，，，．．．又绕点顺时针旋转至的位置，．．又点是的中点，．在中，，．，．又在上，．故答案为：．【点拨】本题主要考查了反比例函数图象上的点的坐标特征，旋转的性质，勾股定理等知识，解题时需要熟练掌握并灵活运用是关键．18．/【分析】过点D作DE上AB，垂足为E，根据题意求得，进而求得90°，然后在Rt△ACB中，利用锐角三角函数的定义求出AC的长，设DE=x海里，再在Rt△ADE中，利用锐角三角函数的定义求出AE的长，在Rt△DEC中，利用锐角三角函数的定义求出EC，DC的长，最后根据AC=52海里，列出关于x的方程，进行计算即可解答．解：如图：过点D作DE上AB，垂足为E，依题意得，，，=90°，在中，，设海里，在中，海里，，，在中，海里，海里，海里，海里，海里，故答案为：．【点拨】本题考查了解直角三角形的应用，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．19．（1）④tan30°=；⑤（2）2=，⑥（2）0=1；28；（2），．【分析】（1）根据乘方、绝对值、特殊角的三角函数值、立方根、负整数指数幂、零指数幂的法则计算即可；（2）先把括号内通分，接着约分得到原式=，然后利用因式分解法解方程x22x3=0得到x1=3，x2=1，则利用分式有意义的条件把x=1代入计算即可．解：（1）其他错误，有：④tan30°=；⑤（2）2=，⑥（2）0=1，正确的计算过程：解：=28；（2）=，∵x22x3=0，∴（x3）（x+1）=0，x3=0或x+1=0，∴x1=3，x2=1，∵x=3分式没有意义，∴x的值为1，当x=1时，原式==．【点拨】本题考查了实数的运算，解一元二次方程因式分解法，分式的化简求值．也考查了特殊角的三角函数值、立方根、负整数指数幂、零指数幂．20．（1）证明见分析；（2）tan∠DAF＝【分析】（1）根据矩形的性质得到∠B＝∠D＝90°，BC＝AD，根据折叠的性质得到BC＝CE，∠E＝∠B＝90°，等量代换得到∠E＝∠D＝90°，AD＝CE，根据AAS证明三角形全等即可；（2）设DF＝a，则CF＝8﹣a，根据矩形的性质和折叠的性质证明AF＝CF＝8﹣a，在Rt△ADF中，根据勾股定理表示出DF的长，根据正切的定义即可得出答案．解：（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，∴∠B＝∠D＝90°，BC＝AD，根据折叠的性质得：BC＝CE，∠E＝∠B＝90°，∴∠E＝∠D＝90°，AD＝CE，在△CEF与△ADF中，，∴△CEF≌△ADF（AAS）；（2）解：设DF＝a，则CF＝8﹣a，∵四边形ABCD是矩形，∴AB∥CD，AD＝BC＝x，∴∠DCA＝∠BAC，根据折叠的性质得：∠EAC＝∠BAC，∴∠DCA＝∠EAC，∴AF＝CF＝8﹣a，在Rt△ADF中，∵AD2+DF2＝AF2，∴x2+a2＝（8﹣a）2，∴a＝，∴tan∠DAF＝＝．【点拨】本题考查了锐角三角函数，全等三角形的判定与性质，矩形的性质，翻折变换（折叠问题），根据矩形的性质和折叠的性质证出AF＝CF是解题的关键．21．（1）；（2）【分析】（1）利用正切值，求出，进而得到，即可求出反比例函数的解析式；（2）过点A作轴于点E，易证四边形是矩形，得到，，再证明是等腰直角三角形，得到，进而得到，然后利用待定系数法求出直线的解析式为，联立反比例函数和一次函数，即可求出点C的坐标．（1）解：轴，，，，，，，点A在反比例函数的图象上，，反比例函数的解析式为；（2）解：如图，过点A作轴于点E，，四边形是矩形，，，，是等腰直角三角形，，，，设直线的解析式为，，解得：，直线的解析式为，点A、C是反比例函数和一次函数的交点，联立，解得：或，，．

【点拨】本题是反比例函数综合题，考查了锐角三角函数值，矩形的判定和性质，待定系数法求函数解析式，反比例函数和一次函数交点问题等知识，求出直线的解析式是解题关键．22．（1）见分析；（2），【分析】（1）根据，得到，再根据同弧所对的圆周角相等，得到，可证明是等腰三角形，即可解答；（2）根据直径所对的圆周角为直角，得到，设，根据勾股定理列方程，解得x的值，即可