专题91图形的旋转（知识梳理与考点分类讲解）-2023-2024学年八年级数学下册基础知识专项突破讲与练（苏科版）

专题9.1图形的旋转（全章知识梳理与考点分类讲解）【知识点一】旋转及相关概念定义在平面内，将一个图形绕一个定点按某个方向转动一个角度，这样的图形运动称为旋转，这个定点称为旋转中心，转动的角称为旋转角.旋转的“三要素”旋转中心、旋转方向和旋转角对应元素旋转的盗的图性能与原图形重合，我们把能够重合的点叫对应点，能够重合的线段叫做对应线段，能够重合的角叫对应角.特别提醒始终保持不动的点是旋转中心；旋转方向有顺时针和逆时针两种；旋转前后对应点与旋转中心所连线段的夹角就是旋转角.【知识点二】旋转的性质旋转的性质一个图形和它所经过旋转所得的图形中：对应点到旋转中心的距离相等；任意一组对应点与旋转中心的连线所成的角都等于旋转角；对应线段向等，对应角相等.旋转的性质的作用可以用来判断线段或角是否相等.可以用来计算图形的面积、线段的长短或角的大小.可以用来确定旋转中心.特别提醒因为对应点到旋转中心的距离相等，所以旋转中心在对应点所连线段的垂直平分线上，因此，旋转中心是两对对应点所连接线段的垂直平分线的交点.【知识点三】旋转作图作图依据旋转的性质，即对应点到旋转中心的距离相等，每组对应点都旋转相同的角度.旋转作图的一般步骤确定旋转中心，旋转方向和旋转角.找出图形的关键点，一般是图形中的旋转点.做旋转后的对应点，方法如下：①连连接图形的每个关键点与旋转中心；②转把连接线旋转中心按旋转方向旋转相同的角度（作旋转角）；③截在做得的角的另一边截取与关键点到旋转中心的距离相等的线段，得到各个关键点的对应点.按原图形的顺序连接这些对应点，所得到的图形就是旋转后的图形写出结论，说明作出图形即为所求作的图形.特别提醒确定旋转中心的方法：要看旋转中心是在图形上还是不在图形上若在图形上，哪一点在旋转的过程中位置没有改变，这一点就是旋转中心；若不在图形上，任意两对对应点所连接的垂直平分线的交点就是旋转中心.【考点目录】【考点1】旋转三要素和对应元素➼求值与证明【考点2】旋转的性质➼求角度、线段的大小与判定【考点3】旋转的性质➼求周长、面积与证明【考点4】旋转作图➼求值与证明【考点5】旋转与轴对称图形➼图形识别、求值与证明【考点6】坐标系中的旋转问题➼求值与证明【考点7】旋转中的规律问题➼求值与证明【考点8】旋转的几何变换问题➼求值与证明【考点1】旋转三要素和对应元素➼求值与证明【例1】（2023上·辽宁大连·九年级统考期中）如图，四边形是正方形，E是上的一点，是的旋转图形．

（1）由顺时针旋转到，旋转中心是________，旋转角的度数是________；（2）连接，判断并说明的形状．【答案】（1）点；；（2）是等腰直角三角形，理由见分析【分析】本题考查了旋转的性质，等腰三角形的判定，正方形的性质，熟练利用旋转性质是解题关键．（1）利用旋转性质得出旋转中心，利用旋转位置得出旋转角即可；（2）利用旋转性质可得到，得到，，根据正方形性质求出，即可判定出是等腰直角三角形．（1）解：由图可知，顺时针旋转到，旋转中心是点，旋转角是，故答案为：点；；（2）如图：连接，

是等腰直角三角形，理由如下：旋转得到，，，，四边形是正方形，，，，即，是等腰直角三角形．【变式1】（2023下·贵州贵阳·八年级校考期中）如图，与都是等腰直角三角形，，点E在上，如果绕点A逆时针旋转后能与重合，则旋转角度是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】先根据等腰直角三角形的定义可得，再根据旋转角的定义即可得．解：与都是等腰直角三角形，，，绕点逆时针旋转后能与重合，和都是旋转角，旋转角度是，故选：C．【点拨】本题考查了等腰直角三角形、旋转角，找准旋转角是解题关键．【变式2】（2023上·山东济宁·九年级校考期中）如图，每个小正方形的边长都是，将绕点顺时针旋转得到，则点的坐标是.

【答案】【分析】本题考查了坐标与图形变化：旋转，根据对应点连线的垂直平分线的交点，即可求解．解：将以某点为旋转中心，顺时针旋转得到，点的对应点为点，点的对应点为点，作线段和的垂直平分线，它们的交点为（，），旋转中心的坐标为，故答案为.【考点2】旋转的性质➼求角度、线段的大小与判定【例2】（2021上·江苏苏州·八年级苏州工业园区星湾学校校考期中）已知为等腰直角三角形，，，（1）如图1，若以为边在点C同侧作等边三角形，判断所在直线与线段的关系，并说明理由．（2）如图2，将绕若点B旋转60°得，若，求的长．【答案】（1），理由见分析；（2）【分析】（1）延长DC交AB于点E，根据SSS证明，由全等三角形的性质得，由等边三角形“三线合一”即可证明；（2）延长交于点M，连接，由勾股定理求出，根据旋转的性质得，，，，故可得是等边三角形，故，根据SSS证明，由全等三角形的性质得，根据等边三角形“三线合一”得，，由勾股定理求出，，由即可得出答案．解：（1），理由如下：如图，延长DC交AB于点E，∵是等边三角形，∴，在与中，，∴，∴，∴；（2）延长交于点M，连接，在中，，∵绕若点B旋转得，∴，，，，∴是等边三角形，∴，在与中，，∴，∴，∴，，∴，，∴．【点拨】本题考查等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、旋转的性质以及勾股定理，掌握相关知识点的应用是解题的关键．【变式1】（2021·全国·八年级专题练习）如图，为等边三角形，以为边向外作，使，再以点C为旋转中心把旋转到，则给出下列结论：①D，A，E三点共线；②平分；③；④．其中正确的有（

）．A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】D【分析】①设∠1=x度，把∠2=（60x）度，∠DBC=∠4=（x+60）度，∠3=60°加起来等于180度，即可证明D、A、E三点共线；②根据△BCD绕着点C按顺时针方向旋转60°得到△ACE，判断出△CDE为等边三角形，求出∠BDC=∠E=60°，∠CDA=120°60°=60°，可知DC平分∠BDA；③由②可知，∠BAC=60°，∠E=60°，从而得到∠E=∠BAC．④由旋转可知AE=BD，又∠DAE=180°，DE=AE+AD．而△CDE为等边三角形，DC=DE=DB+BA．解：如图，①设∠1=x度，则∠2=（60x）度，∠DBC=（x+60）度，故∠4=（x+60）度，∴∠2+∠3+∠4=60x+60+x+60=180度，∴D、A、E三点共线；故①正确；②∵△BCD绕着点C按顺时针方向旋转60°得到△ACE，∴CD=CE，∠DCE=60°，∴△CDE为等边三角形，∴∠E=60°，∴∠BDC=∠E=60°，∴∠CDA=120°60°=60°，∴DC平分∠BDA；故②正确；③∵∠BAC=60°，∠E=60°，∴∠E=∠BAC．故③正确；④由旋转可知AE=BD，又∵∠DAE=180°，∴DE=AE+AD．∵△CDE为等边三角形，∴DC=DB+DA．故④正确；故选：D．【点拨】本题考查了旋转的性质、等边三角形的性质等相关知识，要注意旋转不变性，找到变化过程中的不变量．【变式2】（2023·上海·统考中考真题）如图，在中，，将绕着点A旋转，旋转后的点B落在上，点B的对应点为D，连接是的角平分线，则．

【答案】【分析】如图，，，根据角平分线的定义可得，根据三角形的外角性质可得，即得，然后根据三角形的内角和定理求解即可．解：如图，根据题意可得：，，∵是的角平分线，∴，∵，，∴，则在中，∵，∴，解得：；故答案为：

【点拨】本题考查了旋转的性质、等腰三角形的性质、三角形的外角性质以及三角形的内角和等知识，熟练掌握相关图形的性质是解题的关键．【考点3】旋转的性质➼求周长、面积与证明【例3】（2021上·湖北省直辖县级单位·九年级校考阶段练习）如图1，D为等边△ABC内一点，将线段AD绕点A逆时针旋转60°得到AE，连接CE，BD的延长线与AC交于点G，与CE交于点F．（1）求证：BD＝CE；（2）如图2，连接FA，小颖对该图形进行探究，得出结论：∠BFC＝∠AFB＝∠AFE．小颖的结论是否正确？若正确，请给出证明；若不正确，请说明理由．【答案】（1）见分析；（3）正确，见分析【分析】（1）根据旋转的性质可得AD＝AE，∠DAE＝60°，结合已知条件可得∠BAC＝∠DAE，进而证明△ABD≌△ACE，即可证明BD＝CE；（2）过A作BD，CF的垂线段分别交于点M，N，△ABD≌△ACE，BD＝CE，由面积相等可得AM＝AN，证明Rt△AFM≌Rt△AFN，进而证明∠BFC＝∠AFB＝∠AFE＝60°解：证明：（1）如图1，∵线段AD绕点A逆时针旋转60°得到AE，∴AD＝AE，∠DAE＝60°，∵∠BAC＝60°，∴∠BAC＝∠DAE，∴∠BAD＝∠CAE，在△ABD和△ACE中，，∴△ABD≌△ACE（SAS），∴BD＝CE，（2）由（1）可知△ABD≌△ACE则∠ABD＝∠ACE，又∵∠AGB＝∠CGF，∴∠BFC＝∠BAC＝60°，∴∠BFE＝120°，过A作BD，CF的垂线段分别交于点M，N，又∵△ABD≌△ACE，BD＝CE，∴由面积相等可得AM＝AN，在Rt△AFM和Rt△AFN中，，∴Rt△AFM≌Rt△AFN（HL），∴∠AFM＝∠AFN，∴∠BFC＝∠AFB＝∠AFE＝60°．【点拨】本题考查了三角形全等的性质与判定，旋转的性质，正确的添加辅助线找到全等三角形并证明是解题的关键．【变式1】（2022上·河南南阳·八年级统考期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝60°，AC＝1，将△ABC绕点C按逆时针方向旋转得到△，此时点恰好在AB边上，连接B，则△的周长为（）A． B．1+ C．2+ D．3+【答案】D【分析】先根据含30度角的直角三角形的性质结合勾股定理得到，．再根据旋转的性质得到，则可判断△CA为等边三角形，所以∠AC=60°，，从而可求出．判断△CB为等边三角形，从而得到B的长，进而可求出△的周长．解：∵∠ACB=90°，∠A=60°，AC=1，∴，．∵△ABC绕点C按逆时针方向旋转得到△，此时点恰好在AB边上，∴，，，．∵∠A=60°，∴△CA为等边三角形，∴∠AC=60°，，∴∠BC=60°，，∴△CB为等边三角形，∴B=BC=，∴．故选D．【点拨】本题考查了旋转的性质，等边三角形的判定与性质，含30度角的直角三角形的性质和勾股定理．熟悉相关性质是解题的关键．【变式2】（2022下·山东青岛·八年级统考期中）如图，点O为等边△ABC内一点，，，将△AOC绕点A顺时针方向旋转，使AC与AB重合，点O旋转至点处，连接，则的面积是．【答案】【分析】根据旋转得出，，，得出为等边三角形，得出，根据，得出为直角三角形，即可求出其面积．解：∵将△AOC绕点A顺时针方向旋转60°得到，∴，，，∴为等边三角形，，，∴为直角三角形，．故答案为：24．【点拨】本题主要考查了旋转的性质、等边三角形的判定和性质、勾股定理逆定理，得出为直角三角形是解题的关键．【考点4】旋转作图➼求值与证明【例4】（2022上·北京海淀·九年级统考期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠BAC=30°，将线段CA绕点C逆时针旋转60°，得到线段CD，连接AD，BD．（1）依题意补全图形；（2）若BC=1，求线段BD的长．【答案】（1）见分析；（2）【分析】（1）根据线段旋转的方法，得出，然后连接AD，BD即可得；（2）根据角的直角三角形的性质和勾股定理可得，由旋转的性质可得是等边三角形，再利用勾股定理求解即可．解：（1）根据线段旋转方法，，如图所示即为所求；

（2）∵，，，∴，∴，∵线段CA绕点C逆时针旋转60°得到线段CD，∴且，∴是等边三角形，∴，，∴，∴在中，．【点拨】题目主要考查旋转图形的作法及性质，勾股定理，角的直角三角形的性质，等边三角形的性质等，理解题意，作出图形，综合运用各个定理性质是解题关键．【变式1】（2023下·山东青岛·八年级即墨市第二十八中学校考期中）如图，的三个顶点都在方格纸的格点上，其中点的坐标是．现将绕点逆时针旋转，则旋转后点的坐标是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】在网格中绘制出旋转后的图形，得到点C旋转后对应点的坐标即可．解：如图所示，绕点逆时针旋转得到，∴旋转后点的坐标是，故选B．【点拨】本题主要考查了坐标与图形变化——旋转，正确画出旋转后的图形是解题的关键，需要注意题干中要求顺时针旋转还是逆时针旋转．【变式2】（2023上·天津红桥·九年级统考期中）如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，点A，B，O均在格点上，C是小正方形边的中点．

（Ⅰ）的面积等于；（Ⅱ）请用无刻度的直尺，在如图所示的网格中，画出绕点O逆时针旋转后的图形，并简要说明点的位置是如何找到的（不要求证明）．【答案】3连接交于一点，该点即为点【分析】（Ⅰ）利用三角形面积公式求出结果即可；（Ⅱ）连接交于一点，即可得出点．解：（Ⅰ）的面积为；故答案为：3．（Ⅱ）连接交于一点，该点即为点；连接，，如图所示：

根据方格特点可知，点为为中点，∵C是小正方形边的中点，∴，∵，，∴，∴，，∵，∴，∴，∴点是点绕点O逆时针旋转的对应点．故答案为：连接交于一点，该点即为点．【点拨】本题主要考查了利用网格求三角形的面积，旋转变换，三角形全等的判定和性质，解题的关键是数形结合熟练掌握旋转的特点．【考点5】旋转与轴对称图形➼图形识别、求值与证明【例5】（2023下·江苏·八年级专题练习）如图，在四边形中，，，垂足为点C，E是的中点，连接并延长交的延长线于点F．（1）图中可以由△______绕着点______旋转______度后得到；（2）写出图中的一对全等三角形______；（3）若，，．求的面积．【答案】（1），E，；（2）；（3）25【分析】（1）通过证明即可得到可以由绕点E旋转后得到；（2）根据（1）可直接得到答案；（3）利用可得到答案．（1）解：∵，∴，，∵E是的中点，∴，在和中，,∴（AAS），∴可以由绕点E旋转后得到，故答案为：，E，；（2）解：由（1）可知故答案为：；（3）解：∵，，∴．【点拨】本题考查了全等三角形的判定、梯形的面积公式运用以及中心对称的知识，解题的关键证得．【变式1】（2023下·四川内江·七年级统考阶段练习）观察下列图标，其中既是轴对称图形又是旋转对称图形的是（

）A．B．

C． D．【答案】C【分析】根据轴对称图形和旋转对称图形的定义逐项判断即得答案．解：A、不是轴对称图形，是旋转对称图形，故本选项不符合题意；B、不是轴对称图形，也不是旋转对称图形，故本选项不符合题意；C、既是轴对称图形又是旋转对称图形，故本选项符合题意；D、既不是轴对称图形又不是旋转对称图形，故本选项不符合题意；故选：C【点拨】本题考查轴对称图形及旋转对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后能完全重合；旋转对称图形的关键是寻找旋转中心，图形绕旋转中心旋转一定角度后，能够和原来的图形重合．【变式2】（2020上·上海嘉定·七年级统考期末）在正方形、长方形、线段、等边三角形和平行四边形这五种图形中，是旋转对称图形不是中心对称图形的是.【答案】等边三角形【分析】根据中心对称图形的定义以及旋转图形的性质分别判断得出即可．解：正方形、长方形、线段、等边三角形和平行四边形这五种图形中、线段和平行四边形和正方形和长方形都是中心对称图形，只有等边三角形是旋转对称图形但不是中心对称图形；故答案为：等边三角形．【点拨】此题主要考查了旋转图形的性质，注意中心对称图形也属于旋转图形，但要按要求答题【考点6】坐标系中的旋转问题➼求值与证明【例6】（2022上·天津红桥·九年级校考期末）在平面直角坐标系中，点，点，把绕原点逆时针旋转，得，其中，点，分别为点A，旋转后的对应点，记旋转角为．（1）如图，当时，求点的坐标；（2）当轴时，求点D的坐标（直接写出结果即可）．【答案】（1）；（2）点的坐标为或【分析】（1）如图，过点作于．解直角三角形求出，即可．（2）分两种情形：在轴上方时，设交轴于，过点作轴于．求出，即可．当在轴下方时，同法可得．（1）解：如图，过点作于．，，，，．（2）解：如图，在轴上方时，设交轴于，过点作轴于．轴，，，，，∵，，，，当在轴下方时，同法可得．综上所述，满足条件的点的坐标为或．【点拨】本题属于坐标与图形变化旋转，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．【变式1】（2022上·九年级单元测试）如图，在中，，，，将绕O点旋转后得到，则点的坐标是（

）A．B．或C． D．或【答案】B【分析】根据题意将绕O点旋转后得到，应分顺时针和逆时针进行分类讨论，根据旋转知识求得的坐标．解：∵在中，，，，∴当绕点顺时针旋转后得到，如图，∴，∴；当绕点逆时针旋转后得到，如图，∴，∴，故选：B．【点拨】此题考查了坐标与图形变化—旋转，解题时，注意分类讨论，以防错解．【变式2】（2022上·江苏南京·八年级统考期末）如图，正比例函数y＝kx（k≠0）的图像经过点A（2，4），AB⊥x轴于点B，将△ABO绕点A逆时针旋转90°得到△ADC，则直线AC的函数表达式为．【答案】y=0.5x+5【分析】直接把点A（2，4）代入正比例函数y=kx，求出k的值即可；由A（2，4），AB⊥x轴于点B，可得出OB，AB的长，再由△ABO绕点A逆时针旋转90°得到△ADC，由旋转不变性的性质可知DC=OB，AD=AB，故可得出C点坐标，再把C点和A点坐标代入y=ax+b，解出解析式即可．解：∵正比例函数y=kx（k≠0）经过点A（2，4）∴4=2k，解得：k=2，∴y=2x；∵A（2，4），AB⊥x轴于点B，∴OB=2，AB=4，∵△ABO绕点A逆时针旋转90°得到△ADC，∴DC=OB=2，AD=AB=4∴C（6，2）设直线AC的解析式为y=ax+b，把（2，4）（6，2）代入解析式可得：，解得：，所以解析式为：y=0.5x+5【点拨】本题考查的是一次函数图象上点的坐标特点及图形旋转的性质，熟知一次函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式是解答此题的关键．【考点7】旋转中的规律问题➼求值与证明【例7】（2020上·广西百色·九年级统考期末）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点坐标为A（﹣1，1）、B（0，﹣2）、C（1,0），点P（0，2）绕点A旋转180°得到点P1，点P1绕点B旋转180°得到点P2，点P2绕点C旋转180°得到点P3，（1）在图中画出点P1、P2、P3；（2）继续将点P3绕点A旋转180°得到点P4，点P4绕点B旋转180°得到点P5，…，按此作法进行下去，则点P2020的坐标为．【答案】（1）见分析；（2）（﹣2，﹣2）【分析】（1）利用网格特点和旋转的性质画出点P1、P2、P3即可；（2）画出P1～P6，寻找规律后即可解决问题．解：（1）点P1、P2、P3如图所示，（2）（﹣2，﹣2）解析：如图所示：P1（﹣2，0），P2（2，﹣4），P3（0，4），P4（﹣2，﹣2）P5（2，﹣2），P6（0，2）∵6次一个循环∴2020÷6=336...4∴P2020（﹣2，﹣2）【点拨】本题考查坐标与图形的性质、点的坐标等知识，解题的关键是循环探究问题的方法，属于中考常考题型．【变式1】（2023上·全国·九年级专题练习）如图在平面直角坐标系中，有一个等腰直角三角形，，直角边在x轴上，且．将绕原点O顺时针旋转得到等腰直角三角形，且，再将绕原点O顺时针旋转得到等腰三角形，且…，依此规律，得到等腰直角三角形，则点的坐标（）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据旋转特点，找到坐标的变化规律，再求解．解：由题意得：，，，，……，，的坐标为，故选：A．【点拨】本题考查了点的坐标，找到坐标的变化规律是解题的关键．【变式2】（2022上·黑龙江佳木斯·八年级统考期末）如图，在平面直角坐标系中，，，，把沿x轴正方向做无滑动翻转依次得到，，，…，则的直角顶点的坐标为．【答案】【分析】由图可知，每旋转三次为一个周期，依此循环，每个周期前进的长度为，据此规律即可求出的直角顶点的坐标．解：∵，，∴，由图可知，每旋转三次为一个周期，依此循环，每个周期前进的长度为，∵，的直角顶点是第674个循环周期里的最后一个三角形的直角顶点，∵，∴的直角顶点的坐标为，故答案为：【点拨】本题主要考查旋转变换，规律性点的坐标知识，解题的关键是学会探究规律的方法，属于中考常考题型．【考点8】旋转的几何变换问题➼求值与证明【例8】（2016上·山东烟台·八年级统考期末）（1）如图1，O是等边△ABC内一点，连接OA、OB、OC，且OA＝3，OB＝4，OC＝5，将△BAO绕点B顺时针旋转后得到△BCD，连接OD．求：①旋转角的度数；②线段OD的长；③求∠BDC的度数．（2）如图2所示，O是等腰直角△ABC（∠ABC＝90°）内一点，连接OA、OB、OC，将△BAO绕点B顺时针旋转后得到△BCD，连接OD．当OA、OB、OC满足什么条件时，∠ODC＝90°？请给出证明．【答案】（1）①60°；②4；③150°；（2）当OA、OB、OC满足OA2+2OB2＝OC2时，∠ODC＝90°，见分析【分析】（1）①根据等边三角形的性质得BA＝BC，∠ABC＝60°，再根据旋转的性质得∠OBD＝∠ABC＝60°，于是可确定旋转角的度数为60°；②由旋转的性质得BO＝BD，加上∠OBD＝60°，则可判断△OBD为等边三角形，所以OD＝OB＝4；③由△BOD为等边三角形得到∠BDO＝60°，再利用旋转的性质得CD＝AO＝3，然后根据勾股定理的逆定理可证明△OCD为直角三角形，∠ODC＝90°，所以∠BDC＝∠BDO＋∠ODC＝150°；（2）根据旋转的性质得∠OBD＝∠ABC＝90°，BO＝BD，CD＝AO，则可判断△OBD为等腰直角三角形，则OD＝OB，然后根据勾股定理的逆定理，当时，△OCD为直角三角形，∠ODC＝90°．解：（1）①∵△ABC为等边三角形，∴BA＝BC，∠ABC＝60°，∵△BAO绕点B顺时针旋转后得到△BCD，∴∠OBD＝∠ABC＝60°，∴旋转角的度数为60°；②∵△BAO绕点B顺时针旋转后得到△BCD，∴BO＝BD，而∠OBD＝60°，∴△OBD为等边三角形；∴OD＝OB＝4；③∵△BOD为等边三角形，∴∠BDO＝60°，∵△BAO绕点B顺时针旋转后得到△BCD，∴CD＝AO＝3，在△OCD中，CD＝3，OD＝4，OC＝5，∵32+42＝52，∴CD2+OD2＝OC2，∴△OCD为直角三角形，∠ODC＝90°，∴∠BDC＝∠BDO+∠ODC＝60°+90°＝150°；（2）OA2+2OB2＝