广东省揭阳市2023-2024学年高二下学期7月期末考试数学

揭阳市2023—2024学年度高中二年级教学质量测试数学本试题共4页，考试时间120分钟，满分150分注意事项：1.答题前，考生先将自己的信息填写清楚､准确，将条形码准确粘贴在条形码粘贴处.2.请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效.3.答题时请按要求用笔，保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破､弄皱，不得使用涂改液､修正带､刮纸刀.考试结束后，请将本试题及答题卡交回.一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若，则复数在复平面内对应的点位于（）A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限2.为了得到图象，只要将函数的图象（）A.向左平移个单位长度 B.向右平移个单位长度C.向右平移个单位长度 D.向左平移个单位长度3.设是三个不同平面，且，则是的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件4.曲线在点处的切线方程为（）A. B.C. D.5.若直线平分圆，则实数的值为（）A. B. C. D.或6.《周髀算经》中有这样一个问题：从冬至日起，依次小寒､大寒､立春､雨水､惊蛰､春分､清明､谷雨､立夏､小满､芒种这十二个节气其日影长依次成等差数列，小寒､立春､惊蛰日影长之和为尺，前八个节气日影长之和为尺，则小满日影长为（）A.1.5尺 B.3.5尺 C.5.5尺 D.7.5尺7.已知函数，其中且且为常数.若对任意且，在内均存在唯一零点，则的取值范围是（）A. B. C. D.8.已知为球面上四点，分别是的中点，以为直径的球称为的“伴随球”.若三棱锥的四个顶点均在表面积为的球面上，它的两条棱的长度分别为8和6，则的伴随球的体积的取值范围是（）A. B. C. D.二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知向量，，则（）A.B.与可作为一组基底向量C.与夹角的余弦值为D.在上的投影向量的坐标为10.已知函数，则（）A.值域为B.为偶函数C.在上单调递增D.在上有2个零点11.已知函数，下列说法正确的是（）A.与定义域不同B.的单调递减区间为C.若有三个不同的解，则D.对任意两个不相等正实数，若，则三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.在中，内角的对边分别为，其中，则__________.13.已知集合，，则__________.14.已知椭圆的左､右焦点分别为为上且不与顶点重合的任意一点，为的内心，为坐标原点，记直线的斜率分别为，，若，则的离心率为__________.四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15.记内角的对边分别为，已知.（1）求；（2）若为边的中点，且，求面积的最大值.16.南方游客勇闯冰雪大世界点燃了民众对冰雪运动的热情，其中雪上运动深受游客的喜爱.某新闻媒体机构随机调查了男､女性游客各100名，统计结果如下表所示：对滑雪的喜爱情况性别合计男性游客女性游客喜欢滑雪603595不喜欢滑雪4065105合计100100200（1）依据小概率值的独立性检验，能否认为游客是否喜欢滑雪与性别有关联？（2）冰雪大世界招募初学者进行滑雪培训，对四个滑雪基本动作（起步､滑行､转弯､制动）进行指导.据统计，每位初学者对起步、滑行、转弯、制动这四个动作达到优秀的概率分别为，且四个滑雪基本动作是否达到优秀相互独立.若这四个滑雪基本动作至少有三个达到优秀，则可荣获“优秀学员”称号.求滑雪初学者荣获“优秀学员”称号的概率.附：.0050.010.0013.8416.63510.82817.如图，在四棱台中，平面，2，，.（1）记平面与平面的交线为，证明：平面；（2）求平面与平面的夹角的余弦值.18.已知抛物线的准线为，焦点为为上异于原点且不重合的三点.（1）求的方程；（2）若为的重心，求的值；（3）过两点分别作的切线与相交于点，若，求面积的最大值.19.给定数列，若首项且，对任意的，都有，则称数列为“指数型数列”.（1）已知数列为“指数型数列”，若，求；（2）已知数列满足，判断数列是不是“指数型数列”？若是，请给出证明；若不是，请说明理由；（3）若数列是“指数型数列”，且，证明：数列中任意三项都不能构成等差数列.

揭阳市2023—2024学年度高中二年级教学质量测试数学本试题共4页，考试时间120分钟，满分150分注意事项：1.答题前，考生先将自己的信息填写清楚､准确，将条形码准确粘贴在条形码粘贴处.2.请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效.3.答题时请按要求用笔，保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破､弄皱，不得使用涂改液､修正带､刮纸刀.考试结束后，请将本试题及答题卡交回.一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若，则复数在复平面内对应的点位于（）A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限【答案】A【解析】【分析】根据复数代数形式的除法运算化简复数，再根据复数的几何意义判断即可.【详解】因为，所以，所以复数在复平面内对应的点为，位于第一象限.故选：A2.为了得到的图象，只要将函数的图象（）A.向左平移个单位长度 B.向右平移个单位长度C.向右平移个单位长度 D.向左平移个单位长度【答案】A【解析】【分析】将变形为，由“左加右减，上加下减”的平移规则即可判断.【详解】由可知，将函数的图象向左平移个单位长度即得的图象.故选：A.3.设是三个不同平面，且，则是的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】利用面面平行的性质定理，及它们之间的推出关系，即可以作出判断.【详解】由于，，由平面平行的性质定理可得：，所以是的充分条件；但当，，并不能推出，也有可能相交，所以是的不必要条件；故选:A.4.曲线在点处的切线方程为（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】求出函数的导函数，即可求出切线的斜率，再由点斜式计算可得.【详解】因为，则，，所以，所以曲线在点处的切线方程为，即.故选：D5.若直线平分圆，则实数的值为（）A. B. C. D.或【答案】C【解析】【分析】列出所满足的条件，由直线过圆心求得的值.【详解】可化为，则，又直线平分圆，则直线经过圆心.代入直线得，解得或.因为不满足，故故选：C.6.《周髀算经》中有这样一个问题：从冬至日起，依次小寒､大寒､立春､雨水､惊蛰､春分､清明､谷雨､立夏､小满､芒种这十二个节气其日影长依次成等差数列，小寒､立春､惊蛰日影长之和为尺，前八个节气日影长之和为尺，则小满日影长为（）A.1.5尺 B.3.5尺 C.5.5尺 D.7.5尺【答案】B【解析】【分析】根据给定条件，构造等差数列，结合等差数列通项公式及前项和得到方程组，求出，，再求出即可.【详解】设冬至日、小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气的日影长分别为，，，，前项和，由小寒、立春、惊蛰日影长之和为尺，前八个节气日影长之和为尺，得，解得，，所以小满日影长为（尺）．故选：B7.已知函数，其中且且为常数.若对任意且，在内均存在唯一零点，则的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】先求导函数，可以判断函数在上单调递增，进而转化为，再解不等式得对一切成立，进而得范围.【详解】，当时，恒成立，所以函数上单调递增，若函数在内均存在唯一零点，只需即可，即，因为且，，所以对一切成立，因为当时，，当且仅当时等号成立，所以.故选：C．8.已知为球面上四点，分别是的中点，以为直径的球称为的“伴随球”.若三棱锥的四个顶点均在表面积为的球面上，它的两条棱的长度分别为8和6，则的伴随球的体积的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由已知求出三棱锥的外接球半径，求出，进一步求出的范围，从而得出答案即可．【详解】设三棱锥外接球的半径为，则，所以球的半径为，则球的两条弦的中点为，则，即弦分别是以为球心，半径为和的球的切线，且弦在以为球心，半径为的球的外部，的最大距离为，最小距离为，当三点共线时，分别取最大值与最小值，故的伴随球半径分别为，当半径为时，的伴随球的体积为，当半径为时，的伴随球的体积．∴的伴随球的体积的取值范围是．故选：D.【点睛】关键点点睛：由三棱锥的外接球半径，求出是解题的关键．二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知向量，，则（）A.B.与可作为一组基底向量C.与夹角的余弦值为D.在上投影向量的坐标为【答案】BC【解析】【分析】对A：计算即可得；对B：借助基底向量的定义即可得；对C：借助平面向量夹角公式计算即可得；对D：借助投影向量定义计算即可得.【详解】因为，，对于A：，则，故A错误；对于B：因为，所以与为不共线的向量，故与可作为一组基底向量，故B正确；对于C：，所以，故C正确；对于D：，所以在上的投影向量的坐标为，故D错误.

故选：BC10.已知函数，则（）A.的值域为B.为偶函数C.在上单调递增D.在上有2个零点【答案】ABD【解析】【分析】首先化简函数的解析式，再根据函数的振幅判断函数的最值，并求函数的解析式，判断函数的性质，求解函数在区间上的零点个数，即可判断选项.【详解】．A．因为，所以，故A正确．B．因为，所以，是偶函数，故B正确．C．由选项可得，，由余弦函数的图象可知，在上单调递减，故C错误．D．令，则，所以．令，可得，又，所以或，所以在上有2个零点，故D正确．故选：ABD11.已知函数，下列说法正确的是（）A.与的定义域不同B.的单调递减区间为C.若有三个不同的解，则D.对任意两个不相等正实数，若，则【答案】AD【解析】【分析】利用定义域关于原点对称且是奇函数，确定选项A；利用求导和导函数值小于0，解不等式，排除选项B；利用导数研究单调性和自变量趋向于正、负无穷时的极限值来作出简图，通过是不符合题意，来排除选项C；利用极值点偏移法，构造函数并进行求导分析证明，确定选项D．【详解】对于A，由的定义域为，而的定义域为，所以选项A是正确的；对于B，由函数定义域为，因为，由，得到，解得或，所以的单调递减区间为，，所以选项B是错误；对于C，因为，由，解得且，所以的增区间为区间，，由选项B知，的减区间为，，又，当时，，且，当时，，且，当且时，，当且时，，其图象如图所示，

由图知，有三个不同的解，则且，所以选项C是错误；对于D，由题知，得到，由图，不妨设，设，，则，当时，，，所以，即在区间上单调递增，又，所以，得到，又，当时，，即在区间上单调递减，又，所以，得到，所以选项D正确.故选：AD.三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.在中，内角的对边分别为，其中，则__________.【答案】【解析】【分析】利用诱导公式求出，再由余弦定理计算可得.【详解】因为，所以，由余弦定理，即，所以（负值已舍去）.故答案为：13.已知集合，，则__________.【答案】【解析】【分析】首先解对数不等式求出集合，再解分式不等式求出集合，最后根据交集的定义计算可得.【详解】由，即，所以，解得，所以，由，解得，所以，所以.故答案为：14.已知椭圆的左､右焦点分别为为上且不与顶点重合的任意一点，为的内心，为坐标原点，记直线的斜率分别为，，若，则的离心率为__________.【答案】##【解析】【分析】设，设圆与轴相切于点，结合圆的切线长的性质证明，结合椭圆性质可得，由内切圆性质可得，由条件确定关系，由此可求离心率.【详解】设，设圆与轴相切于点，则，又，，所以，所以，即，过点作直线的垂线，垂足为，则，所以，所以，所以，∴，∴，由三角形面积相等，得，，，，所以，，即得.故答案为：..【点睛】方法点睛：椭圆的离心率是椭圆最重要的几何性质，求椭圆的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法：①求出，代入公式；②只需要根据一个条件得到关于的齐次式，结合转化为的齐次式，然后等式(不等式)两边分别除以或转化为关于的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得(的取值范围)．四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15.记的内角的对边分别为，已知.（1）求；（2）若为边的中点，且，求面积的最大值.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根据正弦定理进行角换边，再利用余弦定理即可得到；（2）转化为求的最大值，利用余弦定理结合基本不等式即可得，最后根据三角形面积公式即可得到最值.【小问1详解】因为，所以由正弦定理可得，即，则，由余弦定理得.又，所以.【小问2详解】因为是边的中点，即，所以.在中，，由余弦定理得，即，所以，所以，当且仅当时取等号，所以，当且仅当时取等号，即面积的最大值为.16.南方游客勇闯冰雪大世界点燃了民众对冰雪运动的热情，其中雪上运动深受游客的喜爱.某新闻媒体机构随机调查了男､女性游客各100名，统计结果如下表所示：对滑雪的喜爱情况性别合计男性游客女性游客喜欢滑雪603595不喜欢滑雪4065105合计100100200（1）依据小概率值的独立性检验，能否认为游客是否喜欢滑雪与性别有关联？（2）冰雪大世界招募初学者进行滑雪培训，对四个滑雪基本动作（起步､滑行､转弯､制动）进行指导.据统计，每位初学者对起步、滑行、转弯、制动这四个动作达到优秀的概率分别为，且四个滑雪基本动作是否达到优秀相互独立.若这四个滑雪基本动作至少有三个达到优秀，则可荣获“优秀学员”称号.求滑雪初学者荣获“优秀学员”称号的概率.附：.0.050.010.0013.8416.63510.828【答案】（1）可以认为游客是否喜欢滑雪与性别有关联（2）【解析】【分析】（1）计算出卡方，即可判断；（2）根据相互独立事件及互斥事件的概率公式计算可得.小问1详解】零假设为游客是否喜欢滑雪与性别无关联，依题意可得，所以根据小概率值的独立性检验，我们推断不成立，即认为游客是否喜欢滑雪与性别有关联，此推断犯错误的概率不大于.【小问2详解】令事件分别表示初学者对起步、滑行、转弯、制动达到优秀，滑雪初学者荣获“优秀学员”称号为事件，所以，所以滑雪初学者荣获“优秀学员”称号的概率是.17.如图，在四棱台中，平面，2，，.（1）记平面与平面的交线为，证明：平面；（2）求平面与平面的夹角的余弦值.【答案】（1）证明见解析（2）【解析】【分析】（1）首先证明平面，即可得到，再证明平面，即可得证；（2）建立空间直角坐标系，用空间向量法来求两平面夹角的余弦值.【小问1详解】因为，平面，平面，所以平面，又平面，平面平面，所以.因为平面，平面，所以，在中，，，由余弦定理可得，所以，所以，又，平面，所以平面，所以平面.【小问2详解】因为，平面，所以平面，如图建立空间直角坐标系，则，，，，，，设平面的法向量为，则，令，得，，所以.又是平面的一个法向量，记平面与平面的夹角为，则，所以平面与平面的夹角的余弦值为.18.已知抛物线的准线为，焦点为为上异于原点且不重合的三点.（1）求的方程；（2）若为的重心，求的值；（3）过两点分别作的切线与相交于点，若，求面积的最大值.【答案】（1）（2）（3）【解析】【分析】（1）根据抛物线的准线方程即可求解；（2）设，由为的重心，得,即，再根据抛物线的定义即可求解；（3）设直线的方程为，，联立直线与抛物线得交点坐标关系，再求导并根据导数的几何意义求解切线的斜率，即可得切线方程，从而可得切线的交点坐标，根据三角形面积公式列关系求解即可.【小问1详解