2019高三数学（人教A版理）一轮教师用书第6章第1节　不等式的性质与一元二次不等式

第章不等式、推理与证明第一节不等式的性质与一元二次不等式[考纲](教师用书独具)1.了解现实世界和日常生活中存在着大量的不等关系，了解不等式(组)的实际背景.2.会从实际问题的情境中抽象出一元二次不等式模型.3.通过函数图象了解一元二次不等式与相应的二次函数、一元二次方程的联系.4.会解一元二次不等式，对给定的一元二次不等式，会设计求解的程序框图．(对应学生用书第90页)[基础知识填充]1．实数的大小顺序与运算性质的关系(1)a>b⇔a－b>0；(2)a＝b⇔a－b＝0；(3)a<b⇔a－b<0.2．不等式的性质(1)对称性：a>b⇔b<a；(双向性)(2)传递性：a>b，b>c⇒a>c；(单向性)(3)可加性：a>b⇔a＋c>b＋c；(双向性)a>b，c>d⇒a＋c>b＋d；(单向性)(4)可乘性：a>b，c>0⇒ac>bc；a>b，c<0⇒ac<bc；a>b>0，c>d>0⇒ac>bd；(单向性)(5)乘方法则：a>b>0⇒an>bn(n≥2，n∈N)；(单向性)(6)开方法则：a>b>0⇒eq\r(n,a)>eq\r(n,b)(n≥2，n∈N)；(单向性)(7)倒数性质：设ab>0，则a<b⇔eq\f(1,a)>eq\f(1,b).(双向性)3．“三个二次”的关系判别式Δ＝b2－4acΔ>0Δ＝0Δ<0二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a>0)的根有两相异实根x1，x2(x1<x2)有两相等实根x1＝x2＝－eq\f(b,2a)没有实数根ax2＋bx＋c>0(a>0)的解集{x|x<x1或x>x2}{x|x≠x1}Rax2＋bx＋c<0(a>0)的解集{x|x1<x<x2}∅∅4.常用结论(口诀：大于取两边，小于取中间)(x－a)(x－b)＞0或(x－a)(x－b)＜0型不等式的解法不等式解集a＜ba＝ba＞b(x－a)·(x－b)＞0{x|x＜a或x＞b}{x|x≠a}{x|x＜b或x＞a}(x－a)·(x－b)＜0{x|a＜x＜b}∅{x|b＜x＜a}[知识拓展]1.倒数性质，若ab>0，则a>b⇔eq\f(1,a)<eq\f(1,b).2．若a＞b＞0，m＞0，则eq\f(b,a)＜eq\f(b＋m,a＋m).3．(1)eq\f(fx,gx)＞0(＜0)⇔f(x)·g(x)＞0(＜0)．(2)eq\f(fx,gx)≥0(≤0)⇔f(x)·g(x)≥0(≤0)且g(x)≠0.以上两式的核心要义是将分式不等式转化为整式不等式．4．不等式ax2＋bx＋c>0对任意实数x恒成立⇔eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝b＝0，,c>0))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a>0，,Δ<0.))不等式ax2＋bx＋c<0对任意实数x恒成立⇔eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝b＝0，,c<0))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a<0，,Δ<0.))[基本能力自测]1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)两个实数a，b之间，有且只有a＞b，a＝b，a＜b三种关系中的一种．()(2)a>b⇔ac2>bc2.()(3)a>b>0，c>d>0⇒eq\f(a,d)>eq\f(b,c).()(4)若不等式ax2＋bx＋c<0的解集为(x1，x2)，则必有a>0.()(5)若方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)没有实数根，则不等式ax2＋bx＋c>0的解集为R.()(6)若二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象开口向下，则不等式ax2＋bx＋c＜0的解集一定不是空集．()[答案](1)√(2)×(3)√(4)√(5)×(6)√2．已知a，b是实数，则“a＞0且b＞0”是“a＋b＞0且ab＞0”的()A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件C[eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＞0，,b＞0))⇒eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＋b＞0，,ab＞0，))又当ab＞0时，a与b同号，结合a＋b＞0知a＞0且b＞0，故“a＞0且b＞0”是“a＋b＞0且ab＞0”的充要条件．]3．若a，b∈R，且a>b，则下列不等式恒成立的是()A．a2>b2 B．eq\f(a,b)>1C．2a>2b D．lg(a－b)>0C[取a＝－1，b＝－2，排除A，B，D．故选C．]4．不等式－x2－3x＋4>0的解集为________．(用区间表示)(－4,1)[由－x2－3x＋4>0得x2＋3x－4<0，解得－4<x<1，所以不等式－x2－3x＋4>0的解集为(－4,1)．]5．(教材改编)若不等式ax2＋bx＋2＞0的解集为eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)＜x＜\f(1,3)))))，则a＋b＝________.－14[由题意知x1＝－eq\f(1,2)，x2＝eq\f(1,3)是方程ax2＋bx＋2＝0的两个根，则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－\f(b,a)＝－\f(1,2)＋\f(1,3)，,\f(2,a)＝－\f(1,2)×\f(1,3)，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝－12，,b＝－2))(经检验知满足题意)．∴a＋b＝－14.](对应学生用书第91页)比较大小与不等式的性质(1)已知实数a，b，c满足b＋c＝6－4a＋3a2，c－b＝4－4a＋a2，则a，b，c的大小关系是()A．c≥b＞a B．a＞c≥bC．c＞b＞a D．a＞c＞b(2)(2017·山东高考)若a>b>0，且ab＝1，则下列不等式成立的是()A．a＋eq\f(1,b)<eq\f(b,2a)<log2(a＋b) B．eq\f(b,2a)<log2(a＋b)<a＋eq\f(1,b)C．a＋eq\f(1,b)<log2(a＋b)<eq\f(b,2a) D．log2(a＋b)<a＋eq\f(1,b)<eq\f(b,2a)(1)A(2)B[(1)∵c－b＝4－4a＋a2＝(a－2)2≥0，∴c≥b.又b＋c＝6－4a＋3a2，∴2b＝2＋2a2，∴b＝a2＋1，∴b－a＝a2－a＋1＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a－\f(1,2)))eq\s\up12(2)＋eq\f(3,4)＞0，∴b＞a，∴c≥b＞a.(2)法一：∵a>b>0，ab＝1，∴log2(a＋b)>log2(2eq\r(ab))＝1.∵eq\f(b,2a)＝eq\f(\f(1,a),2a)＝a－1·2－a，令f(a)＝a－1·2－a，又∵b＝eq\f(1,a)，a>b>0，∴a>eq\f(1,a)，解得a>1.∴f′(a)＝－a－2·2－a－a－1·2－a·ln2＝－a－2·2－a(1＋aln2)<0，∴f(a)在(1，＋∞)上单调递减．∴f(a)<f(1)，即eq\f(b,2a)<eq\f(1,2).∵a＋eq\f(1,b)＝a＋a＝2a>a＋b>log2(a＋b)，∴eq\f(b,2a)<log2(a＋b)<a＋eq\f(1,b).故选B．法二：∵a>b>0，ab＝1，∴取a＝2，b＝eq\f(1,2)，此时a＋eq\f(1,b)＝4，eq\f(b,2a)＝eq\f(1,8)，log2(a＋b)＝log2eq\f(5,2)，∴eq\f(b,2a)<log2(a＋b)<a＋eq\f(1,b).故选B．][规律方法]1.比较两个数(式)大小的两种方法2．与充要条件相结合问题．用不等式的性质分别判断p⇒q和q⇒p是否正确，要注意特殊值法的应用．3．与命题真假判断相结合问题．解决此类问题除根据不等式的性质求解外，还经常采用特殊值验证的方法．[跟踪训练](1)(2018·东北三省四市模拟(二))设a，b均为实数，则“a＞|b|”是“a3＞b3”的()A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件(2)已知m∈R，a＞b＞1，f(x)＝eq\f(m2x,x－1)，则f(a)与f(b)的大小关系是()【导学号：97190189】A．f(a)＞f(b) B．f(a)＜f(b)C．f(a)≤f(b) D．不确定(1)A(2)C[(1)a＞|b|能推出a＞b，进而得a3＞b3；当a3＞b3时，有a＞b，但若b＜a＜0，则a＞|b|不成立，所以“a＞|b|”是“a3＞b3”的充分不必要条件，故选A．(2)∵f(a)＝eq\f(m2a,a－1)，f(b)＝eq\f(m2b,b－1)，∴f(a)－f(b)＝eq\f(m2a,a－1)－eq\f(m2b,b－1)＝m2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,a－1)－\f(b,b－1)))＝m2·eq\f(ab－1－ba－1,a－1b－1)＝m2·eq\f(b－a,a－1b－1)，当m＝0时，f(a)＝f(b)；当m≠0时，m2＞0，又a＞b＞1，∴f(a)＜f(b)．综上，f(a)≤f(b)．]一元二次不等式的解法解下列不等式：(1)3＋2x－x2≥0；(2)x2－(a＋1)x＋a<0.[解](1)原不等式化为x2－2x－3≤0，即(x－3)(x＋1)≤0，故所求不等式的解集为{x|－1≤x≤3}．(2)原不等式可化为(x－a)(x－1)<0，当a>1时，原不等式的解集为(1，a)；当a＝1时，原不等式的解集为∅；当a<1时，原不等式的解集为(a,1)．将(2)中不等式改为ax2－(a＋1)x＋1<0，求不等式的解集．[解]若a＝0，原不等式等价于－x＋1<0，解得x>1.若a<0，原不等式等价于eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,a)))(x－1)>0，解得x<eq\f(1,a)或x>1.若a>0，原不等式等价于eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,a)))(x－1)<0.①当a＝1时，eq\f(1,a)＝1，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,a)))(x－1)<0无解；②当a>1时，eq\f(1,a)<1，解eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,a)))(x－1)<0得eq\f(1,a)<x<1；③当0<a<1时，eq\f(1,a)>1，解eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,a)))(x－1)<0得1<x<eq\f(1,a).综上所述：当a<0时，解集为eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(x<\f(1,a)或x>1))))；当a＝0时，解集为{x|x>1}；当0<a<1时，解集为eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(1<x<\f(1,a)))))；当a＝1时，解集为∅；当a>1时，解集为eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(1,a)<x<1)))).[规律方法]1.解一元二次不等式的一般方法和步骤1化：把不等式变形为二次项系数大于零的标准形式.2判：计算对应方程的判别式，根据判别式判断方程有没有实根无实根时，不等式解集为R或∅.3求：求出对应的一元二次方程的根.4写：利用“大于取两边，小于取中间”写出不等式的解集.2.解含参数的一元二次不等式的步骤：1二次项中若含有参数应讨论是等于0，小于0，还是大于0，然后将不等式转化为一次不等式或二次项系数为正的形式.2判断方程的根的个数，讨论判别式Δ与0的关系.3确定无根时可直接写出解集，确定方程有两个根时，要讨论两根的大小关系，从而确定解集形式.[跟踪训练](1)不等式eq\f(2x＋1,x－5)≥－1的解集为________．(2)已知不等式ax2－bx－1>0的解集是，则不等式x2－bx－a≥0的解集是()(1)eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(x≤\f(4,3)或x＞5))))(2)B[(1)将原不等式移项通分得eq\f(3x－4,x－5)≥0，等价于eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3x－4x－5≥0，,x－5≠0，))解得x≤eq\f(4,3)或x＞5.∴原不等式的解集为eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(x≤\f(4,3)或x＞5)))).(2)∵不等式ax2－bx－1>0的解集是eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(,,,))－\f(1,2)<x<－\f(1,3)))，∴ax2－bx－1＝0的解是x1＝－eq\f(1,2)和x2＝－eq\f(1,3)，且a<0，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)－\f(1,3)＝\f(b,a)，,\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))×\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,3)))＝－\f(1,a)，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝－6，,b＝5.))则不等式x2－bx－a≥0即为x2－5x＋6≥0，解得x≤2或x≥3.]一元二次不等式恒成立问题◎角度1形如f(x)≥0(x∈R)求参数的范围不等式(a－2)x2＋2(a－2)x－4<0对一切x∈R恒成立，则实数a的取值范围是________.【导学号：97190190】(－2,2][当a－2＝0，即a＝2时，不等式即为－4<0，对一切x∈R恒成立，当a≠2时，则有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a－2<0，,Δ＝4a－22＋16a－2<0，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a<2，,－2<a<2，))∴－2<a<2.综上，可得实数a的取值范围是(－2,2]．]◎角度2形如f(x)≥0eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x∈[a，b]))求参数的范围设函数f(x)＝mx2－mx－1.若对于x∈[1,3]，f(x)<－m＋5恒成立，求m的取值范围．[解]要使f(x)<－m＋5在x∈[1,3]上恒成立，即meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,2)))eq\s\up12(2)＋eq\f(3,4)m－6<0在x∈[1,3]上恒成立．有以下两种方法：法一：令g(x)＝meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,2)))eq\s\up12(2)＋eq\f(3,4)m－6，x∈[1,3]．当m>0时，g(x)在[1,3]上是增函数，所以g(x)max＝g(3)⇒7m－6<0，所以m<eq\f(6,7)，所以0<m<eq\f(6,7)；当m＝0时，－6<0恒成立；当m<0时，g(x)在[1,3]上是减函数，所以g(x)max＝g(1)⇒m－6<0，所以m<6，所以m<0.综上所述：m的取值范围是eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(m\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(m<\f(6,7))))).法二：因为x2－x＋1＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,2)))eq\s\up12(2)＋eq\f(3,4)>0，又因为m(x2－x＋1)－6<0，所以m<eq\f(6,x2－x＋1).因为函数y＝eq\f(6,x2－x＋1)＝eq\f(6,\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,2)))eq\s\up12(2)＋\f(3,4))在[1,3]上的最小值为eq\f(6,7)，所以只需m<eq\f(6,7)即可．所以m的取值范围是eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(m\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(m<\f(6,7))))).◎角度3形如f(x)≥0(参数m∈[a，b])求x的范围对任意的k∈[－1,1]，函数f(x)＝x2＋(k－4)x＋4－2k的值恒大于零，则x的取值范围是__________．{x|x<1或x>3}[对任意的k∈[－1,1]，x2＋(k－4)x＋4－2k>0恒成立，即g(k)＝(x－2)k