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文档简介
课题:《离散型随机变量的方差》(第1课时)教学目标:知识与技能:了解离散型随机变量的方差、标准差的意义,会根据离散型随机变量的分布列求出方差或标准差。过程与方法:了解方差公式“D(aξ+b)=a2Dξ”,以及“若ξ~Β(n,p),则Dξ=np(1—p)”,并会应用上述公式计算有关随机变量的方差。情感、态度与价值观:承前启后,感悟数学与生活的和谐之美,体现数学的文化功能与人文价值。教学重点:离散型随机变量的方差、标准差教学难点:比较两个随机变量的期望与方差的大小,从而解决实际问题教具准备:多媒体、实物投影仪。教学设想:了解方差公式“D(aξ+b)=a2Dξ”,以及“若ξ~Β(n,p),则Dξ=np(1—p)”,并会应用上述公式计算有关随机变量的方差。授课类型:新授课
课时安排:2课时
教
具:多媒体、实物投影仪
内容分析:
数学期望是离散型随机变量的一个特征数,它反映了离散型随机变量取值的平均水平,表示了随机变量在随机实验中取值的平均值,所以又常称为随机变量的平均数、均值.今天,我们将对随机变量取值的稳定与波动、集中与离散的程度进行研究.其实在初中我们也对一组数据的波动情况作过研究,即研究过一组数据的方差.回顾一组数据的方差的概念:设在一组数据,,…,中,各数据与它们的平均值得差的平方分别是,,…,,那么
++…+叫做这组数据的方差
教学过程:一、复习引入:1.随机变量:如果随机试验的结果可以用一个变量来表示,那么这样的变量叫做随机变量
随机变量常用希腊字母ξ、η等表示2.离散型随机变量:对于随机变量可能取的值,可以按一定次序一一列出,这样的随机变量叫做离散型随机变量
3.连续型随机变量:对于随机变量可能取的值,可以取某一区间内的一切值,这样的变量就叫做连续型随机变量
4.离散型随机变量与连续型随机变量的区别与联系:离散型随机变量与连续型随机变量都是用变量表示随机试验的结果;但是离散型随机变量的结果可以按一定次序一一列出,而连续性随机变量的结果不可以一一列出
5.分布列:ξ
x1
x2
…
xi
…P
P1
P2
…
Pi
…6.分布列的两个性质:⑴Pi≥0,i=1,2,…;⑵P1+P2+…=1.7.二项分布:ξ~B(n,p),并记=b(k;n,p).ξ
0
1
…
k
…
nP
…
…8.几何分布:g(k,p)=
,其中k=0,1,2,…,
.ξ
1
2
3
…
k
…P
…9.数学期望:
一般地,若离散型随机变量ξ的概率分布为ξ
x1
x2
…
xn
…P
p1
p2
…
pn
…则称
……
为ξ的数学期望,简称期望.10.数学期望是离散型随机变量的一个特征数,它反映了离散型随机变量取值的平均水平
11平均数、均值:在有限取值离散型随机变量ξ的概率分布中,令
…,则有
…,
…,所以ξ的数学期望又称为平均数、均值
12.期望的一个性质:
13.若ξB(n,p),则Eξ=np
二、讲解新课:
1.方差:对于离散型随机变量ξ,如果它所有可能取的值是,,…,,…,且取这些值的概率分别是,,…,,…,那么,
=++…++…称为随机变量ξ的均方差,简称为方差,式中的是随机变量ξ的期望.2.标准差:的算术平方根叫做随机变量ξ的标准差,记作.3.方差的性质:(1);(2);(3)若ξ~B(n,p),则np(1p)
4.其它:⑴随机变量ξ的方差的定义与一组数据的方差的定义式是相同的;⑵随机变量ξ的方差、标准差也是随机变量ξ的特征数,它们都反映了随机变量取值的稳定与波动、集中与离散的程度;⑶标准差与随机变量本身有相同的单位,所以在实际问题中应用更广泛三、讲解范例:例1.随机抛掷一枚质地均匀的骰子,求向上一面的点数的均值、方差和标准差.解:抛掷散子所得点数X的分布列为ξ
1
2
3
4
5
6从而例2.有甲乙两个单位都愿意聘用你,而你能获得如下信息:甲单位不同职位月工资X1/元
1200
1400
1600
1800获得相应职位的概率P1
0.4
0.3
0.2
0.1乙单位不同职位月工资X2/元
1000
1400
1800
2000获得相应职位的概率P2
0.4
0.3
0.2
0.1根据工资待遇的差异情况,你愿意选择哪家单位?解:根据月工资的分布列,利用计算器可算得EX1=1200×0.4+1400×0.3+1600×0.2+1800×0.1=1400,DX1=(12001400)2×0.4+(14001400)2×0.3+(16001400)2×0.2+(18001400)2×0.1=40000;EX2=1000×0.4+1400×0.3+1800×0.2+2200×0.1=1400,DX2=(10001400)2×0.4+(14001400)×0.3+(18001400)2×0.2+(22001400)2×0.l=160000.因为EX1=EX2,DX1<DX2,所以两家单位的工资均值相等,但甲单位不同职位的工资相对集中,乙单位不同职位的工资相对分散.这样,如果你希望不同职位的工资差距小一些,就选择甲单位;如果你希望不同职位的工资差距大一些,就选择乙单位.例3.设随机变量ξ的分布列为ξ
1
2
…
nP
…求Dξ
解:(略),
例4.已知离散型随机变量的概率分布为
1
2
3
4
5
6
7离散型随机变量的概率分布为
3.7
3.8
3.9
4
4.1
4.2
4.3P
求这两个随机变量期望、均方差与标准差解:;
;
;
=0.04,
.点评:本题中的和都以相等的概率取各个不同的值,但的取值较为分散,的取值较为集中.,,,方差比较清楚地指出了比取值更集中.
=2,=0.02,可以看出这两个随机变量取值与其期望值的偏差
例5.甲、乙两射手在同一条件下进行射击,分布列如下:射手甲击中环数8,9,10的概率分别为0.2,0.6,0.2;射手乙击中环数8,9,10的概率分别为
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