高考总复习文数（北师大版）讲义第9章第05节椭圆及其性质

第五节椭圆及其性质考点高考试题考查内容核心素养椭圆方程2015·全国卷Ⅱ·T20·12分求椭圆方程证明定值问题数学运算逻辑推理2017·全国卷Ⅱ·T20·12分求椭圆方程证明定值问题数学运算逻辑推理2017·全国卷Ⅰ·T12·5分求椭圆方程数学运算椭圆的性质2015·全国卷Ⅰ·T5·5分已知椭圆的离心率求椭圆与抛物线综合问题数学运算2016·全国卷Ⅲ·T12·5分求椭圆的离心率数学运算2017·全国卷Ⅲ·T11·5分求椭圆离心率数学运算命题分析椭圆的定义、标准方程、几何性质一直是高考的热点，其中离心率考查比较频繁．直线与椭圆的位置关系多以解答题的形式出现，解题时要注意数形结合、转化与化归思想.1．椭圆的定义平面内到两定点F1，F2的距离之和__等于常数__(大于|F1F2|)的点的集合叫作椭圆．两定点F1，F2叫作椭圆的__焦点__.集合P＝{M||MF1|＋|MF2|＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a＞0，c＞0，且a(1)当__2a＞|F1F2|__时，P(2)当__2a＝|F1F2|__时，P(3)当__2a＜|F1F2|__时，P2．椭圆的标准方程和几何性质

标准方程eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)eq\f(x2,b2)＋eq\f(y2,a2)＝1(a＞b＞0)图形性质范围__－a__≤x≤__a__，__－b__≤y≤__b____－b__≤x≤__b__，__－a__≤y≤__a__对称性对称轴：__坐标轴__，对称中心：__(0,0)__顶点A1__(－a,0)__，A2__(a,0)__，B1__(0，－b)__，B2__(0，b)__A1__(0，－a)__，A2__(0，a)__，B1__(－b,0)__，B2__(b,0)__轴长轴A1A2的长为__2a__，短轴B1B2的长为__2焦距|F1F2|＝__2离心率e＝eq\f(c,a)，e∈__(0,1)__a，b，c的关系c2＝__a2－b2__提醒：1．辨明两个易误点(1)椭圆的定义中易忽视2a＞|F1F2|这一条件，当2a＝|F1F2|时，其轨迹为线段F1F2，当2a＜|F(2)求椭圆的标准方程时易忽视判断焦点的位置，而直接设方程为eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)．2．求椭圆标准方程的两种方法(1)定义法：根据椭圆的定义，确定a2，b2的值，结合焦点位置可写出椭圆方程．(2)待定系数法：若焦点位置明确，则可设出椭圆的标准方程，结合已知条件求出a、b；若焦点位置不明确，则需要分焦点在x轴上和y轴上两种情况讨论，也可设椭圆的方程为Ax2＋By2＝1(A＞0，B＞0，A≠B)．1．判断下列结论的正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)平面内与两个定点F1，F2的距离之和等于常数的点的轨迹是椭圆．()(2)动点P到两定点A(0，－2)，B(0,2)的距离之和为4，则点P的轨迹是椭圆．()(3)椭圆的离心率e越大，椭圆就越圆．()(4)椭圆既是轴对称图形，又是中心对称图形．()(5)方程mx2＋ny2＝1(m>0，n>0，m≠n)表示的曲线是椭圆．()答案：(1)×(2)×(3)×(4)√(5)√2．(教材习题改编)设P是椭圆eq\f(x2,25)＋eq\f(y2,16)＝1上的点，若F1，F2是椭圆的两个焦点，则|PF1|＋|PF2|等于()A．4 B．5C．8 D．10解析：选D依椭圆的定义知：|PF1|＋|PF2|＝2×5＝10．3．(教材习题改编)已知椭圆的一个焦点为F(6,0)，离心率e＝eq\f(3,5)，则椭圆的标准方程为()A．eq\f(x2,25)＋eq\f(y2,16)＝1 B．eq\f(x2,16)＋eq\f(y2,25)＝1C．eq\f(x2,100)＋eq\f(y2,64)＝1 D．eq\f(x2,64)＋eq\f(y2,100)＝1解析：选Cc＝6，e＝eq\f(c,a)＝eq\f(3,5)，所以a＝eq\f(5,3)c＝eq\f(5,3)×6＝10，b2＝a2－c2＝64，又因为焦点在x轴上，故椭圆的标准方程为eq\f(x2,100)＋eq\f(y2,64)＝1．4．已知点P是椭圆eq\f(x2,5)＋eq\f(y2,4)＝1上y轴右侧的一点，且以点P及焦点F1，F2为顶点的三角形的面积等于1，则点P的坐标为__________．解析：a2＝5，b2＝4，c2＝a2－b2＝1，c＝1.|F1F2|＝2c设P(x，y)，S△PF1F2＝eq\f(1,2)|F1F2|·|y|，eq\f(1,2)×2|y|＝1，|y|＝1，y＝±1．eq\f(x2,5)＋eq\f(1,4)＝1，x＝±eq\f(\r(15),2)，∵x＞0，x＝eq\f(\r(15),2)，∴Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(15),2)，±1))．答案：eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(15),2)，±1))椭圆的定义及应用[明技法](1)椭圆定义的应用范围①确认平面内与两定点有关的轨迹是否为椭圆．②解决与焦点有关的距离问题．(2)焦点三角形的应用椭圆上一点P与椭圆的两焦点F1，F2组成的三角形通常称为“焦点三角形”，利用定义可求其周长；利用定义和余弦定理可求|PF1||PF2|；通过整体代入可求其面积等．[提能力]【典例】(2018·徐州模拟)已知F1，F2是椭圆C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)的两个焦点，P为椭圆C上的一点，且PF1⊥PF2，若△PF1F2的面积为9，则b＝________．解析：设|PF1|＝r1，|PF2|＝r2，则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(r1＋r2＝2a，,r\o\al(2,1)＋r\o\al(2,2)＝4c2，))所以2r1r2＝(r1＋r2)2－(req\o\al(2,1)＋req\o\al(2,2))＝4a2－4c2＝4b2，所以S△PF1F2＝eq\f(1,2)r1r2＝b2＝9，所以b＝3．答案：3[刷好题]1．设F1，F2是椭圆eq\f(x2,9)＋eq\f(y2,4)＝1的两个焦点，P是椭圆上的一点，且|PF1|∶|PF2|＝2∶1，则△PF1F2的面积为()A．4 B．6C．2eq\r(2) D．4eq\r(2)解析：选A因为点P在椭圆上，所以|PF1|＋|PF2|＝6，又因为|PF1|∶|PF2|＝2∶1，所以|PF1|＝4，|PF2|＝2，又易知|F1F2|＝2eq\r(5)，显然|PF1|2＋|PF2|2＝|F1F2|2故△PF1F2所以△PF1F2的面积为eq\f(1,2)×2×4＝4.故选A．2．已知两圆C1：(x－4)2＋y2＝169，C2：(x＋4)2＋y2＝9，动圆在圆C1内部且和圆C1相内切，和圆C2相外切，则动圆圆心M的轨迹方程为__________．解析：设动圆M的半径为r，则|MC1|＋|MC2|＝(13－r)＋(3＋r)＝16，又|C1C2|＝8＜16，所以动圆圆心M的轨迹是以C1、C2为焦点的椭圆，且2a＝16,2c＝8，则a所以b2＝48，又焦点C1、C2在x轴上，故所求的轨迹方程为eq\f(x2,64)＋eq\f(y2,48)＝1．答案：eq\f(x2,64)＋eq\f(y2,48)＝1椭圆的标准方程[明技法]用待定系数法求椭圆标准方程的四个步骤eq\x(定位置)→eq\x(\a\al(根据条件判断椭圆的焦点在x轴上，还是在y轴上，,还是两个坐标轴都有可能))eq\x(设方程)→eq\x(根据上述判断设出方程)eq\x(找关系)→eq\x(根据已知条件，建立关于a，b，c的方程组)eq\x(得方程)→eq\x(解方程组，将解代入所设方程，即为所求)[提能力]【典例】(1)(2018·湖南联考)已知椭圆的中心在原点，离心率e＝eq\f(1,2)，且它的一个焦点与抛物线y2＝－4x的焦点重合，则此椭圆方程为()A．eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,3)＝1 B．eq\f(x2,8)＋eq\f(y2,6)＝1C．eq\f(x2,2)＋y2＝1 D．eq\f(x2,4)＋y2＝1(2)设F1，F2分别是椭圆E：x2＋eq\f(y2,b2)＝1(0＜b＜1)的左、右焦点，过点F1的直线交椭圆E于A，B两点，若|AF1|＝3|F1B|，AF2⊥x轴，则椭圆E的标准方程为____________________________．解析：(1)依题意，可设椭圆的标准方程为eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)，由已知可得抛物线的焦点为(－1,0)，所以c＝1，又离心率e＝eq\f(c,a)＝eq\f(1,2)，解得a＝2，b2＝a2－c2＝3，所以椭圆方程为eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,3)＝1．(2)不妨设点A在第一象限，如图所示．因为AF2⊥x轴，所以|AF2|＝b2．因为|AF1|＝3|BF1|，所以Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(5,3)c，－\f(1,3)b2))．将B点代入椭圆方程，得eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(5,3)c))2＋eq\f(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,3)b2))2,b2)＝1，所以eq\f(25,9)c2＋eq\f(b2,9)＝1．又因为b2＋c2＝1，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(c2＝\f(1,3)，,b2＝\f(2,3).))故所求的方程为x2＋eq\f(y2,\f(2,3))＝1．答案：(1)A(2)x2＋eq\f(y2,\f(2,3))＝1[刷好题]求满足下列各条件的椭圆的标准方程：(1)长轴是短轴的3倍且经过点A(3,0)；(2)短轴一个端点与两焦点组成一个正三角形，且焦点到同侧顶点的距离为eq\r(3)；(3)经过点P(－2eq\r(3)，1)，Q(eq\r(3)，－2)两点；(4)与椭圆eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,3)＝1有相同离心率且经过点(2，－eq\r(3))．解：(1)若焦点在x轴上，设方程为eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)．∵椭圆过点A(3,0)．∴eq\f(9,a2)＝1，∴a＝3，∵2a＝3×2b，∴b＝1，∴方程为eq\f(x2,9)＋y2＝1．若焦点在y轴上，设方程为eq\f(y2,a2)＋eq\f(x2,b2)＝1(a>b>0)．∵椭圆过点A(3,0)，∴eq\f(9,b2)＝1，∴b＝3．又2a＝3×2b，∴a＝9，∴方程为eq\f(y2,81)＋eq\f(x2,9)＝1．综上所述，椭圆方程为eq\f(x2,9)＋y2＝1或eq\f(y2,81)＋eq\f(x2,9)＝1．(2)由已知，有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝2c，,a－c＝\r(3)，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝2\r(3)，,c＝\r(3).))从而b2＝a2－c2＝9．∴所求椭圆方程为eq\f(x2,12)＋eq\f(y2,9)＝1或eq\f(x2,9)＋eq\f(y2,12)＝1．(3)设椭圆方程为mx2＋ny2＝1(m>0，n>0，m≠n)．∵点P(－2eq\r(3)，1)，Q(eq\r(3)，－2)在椭圆上，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(12m＋n＝1，,3m＋4n＝1，))解得m＝eq\f(1,15)，n＝eq\f(1,5)．故eq\f(x2,15)＋eq\f(y2,5)＝1为所求椭圆的方程．(4)方法一∵e＝eq\f(c,a)＝eq\f(\r(a2－b2),a)＝eq\r(1－\f(b2,a2))＝eq\r(1－\f(3,4))＝eq\f(1,2)，若焦点在x轴上，设所求椭圆方程为eq\f(x2,m2)＋eq\f(y2,n2)＝1(m>n>0)，则1－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(n,m)))2＝eq\f(1,4)．从而eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(n,m)))2＝eq\f(3,4)，eq\f(n,m)＝eq\f(\r(3),2).又eq\f(4,m2)＋eq\f(3,n2)＝1，∴m2＝8，n2＝6．∴方程为eq\f(x2,8)＋eq\f(y2,6)＝1．若焦点在y轴上，设方程为eq\f(y2,m2)＋eq\f(x2,n2)＝1(m>n>0)，则eq\f(3,m2)＋eq\f(4,n2)＝1，且eq\f(n,m)＝eq\f(\r(3),2)，解得m2＝eq\f(25,3)，n2＝eq\f(25,4)．故所求方程为eq\f(y2,\f(25,3))＋eq\f(x2,\f(25,4))＝1．方法二若焦点在x轴上，设所求椭圆方程为eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,3)＝t(t>0)，将点(2，－eq\r(3))代入，得t＝eq\f(22,4)＋eq\f(－\r(3)2,3)＝2．故所求方程为eq\f(x2,8)＋eq\f(y2,6)＝1．若焦点在y轴上，设方程为eq\f(y2,4)＋eq\f(x2,3)＝λ(λ>0)代入点(2，－eq\r(3))，得λ＝eq\f(25,12)，∴eq\f(y2,\f(25,3))＋eq\f(x2,\f(25,4))＝1．椭圆的几何性质[析考情]椭圆几何性质的内容很丰富，因此在高考中对椭圆几何性质的考查也非常广泛，但离心率及其范围却是每年高考的热点.应用平面几何知识往往是解决这类问题的关键．[提能力]命题点1：由椭圆的方程研究其性质【典例1】已知椭圆eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)的一个焦点是圆x2＋y2－6x＋8＝0的圆心，且短轴长为8，则椭圆的左顶点为()A．(－3,0) B．(－4,0)C．(－10,0) D．(－5,0)解析：选D因为圆的标准方程为(x－3)2＋y2＝1，所以圆心坐标为(3,0)，所以c＝3，又b＝4，所以a＝eq\r(b2＋c2)＝5．因为椭圆的焦点在x轴上，所以椭圆的左顶点为(－5,0)．命题点2：由椭圆的性质求参数的值或范围【典例2】已知椭圆mx2＋4y2＝1的离心率为eq\f(\r(2),2)，则实数m等于()A．2 B．2或eq\f(8,3)C．2或6 D．2或8解析：选D显然m＞0且m≠4，当0＜m＜4时，椭圆长轴在x轴上，则eq\f(\r(\f(1,m)－\f(1,4)),\r(\f(1,m)))＝eq\f(\r(2),2)，解得m＝2；当m＞4时，椭圆长轴在y轴上，则eq\f(\r(\f(1,4)－\f(1,m)),\r(\f(1,4)))＝eq\f(\r(2),2)，解得m＝8．命题点3：求离心率的值或范围【典例3】(2017·全国卷Ⅲ)已知椭圆C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的左、右顶点分别为A1，A2，且以线段A1A2为直径的圆与直线bx－ay＋2ab＝0相切，则C的离心率为()A．eq\f(\r(6),3) B．eq\f(\r(3),3)C．eq\f(\r(2),3) D．eq\f(1,3)解析：选A由题意知以A1A2为直径的圆的圆心为(0,0)，半径为a又直线bx－ay＋2ab＝0与圆相切，∴圆心到直线的距离d＝eq\f(2ab,\r(a2＋b2))＝a，解得a＝eq\r(3)b，∴eq\f(b,a)＝eq\f(1,\r(3))，∴e＝eq\f(c,a)＝eq\f(\r(a2－b2),a)＝eq\r(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(b,a)))2)＝eq\r(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,\r(3))))2)＝eq\f(\r(6),3).故选A．[悟技法]应用椭圆几何性质的2个技巧与1种方法2个技巧(1)与椭圆几何性质有关的问题要结合图形进行分析，即使画不出图形，思考时也要联想到一个图形．(2)椭圆的范围或最值问题常常涉及一些不等式．例如－a≤x≤a，－b≤y≤b,0＜e＜1，在求椭圆的相关量的范围时，要注意应用这些不等关系．1种方法求椭圆离心率的方法：(1)直接求出a，c的值，利用离心率公式直接求解．(2)列出含有a，b，c的齐次方程(或不等式)，借助于b2＝a2－c2消去b，转化为含有e的方程(或不等式)求解．[刷好题]1．(2016·全国卷Ⅰ)直线l经过椭圆的一个顶点和一个焦点，若椭圆中心到l的距离为其短轴长的eq\f(1,4)，则该椭圆的离心率为()A．eq\f(1,3) B．eq\f(1,2)C．eq\f(2,3) D．eq\f(3,4)解析：选B如图，由题意得，BF＝a，OF＝c，OB＝b，OD＝eq\f(1,4)×2b＝eq\f(1,2)b．在Rt△OFB中，|OF|×|OB|＝|BF|×|OD|，即cb＝a·eq\f(1,2)b，代入解得a2＝4c2，故椭圆离心率e＝eq\f(c,a)＝eq\f(1,2)，故选B．2．(2018·东北三省三校联考)若椭圆eq\f(x2,4)＋y2＝1的两个焦点分别是F1，F2，点P是椭圆上任意一点，则eq\o(PF1,\s\up6(→))·eq\o(PF2,\s\up6(→))的取值范围是()A．[1,4] B．[1,3]C．[－2,1] D．[－1,1]解析：选C椭圆eq\f(x2,4)＋y2＝1两个焦点分别是F1(－eq\r(3)