《数列》章末归纳复习

高中数学精选资源3/3《数列》章末归纳复习知识网络建构答案=1\*GB3①有穷数列=2\*GB3②无穷数列=3\*GB3③递增数列=4\*GB3④递减数列=5\*GB3⑤常数列=6\*GB3⑥=7\*GB3⑦=8\*GB3⑧=9\*GB3⑨=10\*GB3⑩eq\o\ac(○,11)eq\o\ac(○,12)eq\o\ac(○,13)eq\o\ac(○,14)eq\o\ac(○,15)eq\o\ac(○,16)eq\o\ac(○,17)知识要点整合一、等差、等比数列的判定判定一个数列是等差或等比数列的方法：提示:（1）在解答题中证明一个数列是等比(或等差)数列通常用定义法或中项公式法,通项公式法和前项和公式法常在小题或分析题意时运用.（2）若要判定一个数列不是等差(比)数列,则只需判定其任意的连续三项不成等差(比)即可.例1数列的前项和为（1）设,求证:是等比数列;（2）设,求证:是等差数列.解析分别利用等比数列与等差数列的定义进行证明.答案（1）.所以因为,所以,所以.所以数列是首项为3,公比为2的等比数列.（2）由(1)知,所以.又,所以,且,所以数列是等差数列,公差为3,首项为2.例2已知数列满足:为常数),且,其中.（1）若是等比数列,试求数列的前项和的公式;（2）当是等比数列时,甲同学说:一定是等比数列;乙同学说:一定不是等比数列.你认为他们的说法是否正确?为什么?解析（1）是以为首项,为公比的等比数列.写出前项和时要注意讨论公比是否等于根搭的情况讨论.答案（1）因为是等比数列,,所以.又,又,则,即是以为首项,为公比的等比数列.所以（2）甲、乙两个同学说法都不正确,理由如下:方法一:设的公比为,则,且.又是以1为首项,为公比的等比数列;是以为首项,为公比的等比数列,即为：，当时,是等比数列;当时,不是等比数列.方法二:可能是等比数列,也可能不是等比数列,举例说明如下:设的公比为,=1\*GB3①取时,,此时都是等比数列.=2\*GB3②取时,,此时是等比数列,而不是等比数列.二、求数列的通项公式1.观察法.适用于给出数列的前项,写出数列的通项公式的情况.观察是归纳的前提,合理的转换是完成归纳的关键.注意,由数列的前项归纳出的通项公式不一定唯一.2.定义法.即直接利用等差数列或等比数列的定义求通项的方法,这种方法适用于已知数列类型的题目.3.已知求.若已知数列的前项和与的关系,求数列的通项可用公式求解.注意,由求得时的是从2开始的自然数,否则会出现时的情况,而与前项和矛盾.4.累加或累乘法.形如的递推式,可用累加法求通项公式;形如的递推式,可用累乘法求通项公式.累乘的目的是出现分子、分母相抵消的情况.注意,要对检验,若不符合就要写成分段函数的形式.5.构造法.根据已知条件构造一个与有关的新的数列,通过新数列通项公式的求解求得的通项公式.新的数列往往是等差数列或是等比数列,例如形如.为常数的形式,往往变为,构成等比数列,先求通项公式,再求.例3（1）已知数列的前项和,求;（2）数列的前项和为,且,求.解析（1）已知求时,应分与两种情况讨论.（2）在已知式中䂗有又有时,应转化为仅含或的形式求解.答案（1）当时,,当时,不适合上式.所以（2）因为,所以,=1\*GB3①所以时,.=2\*GB3②=1\*GB3①—=2\*GB3②得,所以,所以.又，所以时,,不适合.所以例4（1）数列是正项数列,且,则_____.（2）已知在数列中,,且,则数列的通项公式_____.解析（1）因为),=1\*GB3①所以，=1\*GB3①=2\*GB3②,得所以.又,故,也满足式子,故.（2）由,得,故.以上式子累乘得,.因为,所以,因为满足上式,所以.答案=1\*GB3①=2\*GB3②方法归纳已知形如“”的递推公式,可考虑叠加法求.已知形如“的递推公式,则可考虑累乘法求.三、等差（比）数列的基本运算在等差数列和等比数列的通项公式与前项和公式中,共涉及五个量:或,其中和或为基本量.“知三求二”是指将已知条件转换成关于的方程组,利用方程的思想求出需要的量.当然在求解中若能运用等差(比)数列的性质会更好,这样可以化繁为简,减少运算量,同时还要注意整体代的思想方法的运用.例5等比数列中,已知.（1）求数列的通项公式;（2）若分别为等差数列的第3项和第5项,试求数列的通项公式及前项和.解析（1）根据求出公比,写出通项公式.(2)先求出的值,再通过解方程组求出的首项与公差,进而写出通项公式及前项和.答案（1）设的公比为,由已知得,解得,所以.（2）由（1）得,则.设的公差为,则有解得所以.所以数列的前项和.例6已知等差数列的公差,前项和为.（1）若成等比数列,求;（2）若,求的取值范围.解析（1）将成等比数列转化为,求解.(2)将转化为关于的不等式,求解不等式即可.答案（1）因为等差数列的公差,且,成等比数列,所以,即,解得或.（2）因为等差数列的公差,且,所以,即,解得.四、数列求和数列求和问题一般转化为等差数列或等比数列的前项和问题,不能转化的再根据数列通项公式的特点选择恰当的方法求解.一般常见的求和方法有:（1）公式法:利用等差数列或等比数列前项和公式.（2）分组求和法:把一个数列分成几个可以直接求和的数列.（3）裂项(相消)法:把一个数列的通项公式分成两项差的形式,相加过程消去中间项,只剩有限项再求和.（4）错位相减法:适用于一个等差数列和一个等比数列对应项相乘构成的数列求和.（5）倒序相加法:例如,等差数列前项和公式的推导.例7已知数列的前项和(其中为常数,且.（1）求;（2）求数列的前项和.解析（1）已知,根据与的关系确定.（2）由（1）知为等比数列,则是由等差数列和等比数列的对应项的积构成的新数列,可用错位相减法求和.答案（1）当时,,则,，所以.因为,即,解得,所以.当时,.综上所述,.（2）由（1）知,所以.则,,两式作差得,例8（1）已知等比数列中,,若数列满足,则数列的前项和_____；（2）设数列满足.令,则数列的前项和_____.解析（1）设等比数列的公比为,则,解得.所以,故,所以.则（2）由已知,当时,.而,符合上式,所以数列的通项公式为.由知，=1\*GB3①从而，=2\*GB3②=1\*GB3①—=2\*GB3②得，即.答案（1）（2）五、数列的实际应用求解实际应用问题时,首先要弄清题意,分清条件和结论,抓住关键词和量,理顺数量关系,然后将文字语言转化成数学语言,建立相应的数学模型.数列的实际应用主要是建立等差或等比数列模型,解决一些与数列有关的实际应用题,主要体现在分期还款、产值增长及其他等方面.例9某人为了观看2022年冬季奥运会,从2016年起,每年的1月1日到银行存人元的定期储蓄,若年利率为且保持不变,并约定每年到期,存款的本息均自动转为新的一年的定期,到2022年的1月1日将所有存款及利息全部取出,则可取出钱(元)的总数为（）A.B.C.D.解析由题意,2016年1月1日存入的元,一年后存款及利息为,二年后存款及利息为,,依次类推.由此可得,从2016年1月1日到2022年1月1日所有的存款及利息为:.答案D例10水土流失是我国西部大开发中最突出的生态问题.已知西部某地区有25度以上的坡耕地3000万亩需退耕还林,国家确定2005年在西部该地区退耕还林土地面积为300万亩,以后每年退耕还林土地面积比上一年递增,那么从2005年起到哪一年该地区基本解决退耕还林问题（）注计算时可取.A.2010B.2006C.2007D.2008解析由题意在西部该地区每年退耕还林的面积数依次构成一个等比数列,记为,则,因为,所以,整理得,所以.所以从2005年起,到2010年该地区基本解决退耕还林问题.答案六、数学归纳法数学归纳法是一种只适用于与正整数有关的命题的证明方法,表述严格而且规范,两个步骤缺一不可.第一步是递推的基础,第二步是递推的依据,第二步中,归纳假设起着“已知条件”的作用,在时一定要运用它,否则就不是数学归纳法.第二步的关键是“一纳假设,二纳结论”.运用数学归纳法证明问题时,关键是时命题成立的推证,此步证明要具有目标意识,注意与最终要达到的解题目标进行分析比较,以此确定和调控解题的方向,使差异逐步减小,最终实现目标完成解题.例11设等差数列的前项和为,.数列满足:对每个,成等比数列.（1）求数列的通项公式;（2）记,证明:解析（1）由已知求出首项和公差,即可得出通项公式,再由题设得,即可求出通项公式.（2）利用数学归纳法即可证明.答案（1）设数列的公差为,由题意得解得,所以.所以.因为数列满足:对每个成等比数列,所以,解得,即.（2）由（1）知,所以用数学归纳法证明:(i)当时,,不等式成立.(ii)假设当时不等式成立,即,则当时,，即时,不等式也成立.由(i)(ii)得.例12观察下列等式:，，，，按照以上式子的规律:（1）写出第5个等式,并猜想第个等式;（2）用数学归纳法证明上述所猜想的第个等式成立.解析（1）确定第个等式左边第一个数为,且为依次连续个自然数的和,右边是的平方.（2）根据数学归纳法解题步骤书写,关键是由时成立的等式证明时的等式成立.答案（1）第5个等式为.第个等式为（2）证明:(i)当时,等式左边,等式右边,所以等式成立.(ii)假设当时,命题成立,即,则当时,，即时等式成立.根据(i)和(ii),可知对任意等式都成立.核心素养梳理本单元主要涉及数学抽象、数学运算、逻辑推理等核心素养.1.数学抽象核心素养主要体现在数列的概念、等差数列、等比数列的定义等知识点上通过生活中的实例，由具体到抽象，逐步掌握这些概念，能够提升数学抽象核心素养；同时通过等差、等比数列的比较，找到其异同，可以更好地掌握这些概念，进一步提升数学抽象核心素养.2.数学运算核心素养主要体现在等差、等比数列的基本计算利用方程思想将题目条件转化为基本量的关系式，通过解方程（组）求出数列的通项或前项和是提升数学运算核心素养的关键勤加练习是提升数学运算核心素养的基本途径，求数列的某一项或前项和离不开解方程（组），如果基础知识掌握不牢靠，就可能出现错误，因此只有通过一定数量的练习，才可以提升解题的准确性，提升数学运算核心素养.3.逻辑推理核心素养反映在数列的判定、求通项公式或前项和、数学归纳法证明等方面逻辑推理是从一些事实和命题出发，依据规则推出其他命题的过程，逻辑推理有两种形式，一种是从特殊的出发，通过归纳类比推导出一般性的结论，也就是归纳推理学会利用特例发现规律，然后再证明要注意的是，特例得出的结果不一定准确第二种是演绎推理，从一般到特殊的过程，如在证明过中利用一般函数具有的性质，推证特殊函数的性质两种推理方式，要综合应用.例1已知数列满足,,则_____.解析由题意可知,,以上式子累加得,.因为,所以因为满足上式,所以.答案素养解读题目求解的关键是理解)这一抽象的关系式,抓住其本质是类等差数列,因此求通项公式的方法可以用累加法.只有抓住关系式的特征,才能突破数学抽象这一难点..突破的角度也可以首先将赋值,通过具体的表达式理解抽象的关系式,发现特征,找出方法,进一步提升数学抽象核心素养.例2已知数列满足,),则_____.解析因为数列满足,所以,即.又,所以,故数列是首项为1,公比为2的等比数列,所以,即.答案例3已知数列的首项为,前项和为,等比数列的前项和,则的最大值为_____.解析由等比数列的前项和,可求得.所以.又因为,所以故,所以,当时,取得最大值66.答案66素养解读本例求解的突破口是等比数列的前项和,根据等比数列的知识可以求出的值.然后代入,根据求出,这些都需要学生具有一定的运算能力.学生只有经过大量的运算,同时具有一定的函数思想,识可以有效地提升数学运算核心素养.例4若等差数列中,45,则通项公式______.解析因为,所以,所以.所以,且,所以是方程的两根,解得或若,则,所以;若,则,所以.故或.答案或方法归纳在等差(比)数列的通项公式和前项和公式中共有5个量(或),及,已知这5个量中任意3个量的值,就可以运用方程思想,解方程（或方程组)求出另外2个量的值.例5用数学归纳法证明解析首先验证当时命题成立,然后假设当时等式成立,利用假设证明当时等式成立即可.答案(i)当时,左边,右边.左边右边,所以等式成立.(ii)假设当且时等式成立,即有则当时,.所以当时,等式也成立,由(i)(ii)可知,对于一切等式都成立.素养解读利用数学归纳法证明等式,要求学生具有较强的逻辑推理核心素养,尤其是要掌握从到的变形,以及数学归纳法的使用步䠌.通过数学归纳法的证明,可以有效地提升逻辑推理的核心素养.例6数列的前项和为,若,.求证:数列是等比数列.解析根据与的关系,将转化为,再将变形代入,根据定义即可证明是等比数列.答案当时,.由,=1\*GB3①得,即,解得.又,=2\*GB3②=2\*GB3②—=1\*GB3①得,即,=3\*GB3③因为,所以,代人=3\*GB3③式,得,整理得,得(常数).所以数列是一个首项为,公比为的等比数列.高考真题再现考点1等差数列的计算本考点在高考中属于必考题型,选择、填空、解答各类题型都可能考查,分值一般在分.考查的方向包括求等差数列中的某一项、求项数或公差、求前项和等,难度中等偏下.例（2018·全国I）记为等差数列的前项和,若,则（）A.B.C.10D.12解析通解:设等差数列的公差为,因为所以,解得因为,所以,所以.故选B.优解:设等差数列的公差为,因为,所以,所以,所以.因为,所以,所以答案B例2（2017·全国I）记为等差数列的前项和.若,则的公差为A.1B.2C.4D.8解析方法一:由,得.由,得.设公差为,即,所以.方法二:设公差为,则有解得.答案C例(2017-浙江)已知等差数列的公差为,前项和为,则“”是“”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件解析因为,当时,可得;当,可得.所以“”是“”充分必要条件.答案C.例4(2016-全国I)已知等差数列前9项的和为,则A.100B.99C.98D.97解析设等差数列的公差为,因为为等差数列,且,所以.又,解得,所以,所以.答案C例5(2015-重庆)在等差数列中,若,,则（）A.B.0C.1D.6解析由等差数列的性质得.答案B考点2等比数列的计算本考点在高考中属于必考题型,选择、填空、解答各类题型都可能考查,分值一般在分.考查的内容包括求等比数列中的某一项、求项数或公比、求前项和等,有时还会与对数等知识结合进行考查,难度中等偏下.例6（2017-全国III)设等比数列满足,则_____.解析设等比数列的首项为,公比为,所以解得则.答案例7(2017-江苏)等比数列的各项均为实数,其前项的和为,已知,则解析设的公比为,由题意,由,所以,由,得,所以.答案32例8(2018-浙江)已知成等比数列,且.若,则（）A.B.C.D.解析方法一:因为,所以,所以.又,所以等比数列的公比.若,则,而,所以,与矛盾,所以.所以,所以,故选.方法二:因为,所以,则.又,所以等比数列的公比.若,则,而,所以,与矛盾,所以所以,所以.答案B考点3等差、等比数列综合本考点在高考中属于必考题型,选择、填空、解答各类题型都可能考查,分值一般在分.题目背景包括等差数列中的某几项成等比数列或者反过来,以及一个等差数列和一个等比数列中的某些项有数量关系等类型,常与方程思想结合进行考查,难度中等.例9(2017-全国III)等差数列的首项为1,公差不为0.若成等比数列,则前6项的和为（）A.B.C.3D.8解析设的公差为,由,得,所以答案A例10（2017·北京）若等差数列和等比数列满足,则_____.解析设的公差为的公比为,由题意得,所以,故.答案1考点4数列实际应用问题本考点在高考中常以选择或填空题考查,分值一般为5分.有时与生活中的实际情境结合,有时以古代的数学问题作为背景,需要学生具备较强的从文字中提炼出数学信息并进行处理的能力,题目难度一般都偏大.例11（2017-全国II)我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题:“远望魏魏塔七层,红光点点倍加增,共灯三百八十一,请问尖头几盏灯?”意思是:一座7层塔共拄了381盏灯,且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍,则塔的顶层共有灯（）A.1盏B.3盏C.5盏D.9盏解析设塔顶共有灯盏,根据题意各层灯数构成以为首项,2为公比的等比数列,所以,解得.选.答案例12(2017-全国I)几位大学生响应国家的创业号召,开发了一款应用软件.为激发大家学习数学的兴趣,他们推出了“解数学题获取软件激活码”的活动.这款软件的激活码为下面数学问题的答案:已知数列,,其中第一项是,接下来的两项是,再接下来的三项是,依此类推.求满足如下条件的最小整数且该数列的前项和为2的整数幂.那么该款软件的激活码是（）A.440B.330C.220D.110解析对数列进行分组如图则该数列前组的项数和为.由题意可知,即,解得,,即出现在第13组之后.又第组的和为,前组的和为设满足条件的在第组,且第项为第组的第个数,第组的前项和为,要使该数列的前项和为2的整数幂,即与互为相反数,即,所以.由,所以,则,此时,对应满足的最小条件为.答案A考点5递推公式与求和本考点在高考中属于必考题型,选择、填空、解答各类题型都可以考查,分值一般在分.常与等差、等比数列的通项公式、求和公式等综合考查,亦可能与数学归纳法结合进行考查,题目整体难度偏大,需要学生具备较强的逻辑推理和运算能力.例13（2018·全国1）记为数列的前项和,若,则__