《概率与统计》章末归纳复习

高中数学精选资源3/3《概率与统计》章末归纳复习知识网络建构答案=1\*GB3①=2\*GB3②=3\*GB3③=4\*GB3④=5\*GB3⑤=6\*GB3⑥=7\*GB3⑦=8\*GB3⑧=9\*GB3⑨=10\*GB3⑩eq\o\ac(○,11)1eq\o\ac(○,12)eq\o\ac(○,13)eq\o\ac(○,14)eq\o\ac(○,15)eq\o\ac(○,16)eq\o\ac(○,17)eq\o\ac(○,18)eq\o\ac(○,19)eq\o\ac(○,20)eq\o\ac(○,21)eq\o\ac(○,22)eq\o\ac(○,23)eq\o\ac(○,24)eq\o\ac(○,25)eq\o\ac(○,26)eq\o\ac(○,27)eq\o\ac(○,28)正eq\o\ac(○,29)负eq\o\ac(○,30)eq\o\ac(○,31)知识要点整合一、条件概率条件概率是学习相互独立事件的前提和基础，计算条件概率时，必须弄清欲求的条件概率是在什么条件下发生的概率.求条件概率的主要方法有：（1）利用条件概率公式;（2）针对古典概型,可通过缩减样本空间求解.例1在5道题中有3道理科题和2道文科题，如果不放回地依次抽取2道题,求:（1）第1次抽到理科题的概率;（2）第1次和第2次都抽到理科题的概率;（3）在第1次抽到理科题的条件下,第2次抽到理科题的概率.解析本题是条件概率问题,根据条件概率公式求解即可.答案设“第1次抽到理科题”为事件，“第2次抽到理科题”为事件,则“第1次利第2次都抽到理科题”为事件.（1）从5道题中不放回地依次抽取2道题的事件数为.根据分步乘法计数原理,.于是.（2）因为,所以.（3）方法一:由(1)(2)可得,在第1次抽到理科题的条件下,第2次抽到理科题的概率.方法二:因为,所以.例2掷两颗均匀的骰子，已知第一颗骰子掷出6点,求“掷出点数之和大于或等于10”的概率.解析本题可采用条件概率公式或古典概型的概率计算公式求解即可.答案设“掷出的点数之和大于或等于10”为事件,“第一颗骰子掷出6点”为事件.方法一:.方法二:“第一颗骰子掷出6点”的情况有,2),,共6种,故.“掷出的点数之和大于或等于10”且“第一颗掷出6点”的情况有,共3种,即.从而.二、乘法公式与全概率公式、贝叶斯公式乘法公式与全概率公式可以看作是条件概率的延伸，利用乘法公式可以解决多个事件同时发生的概率，而全概率公式是将一复杂事件的概率求解问题转化为在不同情况下发生的简单事件的概率的求和问题.在条件概率公式中使用全概率公式就会得到贝叶斯公式，它是在观察事件已发生的条件下，寻找导致事件发生的每个原因的概率.解题时需要注意各公式的使用条件.例3某电子设备制造厂所用的元件是由三家元件制造厂提供的根据以往的记录有以下的数据：设这三家工厂的产品在仓库中是均匀混合的，且无区别的标志.（1）在仓库中随机地取一只元件，求它是次品的概率；（2）在仓库中随机地取一只元件，若已知取到的是次品，为分析此次品出自何厂，求出此次品由三家工厂生产的概率分别是多少.解析（1）利用全概率公式计算；（2）利用贝叶斯公式计算.答案设表示“取到的是一只次品”,表示“所取到的产品是由第家工厂提供的”.易知,是样本空间的一个划分,且有0.02,.（1）由全概率公式可知.（2）由贝叶斯公式.同理.以上结果表明,这只次品来自第2家工厂的可能性最大.三、相互独立事件的概率相互独立事件一般与互斥事件、对立事件结合在一起进行考查,解答此类问题时应分清事件间的内部联系,在此基础上用基本事件之间的交、并、补运算表示出有关事件,并运用相应公式求解.特别注意以下两公式的使用前提:（1）若互斥,则,反之不成立；（2）若相互独立,则,反之成立.例4甲、乙、丙3位大学生同时应聘某个用人单位的职位,甲、乙两人只有一人被选中的概率为,两人都被选中的概率为,丙被选中的概率为,且各自能否被选中互不影响.（1）求3人同时被选中的概率;（2）求恰好有2人被选中的概率;（3）求3人中至少有1人被选中的概率.解析根据相互独立事件的概率求解.答案设甲、乙、丙能被选中的事件分别为,,则，，.（1）3人同时被选中的概率.（2）恰有2人被选中的概率.（3）3人中至少有1人被选中的概率.例5某同学参加科普知识竞赛，需回答3个问题，竞赛规则规定:答对第个问题分别得100分、100分200分,答错得零分.假设这名同学答对第个问题的概率分别为,且各题答对与否相互之间没有影响.（1）求这名同学得300分的概率;（2）求这名同学至少得300分的概率.解析根据独立事件的概率公式求解即可.答案记“这名同学答对第个问题”为事件,则.(1)这名同学得300分的概率为:.（2）这名同学至少得300分的概率为:.四、二项分布与超几何分布超几何分布与二项分布都是随机变量取非负整数值的离散分布，两种分布的差别就在于“有放回”与“无放回”，只要将概率模型中的“无放回”改为“有放回”，或将有放回”改为“无放回”，就可以实现两种分布之间的转化.解题时要分清到底是超几何分布还是二项分布.例6一批产品共300件，其中次品数占产品总数的,随机抽取4件样品进行检验,表示样品中抽到的次品数,在下列情形下求(结果精确到.（1）不放回抽样;（2）放回抽样.解析根据超几何分布和二项分布的概率公式分别求解.答案产品总数为300件时,次品数为件,合格品的件数为件.（1）从300件产品中抽取4件样品,有个样本点,表示“抽到1件次品和3件正品”,其包含个样本点.所以服从的超几何分布,故.（2）在放回抽样中,每次都是从这300件产品中抽取,从而抽到次品的概率都是,可以把4次抽取看成是4.次独立重复试验,这样抽到的次品数.故恰好抽到1件次品的概率为.五、离散型随机变量的分布列、均值和方差1.含义：均值和方差分别反映了随机变量取值的平均水平及其稳定性.2.应用范围：均值和方差在实际优化问题中应用非常广泛，如同等资金下比较收益的高低、相同条件下比较质量的优劣、性能的好坏等.3.求解思路：应用时，先要将实际问题数学化，然后求出随机变量的概率分布列.对于一般类型的随机变量，应先求其分布列，再代入公式计算，此时解题的关键是概率的计算计算概率时要结合事件的特点，灵活地结合排列组合、古典概型、独立重复试验概率、互斥事件和相互独立事件的概率等知识求解若离散型随机变量服从特殊分布（如两点分布、二项分布等），则可直接代入公式计算其数学期望与方差.例7甲、乙、丙三支足球队进行比赛,根据规则:每支队伍比赛两场,共赛三场,每场比赛胜者得3分,负者得0分,没有平局.已知乙队胜丙队的概率为,甲队获得第一名的概率为,乙队获得第一名的概率为.（1）求甲队分别胜乙队和丙队的概率;（2）设在该次比赛中,甲队得分为,求的分布列及数学期望、方差.解析（1）通过列方程组求和；（2）由题意求出甲队得分的可能取值,然后再求出的分布列,最后再求出数学期望和方差.答案（1）设“甲队胜乙队”的概率为,“甲队胜丙队”的概率为.根据题意,甲队获得第一名,则甲队胜乙队且甲队胜丙队，所以甲队获得第一名的概率为.=1\*GB3①乙队获得第一名,则乙队胜甲队且乙队胜丙队,所以乙队获得第一名的概率为.=2\*GB3②解=2\*GB3②,得,代入=1\*GB3①,得,所以甲队胜乙队的概率为,甲队胜丙队的概率为.（2）的可能取值为.当时,甲队两场比赛皆输,其概率为;当时,甲队两场只胜一场,其概率为当时,甲队两场皆胜,其概率为.所以的分布列为所以,.例8为推动乒乓球运动的发展，某乒乓球比赛允许不同协会的运动员组队参加现有来自甲协会的运动员3名，其中种子选手2名；乙协会的运动员5名，其中种子选手3名.从这8名运动员中随机选择4人参加比赛.（1）设A为事件“选出的4人中恰有2名种子选手,且这2名种子选手来自同一个协会”,求事件发生的概率;（2）设为选出的4人中种子选手的人数,求随机变量的分布列和数学期望.解析（1）利用古典概型的概率计算公式计算即可；（2）根据随机变量服从超几何分布计算即可.答案（1）由已知,有.所以,事件发生的概率为.（2）随机变量的所有可能取值为..所以,随机变量的分布列为随机变量的数学期望.六、正态分布的实际应用对于正态分布问题，课标要求不是很高，只要求了解正态分布中最基础的知识，主要是：（1）掌握正态分布曲线函数关系式；（2）理解正态曲线的性质；（3）记住正态分布在三个区间内取值的概率，运用对称性结合图像求相应的概率.正态分布的概率通常有以下两种求法：（1）注意“原则”的应用.记住正态总体在三个区间内取值的概率.（2）注意数形结合.由于正态曲线具有完美的对称性,体现了数形结合的重要思想,因此运用对称性结合图像解决某一区间内的概率问题成为热点问题.例9某学校高三2500名学生第二次模拟考试总成绩服从正态分布,请判断考生成绩在600分的人数.解析根据正态分布的性质求出,即可求出成绩在分的考生人数.答案考生成绩,，，考生成绩在分的人数为（人）例10为了了解某地区高三男生的身体发育状况,抽查了该地区1000名年龄在岁至19岁的高三男生的体重情况,抽查结果表明他们的体重服从正态分布,且正态分布密度曲线如图所示.若体重大于等于小于等于属于正常情况,则这1000名男生中属于正常情况的人数是（）A.997B.954C.819D.683解析由题意,可知,故,从而属于正常情况的人数是.答案D七、回归分析建立回归模型的步骤：（1）确定研究对象,明确变量;（2）画出变量的散点图,观察它们之间的关系(如是否存在线性相关关系等);（3）由经验确定回归方程的类型(如我们观察到数据呈线性相关关系,则选用回归直线方程;（4）按一定规则估计回归方程中的参数（如最小二乘法）；（5）得出回归方程.另外，回归直线方程只适用于我们所研究的样本的总体，而且一般都有时间性样本的取值范围一般不能超过回归直线方程的适用范围，否则没有实用价值.例11假设一个人从出生到死亡，在每个生日那天都测量身高，并作出这些数据的散点图，则这些点将不会落在一条直线上，但在一段时间内的增长数据有时可以用线性回归来分析.下表是一位母亲给儿子作的成长记录：（1）作出这些数据的散点图；（2）求出这些数据的回归直线方程；（3）对于这个例子，你如何解释回归系数的含义？（4）解释一下回归系数与每年平均增长的身高之间的联系.解析（1）作出散点图,确定两个变量是否线性相关;（2）求出,写出回归直线方程;（3）回归系数即的值,是一个单位变化量;（4）根据回归直线方程可找出其规律.答案（1）数据的散点图如下；（2）用表示身高,表示年龄,因为,，，，所以数据的回归直线方程为.（3）在该例中,回归系数表示该人在一年中增加的高度.（4）回归系数与每年平均增长的身高之间近似相等.例12某商店各个时期的商品流通率与应商品零售额(万元)资料如下：散点图显示出与的变动关系为一条递减的曲线.经济理论和实际经验都证明,流通率取决于商品的零售额,体现着经营规模效益,假定它们之间存在关系式:.试根据上表数据,求出与的估计值,并估计商品零售额为30万元时的商品流通率.解析通过令换元,转化为求回归直线方程问题即可.答案设,则,得下表数据:由表中数据可得与之间的回归直线方程为.所以所求的回归方程为.当时,,即商品零售额为30万元时,商品流通率为.八、独立生检验根据随机变量的含义,可以通过来评价相关的程度,由实际计算出说明假设有关的程度约为,即两个事件有关系这一结论成立的可信程度为.独立性检验的一般步骤:（1）样本数据制成列联表;（2）根据卡方公式计算的值;（3）比较与临界值的大小关系并作出统计推断.例13在某校高三年级一次全年级的大型考试中数学成绩优秀和非优秀的学生中,物理、化学、总分也为优秀的人数如下表所示,则数学成绩优秀与物理、化学、总分也优秀哪个关系较大?注:该年级此次考试中数学成绩优秀的有360人,非优秀的有880人.解析分别列出数学与物理、数学与化学、数学与总分优秀的列联表,求的值.由值分析,得出结论.答案（1）列出数学与物理优秀的列联表如下：代入公式得.（2）列出数学与化学优秀的列联表如下:代入公式,得.（3）列出数学与总分优秀的列联表如下:代入公式,得.由上面计算可知数学成学优秀与物理、化学、总分优秀都有关系,由计算分别得到的统计量都大于临界值,由此说明有的把握认为数学优秀与物理、化学、总分优秀都有关系，但与总分优秀关系最大，与物理次之.例14某推销商为某保健药品做广告，在广告中宣传："在服用该药品的105人中有100人未患疾病”.经调查发现,在不服用该药品的418人中仅有18人出疾病.请用所学知识分析该药品对预防疾病是否有效.解析根据题得列出列联表,求卡方的值.由观测值分析,得出结论.答案将问题中的数据写成如下列联表:将上述数据代入公式计算可得，因为,故没有充分理由认为该保健药品对预防疾病有效.核心素养梳理1.数据分析.数据分析是指针对研究对象获取数据，运用数学方法对数据进行整理、分析和推断，形成关于研究对象知识的素养数据分析过程主要包括：收集数据，整理数据，提取信息，构建模型，进行推断，获得结论.比如下面这道题，其考查统计中的概率计算、随机变量的方差计算，考查运算求解能力，体现了数据分析、数学运算等核心素养.例1（2018·北京）电影公司随机收集了电影的有关数据，经分类整理得到下表：好评率是指：一类电影中获得好评的部数与该类电影总部数的比值.假设所有电影是否获得好评相互独立.（1）从电影公司收集的电影中随机选取1部，求这部电影是获得好评的第四类电影的概率；（2）从第四类电影和第五类电影中各随机选取1部，估计恰有1部获得好评的概率；（3）假设每类电影得到人们喜欢的概率与表格中该类电影的好评率相等.用“”表示第类电影得到人们喜欢,“”表示第类电影没有得到人们喜欢,).写出方差的大小关系.解析（1）根据古典概型的概率计算公式计算即可;（2）分第四类、第五类电影为好评与非好评、非好评与好评两种情况讨论即可;（3）定义随机变量根据服从两点分布计算即可.答案（1）设“从电影公司收集的电影中随机选取1部,这部电影是获得好评的第四类电影”为事件.因为第四类电影中获得好评的电影有(部),所以.（2）设“从第四类电影和第五类电影中各随机选取1部,恰有1部获得好评”为事件,则.（3）由题意可知,定义随机变量如下：则显然服从两点分布,故0.24,，，，，.综上所述,.2.数学运算数学运算是指在明晰运算对象的基础上，依据运算法则解决数学问题的素养.主要包括：理解运算对象，掌握运算法则，探究运算思路，选择运算方法，设计运算程序，求得运算结果等.数学运算素养几乎在所有知识点中都有涉及，比如下面这道题，以统计图为背景，考查回归直线方程，考查运算求解能力和数形结合思想，体现了数学运算的核心素养.例2（2018·全国Ⅱ）下图是某地区2000年至2016年环境基础设施投资额（单位：亿元）的折线图.为了预测该地区2018年的环境基础设施投资额,建立了与时间变量的两个线性回归模型.根据2000年至2016年的数据(时间变量的值依次为)建立模型=1\*GB3①:;根据2010年至2016年的数据(时间变量的值依次为)建立模型=2\*GB3②：.（1）分析利用这两个模型,求该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值;（2）你认为用哪个模型得到的预测值更可靠?请说明理由.解析（1）分别代入模型计算即可;（2）从折线图和计算结果两个方面判断得出利用模型=2\*GB3②得到的预测值更可靠.答案（1）利用模型=1\*GB3①,该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值为(亿元).利用模型=2\*GB3②,该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值为亿元.（2）利用模型=2\*GB3②得到的预测值更可靠.理由如下:（i）从折线图可以看出,2000年至2016年的数据对应的点没有随机散布在直线上下,这说明利用2000年至2016年的数据建立的线性模型=1\*GB3①不能很好地描述环境基础设施投资额的变化趋势.2010年相对2009年的环境基础设施投资额有明显增加,2010年至2016年的数据对应的点位于一条直线附近,这说明从2010年开始环境基础设施投资额的变化规律呈线性增长趋穷,利用2010年至2016年的数据建立的线性模型可以较好地描述2010年以后的环境基础设施投资额的变化趋势,因此利用模型=2\*GB3②得到的预测值更可营.（ii）从计算结果看,相对于2016年的环境基础设施投资额220亿元,由模型=1\*GB3①得到的预测值亿元的增有明显偏低,而利用模型=2\*GB3②得到的预测值的增幅比较合理，说明利用模型②得到的预测值更可靠.3.数学建模.数学建模是对现实问题进行数学抽象,用数学语言表达问题、用数学方法构建模型解决问题的素养.数学建模过程主要包括:在实际情境中从数学的视角发现问题、提出问题,分析问题、建立模型,确定参数、计算求解,检验结果、改进模型,最终解决实际问题.本章内容涉及数学建模素养的地方较多,比如下面这道题,在（3）中通过建立线性回归直线方程,利用回归直线的性质预测第五年的年薪,体现了数学建模核心素养.例3某单位共10名员工,他们某年的收人如下表.（1）求该单位员工当年年薪的平均值和中位数;（2）从该单位中任取2人,此2人中年薪收人高于5万的人数记为,求的分布列和期望;（3）已知员工年薪收人与工作年限成正线性相关关系,若某员工工作第一年至第四年的年薪分别为3万元、万元、万元、万元,预测该员工第五年的年薪为多少？附:回归直线方程中系数计算公式,其中表示样本均值.解析（1）利用公式计其即可；（2）根据年䓄高于5万的有6人,低于或等于5万的有4人，利用随机变量服从超几何分布，由公式计算即可;（3）设分别表示工作年限及相应第5年的年薪收入.答案（1）平均值为10万元,中位数为6万元.（2）年薪高于5万的有6人,低于或等于5万的有4人,取值为..所以的分布列为数学期望为.（3）设分别表示工作年限及相应年薪，则，，，，，因此回归直线方程为.从而可预测该员工第5年的年薪收人为万元.考真题再现考点1离散型随机变量的数字特征的计算及性质离散型随机变量的数字特征是每年高考的热点，常与其他内容进行综合考查，但求随机变量的数字特征以及数字特征的性质是基础、更是关键该类问题的考查有时以选择题、填空题的形式命题，有时也出现在解答题中，分值一般为5分左右，试题难度不大，属于中档题例（2017·浙江）已知随机变量满足.若,则（）A.B.C.D.解析,.答案A例2(2018•全国I节选)某工厂的某种产品成箱包装,每箱200件,每一箱产品在交付用户之前要对产品作检验,如检验出不合格品,则更换为合格品.检验时,先从这箱产品中任取20件作检验,再根据检验结果决定是否对余下的所有产品作检验,设每件产品为不合格品的概率都为,且各件产品是否为不合格品相互独立.现对一箱产品检验了20件,结果恰有2件不合格品.已知每件产品的检验费用为2元,若有不合格品进付用户手中,则工厂要对每件不合格品支付25元的赔偿费用.（1）若不对该箱余下的产品作检验,这一箱产品的检验费用与赔偿费用的和记为,求;（2）以检验费用与赔偿费用和的期望值为决策依据，是否该对这箱余下的所有产品作检验?解析（1）令表示余下的180件产品中的不合格品件数,利用及计算即可；（2）根据可下结论.答案（1）令表示余下的180件产品中的不合格品件数,依题意知,则,,即.所以.（2）如果对余下的产品作检验,则这一箱产品所需要的检验费为元.由于,故应该对余下的产品作检验.考点2独立事件的概率独立事件的概率是高考的重点，既有选择题、填空题，也有解答题，试题难度适中，分值一般为5分左右，属于中档题.例3（2019·全国Ⅰ）甲、乙两队进行篮球决赛，采取七场四胜制（当一队赢得四场胜利时，该队获胜，决赛结束）根据前期比赛成绩，甲队的主客场安排依次为“主主客客主客主”设甲队主场取胜的概率为0.6，客场取胜的概率为0.5，且各场比赛结果相互独立，则甲队以4：1获胜的概率是_____.解析前四场中有一场客场输，第五场赢时，甲队以获胜的概率是,前四场中有一场主场输,第五场赢时,甲队以获胜的概率是,综上所述,甲队以获胜的概率是.答案例4(2019・天津)设甲、乙两位同学上学期间,每天之前到校的概率均为.假定甲、乙两位同学到校情况互不影响,且任一同学每天到校情况相互独立.（1）用表示甲同学上学期间的三天中7:30之前到校的天数,求随机变量的分布列和数学期望;（2）设为事件“上学期间的三天中,甲同学在之前到校的天数比乙同学在之前到校的天数恰好多2”,求事件发生的概率.解析（1）利用可算出概率,进而可得分布列与期望.（2）设乙同学上学期间的三天中之前到校的天数为,则,且,.根据互斥事件和相互独立事件的概率计算公式计算即可.答案（1）因为甲同学上学期间的三天中到校情况相互独立,且每天之前到校的概率均为,故,从而,.所以,随机变量的分布列为随机变量的数学期望.（2）设乙同学上学期间的三天中之前到校的）数为,则,而且.由题意知事件与互斥,且事件与,事件与均互独立,从而由（1）知.考点3超几何分布超几何分布是高考的常考内容，多与离散型随机变量的数字特征综合出现在解答题中，分值一般为5~12分左右，试题难度适中，属于中档题.例5（2018·天津）已知某单位甲、乙、丙三个部门的员工人数分别为24，16，16.现采用分层抽样的方法从中抽取7人，进行睡眠时间的调查.（1）应从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取多少人？（2）若抽出的7人中有4人睡眠不足，3人睡眠充足现从这7人中随机抽取3人做进一步的身体检查.（i）用X表示抽取的3人中睡眠不足的员工人数，求随机变量X的分布列与数学期望；（ii）设A为事件“抽取的3人中，既有睡眠充足的员工，也有睡眠不足的员工”，求事件A发生的概率解析（1）根据分层抽样的特征，代入公式计算可知分别抽取3人、2人、2人；（2）（1）根据超几何分布的概率计算公式可得分布列，进而可求期望，（ii）用符号表示事件，然后根据互斥事件的概率加法公式计算即可.答案（1）由已知，甲、乙、丙三个部门的员工人数之比为由于采用分层抽样的方法从中抽取7人因此应从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取3人2人、2人（2）（i）随机变量X的所有可能取值为..所以,随机变量的分布列为随机变量的数学期望.(ii)设事件为“抽取的3人中,睡眠充足的员工有1人,睡眠不足的员工有2人”;事件为“抽取的3人中,睡眠充足的员工有2人,睡眠不足的员工有1人”,则,且与互斥,由(i)知,,故.所以,事件发生的概率为.例6（2015・四川）某市两所中学的学生组队参加辩论赛,A中学推荐了3名男生、2名女生,B中学推荐了3名男生、4名女生，两校所推荐的学生一起参加集训由于集训后队员水平相当，从参加集训的男生中随机抽取3人、女生中随机抽取3人组成代表队.（1）求A中学至少有1名学生入选代表队的概率；（2）某场比赛前，从代表队的6名队员中随机抽取4人参赛，设X表示参赛的男生人数，求X的分布列和数学期望解析（1）问题转化为求“A中学没有学生入选代表队”的对立事件的概率；（2）根据超几何分布模型的概率计算公式可得随机变量X的分布列，进而可求出期望.答案（1）由题意，参加集训的男、女生各有6名参赛学生全从B中学抽取（等价于A中学没有学生入选代表队)的概率为.因此,中学至少有1名学生人选代表队的概率为.（2）根据题意,的可能取值为.所以的分布列为因此,的数学期望为考点4二项分布二项分布是高考的常考内容,同样多与离散型随机变量的数字特征综合出现在解答题中,有时也以选择题或填空题的形式出现,分值一般为分左右,试题难度适中,属于中档题.例7（2017·全国Ⅱ）从这批产品中每次随机取一件,有放回地抽取100次,表示抽到的二等品件数,则_____.解析由题意可得,抽到二等品的件数符合二项分布,即,由二项分布的方差公式可得.答案例8(2018-全国III)某群体中的每位成员使用移动支付的概率都为,各成员的支付方式相互独立,设为该群体的10位成员中使用移动支付的人数,,,则（）A.0.7B.0.6C.0.4D.解析,则,或.,可知,故.答案考点5正态分布正态分布是每年高考的重点,既有以选择题、填空题形式的单独考查,难度较小,也有与其他概率知识综合的实际应用解答题,难度中等及以上,分值一般为分左右.例9(2017课标I)为了监控某种零件的一条生产线的生产过程,检验员每天从该生产线上随机抽取16个零件,并测量其尺寸(单位:).根据长期生产经验,可以认为这条生产线在正常状态下生产的零件的尺寸服从正态分布.（1）假设生产状态正常,记表示一天内抽取的16个零件中其尺寸在之外的零件数,求1)及的数学期望;（2）一天内抽检零件中,如果出现了尺寸在,之外的零件,就认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况,需对当天的生产过程进行检查.（1）试说明上述监控生产过程方法的合理性;(ii)下面是检验员在一天内抽取的16个零件的尺寸:经计算得,其中为抽取的第个零件的尺寸,.用样本平均数作为的估计值,用样本标准差作为的估计值,利用估计值判断是否需对当天的生产过程进行检查.剔除之外的数据,用剩下的数据估计和(精确到0.01).附:若随机变量服从正态分布,则.解析（1）根据正态分布的对称性及,)计算即可;（2）()根据原则可进行合理性判断;(ii)利用公式计算出晹除之外剩下数据的平均数和方差即可.答案（1）抽取的一个零件的尺寸在之内的概率为,从而零件的尺寸在之外的概率为故,因此.的数学期望为.（2）()如果生产状态正常,一个零件尺寸在,,之外的概率只有,一天内抽取的16个零件中,出现尺寸在之外的零件的概率只有,发生的概率很小.因此一旦发生这种情况,就有理由认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况,需对当天的生产过程进行检查,可见上述监控生产过程的方法是合理的.(ii)由,得的估计值为,的估计值为.由样本数据可以看出有一个零件的尺寸在,之外,因此需对当天的生产过程进行检查.剔除之外的数据,剩下数据的平均数为,因此的估计值为.，剔除之外的数据,剩下数据的样本方差为,因此的估计值为.考点6概率知识与其他知识的综合应用问题除了前面几个考点之外，对于概率知识（离散型随机变量）的考查有时还将其与其他模板的内容进行综合考查，比如涉及函数的单调性、数列等，这是一类新的热点问题，试题形式新颖、难度较大，命题呈现形式既有选择题、填空题形式，也有解答题，分值一般为5~12分左右.例10（2019·浙江）设,则随机变量的分布列是则当在内增大时,（）A.增大B.减小C.先增大后减小D.先减小后增大解析方法：由分布列得,则则当在内增大时,先减小后增大.故选D.方法二:由分布列得,则，则当在内增大时,先减小后增大.故选D.答案D例11(2020-北京)某校为举办甲、乙两项不同活动,分别设计了相应的活动方案:方案一、方案二.为了解该校学生对活动方案是否支持,对学生进行简单随机抽样,获得数据如下表:假设所有学生对活动方案是否支持相互独立.（1）分别估计该校男生支持方案一的概率、该校女生支持方案一的概率;（2）从该校全体男生中随机抽取2人,全体女生中随机抽取1人,估计这3人中恰有2人支持方案一的概率;（3）将该校学生支持方案的概率估计值记为,假设该校一年级有500名男生和300名女生,除一年级外其他年级学生支持方案二的概率估计值记为,试比较与的大小(结论不要求证明).解析（1）根据频率估计概率,即得结果;（2）先分类,再根据独立事件概率乘法公式以及分类计数加法公式求结果;（3）先求,再根据频率估计概率,即得大小.答案（1）该校男生支持方案一的概率为,该校女生支持方案一的概率为.（2）3人中恰有2人支持方案一分两种情况：=1\*GB3①仅有两个男生支持方案一;=2\*GB3②仅有一个男生支持方案一,一个女生支持方案一.所以3人中恰有2人支持方案一概率为:.（3）.考点7回归分析回归分析是每年高考的热点,既有选择题、填空题,也有解答题.常见的命题角度有:回归直线方程及其应用、相关系数及其应用.试题难度适中,分值一般为分左右.例12(2017・山东)为了研究某班学生的脚长(单位:厘米)和身高(单位:厘米)的关系,从该班随机抽取10名学生,根据测量数据的散点图可以看出与之间有线性相关关系,设其回归直线方程为.已知.该班某学生的脚长为24,据此估计其身高为（）A.160B.163C.166D.170解析由已知得,则.当时,.答案例13（2015•新课标1)某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费,需了解年宣传费(单位:千元)对年销售量单位:和年利润(单位:千元)的影响,对近8年的年宣传费和年销售量数据作了初步处理,得到下面的散点图及一些统计量的值.表中.（1）根据散点图判断,与哪一个适宜作为年销售量关于年宣传费的回归方程类型?(给出判断即可,不必说明理由)（2）根据（1）的判断结果及表中数据,建立关于的回归方程;（3）已知这种产品的年利润与的关系为.根据（2）的结果回答下列问题:()年宣传费时,年销售量及年利润的预报值是多少?(ii)年宣传费为何值时,年利润的预报值最大?附:对于一组数据,其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别