2023年《双曲线的标准方程》教学设计

高中数学精编资源3/3《双曲线的标准方程》教学设计必备知识学科能力学科素养高考考向1.双曲线及其标准方程学习理解能力观察记忆概括理解说明论证应用实践能力分析计算推测解释简单问题解决迁移创新能力综合问题解决猜想探究发现创新数学抽象直观想象逻辑推理数学运算【考查内容】1.根据几何条件求出双曲线的方程2.进一步掌握双曲线的方程及其性质的应用3.运用双曲线的方程与性质解决综合问题【考查题型】填空题、选择题、解答题为主2.双曲线的几何性质(1)数学抽象直观想象数学运算逻辑推理数学建模3.双曲线的几何性质(1)数学抽象直观想象数学运算逻辑推理数学建模一、本节内容分析本节对双曲线的教学,是在学生对于椭圆基本知识和研究方法已经熟悉基础上进行的,所以讲解时应采用类比的方法让学生以自主研究、合作交流等方式得出双曲线的定义、标准方程,最后反思应用.双曲线的定义与椭圆的定义很相似,但不容易掌握而又非常重要,学习时要注意和椭圆的联系与区别,为深刻体会圆锥曲线的统一定义作好充分准备,又可对学生进行运动、变化、联系、对立、统一的辩证唯物主义思想教育.本节包含的核心知识和体现的核心素养如下:核心知识1.双曲线及其标准方程2.双曲线的几何性质(1)3.双曲线的几何性质(2)直观想象数学抽象逻辑推理数学运算数学建模核心素养二、学情整体分析学生已掌握了一些双曲线图形的实物与实例,对曲线和方程的概念有了一些了解,对用坐标法研究几何问题有了初步的认识通过椭圆的学习,学生已经对圆锥曲线有所了解,对探索圆锥曲线的方法基本掌握.通过类比的方法探究双曲线及其标准方程,学生比较熟悉通过探究、操作,归纳得出双曲线的定义,以及根据条件列出等式并化简整理得到双曲线的标准方程,同时对双曲线几何性质的探究学生皆可以类比椭圆的学习过程来完成.学情补充:_____________________________________________________________________________________________________________________________________________________三、教学活动准备【任务专题设计】1.双曲线及其标准方程2.双曲线的几何性质(1)3.双曲线的几何性质(2)【教学目标设计】1.理解双曲线的定义,掌握双曲线的标准方程及其几何性质2.运用双曲线标准方程解决相关问题.【教学策略设计】本节课内容为推导双曲线标准方程、研究双曲线的性质,这部分内容类似于椭圆的学习,教学中可以与其类比讲解,让学生自己进行探究,得到类似的结论.在教学中,学生自己能得到的结论应该让学生自己得到,凡是难度不大,经过学习,学生自己能解决的问题,应该让学生自己解决,这样有利于调动学生学习的积极性,同时也有利于学生建立信心,使他们的主动性得到充分发挥,从中提高学生的数学思维和解决问题的能力.【教学方法建议】情境教学法、问题教学法,还有__________________________________________【教学重点难点】重点1.理解和掌握双曲线的定义、标准方程及其求法.2.掌握双曲线的几何性质.难点1.推导双曲线的标准方程.2.双曲线方程的简单应用.【教学材料准备】1.常规材料:直尺、多媒体课件、_________________________________________2.其他材料_____________________________________________________________四、教学活动设计(课时建议:1课时)教学导入师:上本节课之前,同学们先思考一下这样的问题.【情境设置】探究双曲线的定义如图所示,某中心O接到其正西、正东、正北方向三个观测点A,B,C的报告:A,C两个观测点同时听到一声巨响,B观测点听到的时间比A观测点晚4s.已知各观测点到该中心的距离都是1020m.假定当时声音传播的速度为340m/s,发出巨响的位置为点P,且A,B,C,O,P均在同一平面内.你能确定该巨响发生的,点的位置吗？【设计意图】通过实际问题,引导学生思考,引出双曲线的定义,发展学生数学抽象、直观想象的核心素养.【学生思考,合作交流,回答问题,教师予以肯定】生:其中|PA|=|PC|说明P在AC的中垂线上,并且|PB|−|PA|=4×340=1360,也说明点P有相应的位置,两个图像的交点就是巨响发生的点P的位置.师:满足|PB|−|PA|=1360的点P轨迹又是什么呢？那么,这节课我们要研究的这个问题,也就是到两定点距离之差等于常数的点的轨迹是什么.探究1双曲线的定义师:我们先看一下双曲线的定义.【要点知识】双曲线的定义一般地,如果F1,F2,是平面内的两个定点,a是一个正常数,且2a<|F1F2|.则平面上满足||PF1|−|PF2||=2a的动点P的轨迹称为双曲线,其中,两个定点F1,F2称为双曲线的焦点,两个焦点的距离|F1F2|称为双曲线的焦距.双曲线也可以通过用平面截两个特殊的圆锥面得到,因此双曲线是一种圆锥曲线.【设情境巧激趣】通过学生观察、思考、讨论在不同条件下动点P的轨迹方程,增加学生的学习兴趣,为研究双曲线的标准方程作准备.师:双曲线的定义中,若2a=|F1F2|,则点P的轨迹是什么？2a>|F1F2|呢？生:若2a=|F1F2|,点P的轨迹是以F1,F2为端点的两条射线;若2a>|F1F2|,点P的轨迹不存在.师:定义中若常数为0,则点P的轨迹是什么？生:此时P的轨迹为线段F1F2的垂直平分线.师:你能利用拉链等日常生活中的物品作出双曲线吗？【引导学生思考,自主动手研究,回答问题,教师予以肯定】生:将拉链的一边截去一部分,将两端用图钉固定在两定点F1,F2处,将笔尖放在拉锁处,随着拉链沿不同部分拉开,笔尖就会画出一条曲线:调换拉链两端,重复刚才操作,还会画出一条曲线,最终作出的图形是双曲线的一部分,其中每一条曲线都称为双曲线的一支.【以学定教】在“做”中学,通过画双曲线的实验操作,经历概念的形成过程,积累感性经验,同时培养学生动手操作、观察分析、归纳概括的能力,引导学生自主合作探究,变被动为主动.探究2双曲线的标准方程师:怎样从数学上证明满足双曲线定义的点一定是存在的？这样的点有多少个？你能想到什么办法来解决这两个问题？生:和椭圆的情形一样,可以用坐标法来探讨并求出双曲线的标准方程.师:回顾一下求曲线方程的基本方法——坐标法,以及它的解题步骤.生:(1)建系;(2)设点;(3)列式与代入;(4)化简与验证.【师生共同求解双曲线方程】师:(1)建系:以F1,F2所在直线为x轴,以线段F1F2的垂直平分线为y轴,建立平面直角坐标系.(2)设点:设P(x,y)是双曲线上任意一点,为了使F1,F2的坐标简单及化简过程不那么繁杂,设|F1F2|=2c(c>0),则F1(−c,0),F2(c,0).(3)列式与代入:||PF1|−|PF2||=2a,因为,所以【推测解释能力】类比椭圆的标准方程进行推导,运用双曲线定义推导其标准方程.在此过程中注意以下几点:(1)明确求曲线的方程的大致步骤,避免推导过程中思维的盲目性;(2)以双曲线的标准方程的推导为载体,引导学生掌握推导圆锥曲线的方程的一般思路与方法;(3)以双曲线的标准方程概念为载体,深化学生对曲线与方程的关系的理解.通过推导提升推测解释能力.(4)化简与验证师:我们怎么化简两个带根式的式子？对于本式是直接平方好还是移项后再平方好呢？【通过分析对比,最后选择移项平方】生:由①得,整理得且②与①右边同时取正号或负号,①+②整理得将③式平方,再整理得因为c>a>0,所以c2−a2>0,设c2−a2=b2,且b>0,则④可化为(a>0,b>0).⑤【教师板书化简过程,让学生进一步明确标准方程的由来,体会化简的技巧】师:从上述过程可以看到,双曲线上任意一点的坐标都满足方程⑤,以方程⑤的解(x,y)为坐标的点到双曲线的两个焦点F1(−c,0),F2(c,0)的距离之差的绝对值为2a,即以方程⑤的解为坐标的点都在双曲线上,由曲线与方程的关系知,方程⑤是双曲线的方程,通常称为焦点在x轴上的双曲线的标准方程.显然,满足方程⑤的点的坐标有无穷多组,这无穷多组解对应的点组成的双曲线如图所示.【概括理解能力】通过思考可以让学生进一步明确a,b,c的由来,加深对双曲线定义及标准方程的理解.提升概括理解能力.师:设双曲线的焦点为F1,和F2,焦距为2c,而且双曲线上的动点P满足||PF1|−|PF2||=2a,其中c>a>0.以F1,F2所在直线为y轴,线段F1,F2的垂直平分线为x轴,建立平面直角坐标系,如图所示.此时:(1)双曲线焦点的坐标分别是什么？(2)能否通过得到此双曲线的方程呢？【学生独立思考,回答问题,教师予以肯定】生:(1)双曲线的焦点坐标分别为F1,(0,−c),F2(0,c).(2)变量x与y互换位置,就可以得到此时双曲线的方程为,⑥其中b2=c2−a2.这个方程通常称为焦点在y轴上的双曲线的标准方程.师:我们共同总结一下两种双曲线标准方程特征.【同学们积极思考,独立完成,师生共同总结】【少教精教】通过焦点在x轴上的双曲线的标准方程类比研究焦点在y轴上的双曲线的标准方程,化解难点,突出重点,强化推理方法.【归纳总结】双曲线的标准方程焦点所在的坐标轴x轴y轴标准方程图形焦点坐标(−c,0),(c,0)(0,−c),(0,c)a,b,c之间的关系【观察记忆能力】通过对两个标准方程的总结,加深学生对双曲线标准方程的理解掌握,特别对焦点位置、三个参数的关系的理解,为求解双曲线的相关问题打下基础.提升观察记忆能力.师:我们根据双曲线的标准方程总结一下双曲线标准方程的特征.【师生共同总结,教师展示多媒体】【归纳总结】双曲线标准方程的特征1.双曲线标准方程的形式:左边两个分式的平方差,右边是1.2.a>0,b>0不可少,体会a,b,c的几何意义.3.双曲线焦点的位置与标准方程中正项有关.4.双曲线标准方程中三个参数a,b,c的关系:c2=a2+b2,c最大,a,b的大小不确定.师:我们下面对双曲线的标准方程与椭圆的标准方程作比较.【同学们积极思考,独立完成,教师及时肯定并展示多媒体】【归纳总结】椭圆和双曲线标准方程比较类型椭圆双曲线定义a,b,c的关系焦点在x轴上焦点在y轴上【深度学习】通过对椭圆和双曲线的对比总结,加深学生对两种曲线标准方程的理解掌握,特别是定义、焦点位置以及三个参数的关系.师:下面看一道例题.【典型例题】求双曲线的标准方程例1分别求适合下列条件的双曲线的标准方程:(1)两个焦点的坐标分别是(−5,0),(5,0),且双曲线上的点与两焦点距离之差的绝对值等于8;(2)双曲线的一个焦点坐标是(0,−6),且双曲线经过点A(−5,6).【分析计算能力】一个题目有不同的解法,我们可以从中选择简捷、自然的解题思路.本题突出双曲线定义的应用和待定系数法的解题方法.在解决问题的过程中,提升分析计算能力.【引导学生积极思考,独立完成,并予以肯定】生解:(1)由已知得c=5,2a=8,所以a=4,b2=c2−a2=9.因为焦点在x轴上,所以所求双曲线的标准方程为.(2)由已知得双曲线的焦点在y轴上,且c=6,另一焦点坐标是(0,6),因为A在双曲线上,所以A到两焦点距离之差的绝对值是.所以.又因为焦点在y轴上,因此所求双曲线的标准方程是.师:是否还有其他方法解决例题(2)?生:也可以先设双曲线方程,再利用待定系数法求解.师:回答正确！下面总结求双曲线标准方程的一般步骤及方法.【以学定教】强化求双曲线方程的方法.通过总结,进行对比,不仅使学生加深了对双曲线定义和标准方程的理解,而且有助于教学目标的实现.【归纳总结】求双曲线标准方程的一般步骤及方法.1.“定位”:确定双曲线的焦点在哪条坐标轴上.2.“定量”:确定a2,b2的具体数值.3.求双曲线标准方程的常用方法:待定系数法、定义法.探究3与双曲线有关的轨迹方程师:下面我们探究一下与双曲线有关的轨迹问题.【典型例题】求动点的轨迹方程例2已知F,(−2,0),F,(2,0),动,点P满足|PF1|−|PF2|=2,求动点P的轨迹方程.【分析计算能力】数学概念是要在运用中得以巩固,通过课件展示例题使学生进一步理解双曲线的定义,掌握标准方程,并在解题过程中感受“数形结合”思想的优越性,同时提升分析计算能力.【同学们积极思考,独立完成,教师指定学生回答,并进行方法总结】生解:因为=1<2,所以根据双曲线的定义可知,P一定在a=1,c=2且焦点在x轴上的双曲线上,这就是说,点P的坐标(x,y)一定满足.另一方面,由可知,因此点P的横坐标要大于零,从而可知动点P的轨迹方程为.师:下面进行总结求与双曲线有关的轨迹方程的方法.【归纳总结】求与双曲线有关的轨迹方程的方法一般来说,我们常用直接法、定义法和代入法三种方法解决与双曲线有关的轨迹方程问题,例2是应用定义法.如果能确定动点运动的轨迹满足某种已知曲线的定义,则可以利用这种已知曲线的定义直接写出其方程,这种求轨迹方程的方法称为定义法.定义法在我们后续要学习的圆锥曲线的问题中被广泛使用,是一种重要的解题方法.【意义学习】通过例题总结方法,概括提炼,进行归纳,突出重点,使学生能够有效学习,有意义地学习.师:对于本节开始部分的情境问题来说,如果以O为原点,AB,OC所在直线为x轴、y轴建立平面直角坐标系,动点P既在直线y=−x上,又在以A,B为焦点的双曲线的左支上,点P是它们的交点.请同学们试着解答一下.【学生尝试解答,教师进行个别指导后展示多媒体】【情境设置】双曲线定义的应用解:以O为坐标原点,AB,OC所在直线为x轴、y轴建立平面直角坐标系,如图所示.则可知A(−1020,0),B(1020,0),C(0,1020),发出巨响的位置P在以A,B为焦点的双曲线上,而且双曲线中,其方程为,又因为P在直线y=−x上,联立可解得x=−680,y=680,所以,发出巨响的点P在中心O的西偏北45°的680m处.【简单问题解决能力】通过情境设置,进一步熟练掌握双曲线标准方程的求解及其定义,同时解决开篇问题,首尾呼应,提升学生数学建模、数形结合及方程思想,培养简单问题解决能力,发展逻辑推理、直观想象、数学抽象和数学运算的核心素养.师:下面是利用双曲线解决实际问题的基本步骤及注意事项.【归纳总结】利用双曲线解决实际问题的基本步骤及注意事项1.利用双曲线解决实际问题的基本步骤(1)建立适当的坐标系.(2)求出双曲线的标准方程.(3)根据双曲线的方程及定义解决实际应用问题.2.注意事项(1)解答与双曲线有关的应用问题时,除要准确把握题意,了解一些实际问题的相关概念,同时还要注意双曲线的定义及性质的灵活应用.(2)实际应用问题要注意其实际意义以及在该意义下隐藏着的变量范围.师:好的,同学们回忆一下,本节课的重点概念.【学生回忆,教师补充】【课堂小结】双曲线的标准方程1.双曲线的定义,注意绝对值与双曲线的两支的关系.2.双曲线有两种标准方程,关键是焦点位置.3.求轨迹方程.4.求实际问题的解题步骤.【设计意图】课时小结,教师引导学生自主总结本节课的重点内容,整体学习,培养学生对本节学习内容的整体认识和把握.师:非常好！下一节课我们会在理解概念的基础上进一步研究双曲线的几何性质,并利用它的性质解决一些问题.教学评价双曲线是三种圆锥曲线中最复杂的一种,我们是先学习椭圆,再学习双曲线,这充分考虑了紧密联系知识体系和由易到难的教学要求,符合学生的学习规律,前面有椭圆知识及学习方法的铺垫,后面有抛物线学习的综合加强,有利于学生掌握和巩固.应用所学知识,完成下面各题:1.求适合下列条件的双曲线的标准方程.(1)以椭圆长轴的端点为焦点,且经过点(3,);(2)a=b,经过点(3,−1);(3)过点P(3,−),离心率为;(4)与椭圆有公共焦点,且离心率.【设计意图】学生在掌握双曲线的定义及标准方程之后,反过来利用双曲线的标准方程研究其几何性质.灵活运用双曲线的定义、方程、性质、体会解析几何这门学科的研究方法,培养学生的解析几何观念,提高学生的数学核心素养.解析:本题主要考查用待定系数法求双曲线的标准方程,首先根据条件判断双曲线的焦点的位置然后设定方程,最后寻找a,b的关系并求解其中,与双曲线具有相同渐近线的双曲线方程可设为.(1)由题意得,双曲线的焦点在x轴上,且c=2.设双曲线的标准方程为.则有,将点(3,)代入方程得,解得.故所求双曲线的标准方程为.(2)当焦点在x轴上时,可设双曲线的方程为x2−y2=a2,将点(3,−1)代入,得32−(−1)2=a2,所以a2=62=8.故所求的双曲线的标准方程为.当焦点在y轴上时,可设双曲线的方程为,将点(3,−1)代入,得(−1)2−32=a2,a2=−8(舍去),所以焦点不可能在y轴上.综上,双曲线的标准方程为.【分析计算能力】从基础入手,通过评价练习,使学生更好地理解双曲线标准方程的两种形式,以及各个量之间的关系,掌握求双曲线标准方程的方法.培养分析计算能力.(3)若双曲线的焦点在x轴上,设其方程为,∵e=,∴,即a2=b2.①又双曲线过P(3,−),∴,②由①②得a2=b2=4,故双曲线方程为.若双曲线的焦点在y轴上,设其方程为,同理有a2=b2,③,④由③④得a2=b2=−4(舍去).综上,双曲线的标准方程为.【简单问题解决能力】通过设计不同层次的习题,让学生能够理解并运用双曲线的几何性质,解决简单的双曲线问题;也让学有余力的学生有所提高,从而达到激发学生学习兴趣的目的.培养简单问题解决能力.(4)由椭圆方程知,,所以椭圆的焦点是F1(−,0),F2(,0).因此双曲线的焦点为(−,0),(,0).设双曲线的标准方程为,由已知条件,有,解得所以所求双曲线的标准方程为.2.一块面积为12公顷的三角形形状的农场,如图所示,在△PEF中,已知tan∠PEF=,tan∠PFE=−2,试建立适当直角坐标系,求出分别以E,F为左、右焦点且过点P的双曲线方程.【简单问题解决能力】通过双曲线实际应用的练习,帮助学生形成基本解题思路,进一步体会数形结合的思想方法和利用双曲线的定义解决实际问题的基本步骤.发展学生简单问题的解决能力,提升数学运算、数学抽象和数学建模的核心素养.解析:本题主要利用特定系数法求解双曲线的标准方程.以EF所在直线为x轴,EF的垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系,如图.设以E,P为焦点目过点P的双曲线方程为,焦点为E(−c,0),F(c,0).由tan∠PEF=,tan∠EFP=−2,设∠PFx=α,则tanα=tan(π−∠EFP)=2,得直线PE和