2023年江西省中考数学押题试卷及答案解析

2023年江西省中考数学押题试卷

一.选择题（共6小题，满分18分，每小题3分）

1.如果同=4,下列各式成立的是（）

A.a>0B.a<0C.D.aWO

2.计算工+（--L）的结果为（）

2

&aa

AaciB.-aC.—]D.」

33

aa

3.由五个相同的立方体搭成的几何体如图所示，则它的左视图是（)

4.某校120名学生某一周用于阅读课外书籍的时间的频数分布直方图如图所示.其中阅读

时间是8-10小时的组频数和组频率分别是（）

a150

a125

Q100

Qo75

0o50

aO25

0

C.30和0.125D.30和01.25

5.如图，正方形网格中，已有两个小正方形被涂黑，再将图中其余小正方形涂黑一个，使

整个图案构成一个轴对称图形，那么涂法共有（）

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A.3种B.4种C.5种D.6种

6.如图，直线/与x轴，），轴分别交于A,B两点，且与反比例函数），=区（x>0）的图象

二.填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）

7.若使代数式织L有意义，则x的取值范围是.

x+2

8.将473000用科学记数法表示为.

9.《孙子算经》是中国古代重要的数学著作，共三卷.卷上叙述了算筹记数的纵横相间制度

和筹算乘除法，卷中举例说明筹算分数算法和筹算开平方法，卷下对后世的影响最深，

其中卷下记载这样一道经典的问题：“今有雉兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问

雉兔各几何？”意思是：“鸡和兔关在一个笼子里，从上面看，有35个头；从下面看，

有94条脚.问笼中各有多少只鸡和多少只兔？”，设有鸡x只，兔子），只，可列方程组

为.

10.如图，将矩形ABCQ绕点A旋转至矩形ABC。位置，此时AC的中点恰好与。点重合,

A夕交CD于点£若Z）E=1,则AC的长为.

11.设a,0是方程,-X-2019=0的两个实数根，则c?-2021a-0的值为；

12.如图放置的两个正方形的边长分别为4和8,点G为C尸中点，则4G的长为

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三.解答题(共5小题，满分30分，每小题6分)

13.(6分)解关于x的不等式：

号)24-1)@山”

14.(6分)如图，已知在△ABC中，AB=AC=10,BC=16,。是边8C的中点，E是射线

BA上一动点，直线DE交射线C4于尸点.

(1)当。F=QCH寸，求4尸的值;

(2)当点E位于线段A8上时(与8、A不重合)，设AF—y,求y关于x的函

数解析式，并写出它的定义域；

(3)当aAEF为以布腰的等腰三角形时，求x的值.

BDC

15.(6分)利用平行线的性质探究：

如图，直线AC〃B£>,连接AB,直线4C,BO及线段A8把平面分成①②③④四个部

分，规定线上各点不属于任何部分.当动点P落在某个部分时，连接以、PB,构成N%C、

NAPB、NPBD三个角.当动点P落在第①部分时，小明同学在研究N/MC、ZAPB,

NPBO三个角的数量关系时，利用图1,过点尸作尸。〃3£>,得出结论：ZAPB^ZPAC+

NPBD.请你参考小明的方法解决下列问题：

(1)当动点尸落在第②部分时，在图2中画出图形，写出N%C、NAPB、NPBD三个

角的数量关系；

(2)当动点尸落在第③、第④部分时，在图3、图4中画出图形，探究NB4C、ZAPB,

/P8。之间的数量关系，写出结论并选择其中一种情形加以证明.

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②/①

B④D

图3

16.（6分）长城公司为希望小学捐赠甲、乙两种品牌的体育器材，甲品牌有A、B、C三种

型号，乙品牌有。、E两种型号，现要从甲、乙两种品牌的器材中各选购一种型号进行

捐赠.

（1）下列事件是不可能事件的是

A.选购甲品牌的B型号；

B.选购甲品牌的C型号和乙品牌的。型号；

C.既选购甲品牌也选购乙品牌；

D.只选购乙品牌的E型号.

（2）用列表法或树状图法，写出所有的选购方案，若每种方案被选中的可能性相同，求

A型号的器材被选中的概率？

17.（6分）如图，已知A（-4,2）、B（”，-4）是一次函数y=fcv+Z＞图象与反比例函数y

=叫图象的两个交点.

x

（1）求此反比例函数和一次函数的解析式；

（2）直接写出△A08的面积；

（3）根据图象直接写出使一次函数的值小于反比例函数的值的x的取值范围.

四.解答题（共3小题，满分24分，每小题8分）

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18.（8分）4月23日是世界读书日，习近平总书记说：“读书可以让人保持思想活力，让人

得到智慧启发，让人滋养浩然之气.”某校响应号召，鼓励师生利用课余时间广泛阅读.该

校文学社为了解学生课外阅读情况，抽样调查了部分学生每周用于课外阅读的时间，过

程如下

数据收集随机抽取20名学生，调查他们每周用于课外阅读时间，数据如下（单位：分钟）

30,60,81,50,40,110,130,146,90,100,60,81,120,140,70,81,10,20,

100,81

整理数据按下表分段整理样本数据并补全表格：

课外阅读时间X0«4040<x<8080<x<120120«160

（分钟）

等级DCBA

人数3_______8—

分析数据补全下表中的统计量:

平均数中位数众数

80______________

得出结论

（1）用样本中的统计量估计该校学生每周用于课外阅读时间的情况等级为;

（2）如果该校现有学生400人，估计等级为“B”的学生有多少名；

（3）假设平均阅读一本课外书的时间为160分钟，请你选择样本中的一种统计量估计该

校学生每人一年（按52周计算）平均阅读多少本课外书.

19.（8分）图1是一种折叠门，由上下轨道和两扇长宽相等的活页门组成，整个活页门的

右轴固定在门框上，通过推动左侧活页门开关.图2是其俯视简化示意图，已知轨道A8

=120cm,两扇活页门的宽OC=O8=60c〃?，点B固定，当点C在AB上左右运动时，

0c与OB的长度不变.

（1）若/OBC=70°,求AC的长；

（2）当点C从点A向右运动（120-60百）c〃?时，求点。在此过程中运动的路径长.（所

有的结果保留小数点后一位，参考数据：sin70°=0.94,cos70°^0.34,tan70°-2.75,

n^3.14）

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o

20.(8分)如图，在△ABC中，NB=45°,AQ_LBC于点。，tan/ACO=2,以。为圆心,

QC为半径作交AO于点G,F是A8的中点，连接GF.

(1)求证：GB是。。的切线；

(2)连接CG并延长交48于点“，若AH=2,求AC的长.

五.解答题(共2小题，满分18分，每小题9分)

21.(9分)某商品的进价为每件50元.当售价为每件70元时，每星期可卖出300件，现

需降价处理，且经市场调查：每降价1元，每星期可多卖出20件.在确保盈利的前提下，

解答下列问题：

(1)若设每件降价x元、每星期售出商品的利润为y元，请写出y与x的函数关系式，

并求出自变量x的取值范围；

(2)当降价多少元时，每星期的利润最大？最大利润是多少？

22.(9分)如图，正方形ABC。的边长为4,点E,尸分别在边AB,AD±,且NEC尸=45°,

CF的延长线交BA的延长线于点G,CE的延长线交DA的延长线于点H,连接AC,EF.,

GH.

(1)填空：ZAHCNACG；(填“>”或“〈”或“=”)

(2)线段4C,AG,4H什么关系？请说明理由；

(3)设

①△AG”的面积S有变化吗？如果变化.请求出S与，”的函数关系式；如果不变化，请

求出定值.

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②请直接写出使ACG”是等腰三角形的加值.

备用图

六.解答题（共1小题，满分12分，每小题12分）

23.（12分）如图，已知直线>=匕-6与抛物线y=ax2+/>x+c相交于A,B两点，且点A（l,

-4）为抛物线的顶点，点8在x轴上.

（1）求抛物线的解析式；

（2）在（1）中抛物线的第二象限图象上是否存在一点P,使△POB与△POC全等？若

存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；

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2023年江西省中考数学押题试卷

参考答案与试题解析

一.选择题（共6小题，满分18分，每小题3分）

1.如果同=a,下列各式成立的是（）

A.4z>0B.a<0C.心0D.aWO

【分析】由条件可知。是绝对值等于本身的数，可知。为0或正数，可得出答案.

【解答】解：•••间=。，

为绝对值等于本身的数，

...心0,

故选：C.

【点评】本题主要考查绝对值的计算，掌握绝对值等于它本身的数有0和正数（即非负

数）是解题的关键.

2.计算工+（-」■）的结果为（）

2

aa

A.aB.-aC.一LD.

33

aa

【分析】除法转化为乘法，再约分即可得.

【解答】解：原式=』•（-/）=-〃，

a

故选：B.

【点评】本题主要考查分式的乘除法，解题的关键是掌握分式的除法运算法则.

3.由五个相同的立方体搭成的几何体如图所示，则它的左视图是（）

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C.——I——I——D.I——I——------

【分析】根据从左边看得到的图形是左视图，可得答案.

【解答】解：从左边看第一层是三个小正方形，第二层左边一个小正方形，

故选：D.

【点评】本题考查了简单组合体的三视图，从左边看得到的图形是左视图.

4.某校120名学生某一周用于阅读课外书籍的时间的频数分布直方图如图所示.其中阅读

时间是8-10小时的组频数和组频率分别是（）

【分析】根据频数分布直方图将第4组的频率与组距的商乘以2可得其频率，再把总人

数乘以该组的频率即可得.

【解答】解：由频数分布直方图可知，阅读时间是8-10小时的频率=0.125X2=0.25,

频数为120X0.25=30,

故选：D.

【点评】本题主要考查频数（率）分布直方图，解题的关键是掌握频率=频数+总数.

5.如图，正方形网格中，已有两个小正方形被涂黑，再将图中其余小正方形涂黑一个，使

整个图案构成一个轴对称图形，那么涂法共有（）

A.3种B.4种C.5种D.6种

【分析】根据轴对称图形的定义：沿某条直线折叠，直线两旁的部分能完全重合的图形

是轴对称图形进行解答.

【解答】解：如图所示：

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共5种，

故选：C.

【点评】此题主要考查了利用轴对称设计图案，关键是掌握轴对称图形的定义.

6.如图，直线/与x轴，y轴分别交于A,8两点，且与反比例函数），=K或>0）的图象

【分析】作轴于。，设08="（”>0）.由&AOB=SMOC,根据三角形的面积公

式得出4B=BC.根据相似三角形性质即可表示出点C的坐标，把点C坐标代入反比例

函数即可求得k.

【解答】解：如图，作C£>J_x轴于。，设08=”（«>0）.

,:SAAOB=S\BOC,

：.AB=BC.

•••△A03的面积为1,

.,.JLOA・O8=1,

2

.\OA=—,

a

,:CD〃OB,AB=BC,

J00=04=2,CD=2OB=2a,

a

：.C（2,2a）,

a

；反比例函数），=K（x>o）的图象经过点c,

X

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.,/=2x2a=4.

【点评】此题考查反比例函数与一次函数的交点问题，待定系数法求函数解析式，会运

用相似求线段长度是解题的关键.

二.填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）

7.若使代数式生L有意义，则x的取值范围是xW-2.

x+2

【分析】直接利用分式有意义则其分母不为零，进而得出答案.

【解答】解：•.•分式区L有意义，

x+2

的取值范围是：X+2W0,

解得：xW-2.

故答案是：xH-2.

【点评】此题主要考查了分式有意义的条件，正确把握分式的定义是解题关键.

8.将473000用科学记数法表示为4.73X105.

【分析】科学记数法的表示形式为aX10"的形式，其中〃为整数.确定n

的值时，要看把原数变成。时，小数点移动了多少位，〃的绝对值与小数点移动的位数相

同.当原数绝对值＞1时，〃是正数；当原数的绝对值＜1时，〃是负数.

【解答】解：将473000用科学记数法表示为4.73X105.

故答案为:4.73X105.

【点评】此题考查科学记数法的表示方法.科学记数法的表示形式为aX10〃的形式，其

中lW|a|＜10,”为整数，表示时关键要正确确定a的值以及"的值.

9.《孙子算经》是中国古代重要的数学著作，共三卷.卷上叙述了算筹记数的纵横相间制度

和筹算乘除法，卷中举例说明筹算分数算法和筹算开平方法，卷下对后世的影响最深，

其中卷下记载这样一道经典的问题：“今有雉兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问

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雉兔各几何？”意思是：“鸡和兔关在一个笼子里，从上面看，有35个头；从下面看，

有94条脚.问笼中各有多少只鸡和多少只兔？”，设有鸡x只，兔子y只，可列方程组

为」x"35_

12x+4y=94

【分析】设有鸡x只，兔子y只，根据鸡、兔的共有35个头且有94条脚，即可得出关

于x、y的二元一次方程组，此题得解.

【解答】解：设有鸡x只，兔子y只，

根据题意得：卜寸新.

I2x+4y=94

故答案为：卜4y..

[2x+4y=94

【点评】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组

是解题的关键.

10.如图，将矩形A8CZ）绕点A旋转至矩形A8C7T位置，此时AC的中点恰好与。点重合,

A6交CO于点E.若£>E=1,则AC的长为2巫.

【分析】首先证明AC=2A。，推出/AC£>=30°,再证明/D4E=30°即可解决问题.

【解答】解：•.•四边形ABC。是矩形，

...NAOC=90°,

"：AD=DC,AC=AC',

：.AC^2AD,

.•.sin/ACD=AD=上，

AC2

/.ZACD=30°,

'：CD//AB,

：.ZCAB=ZACD=30Q,

：.ZCAB'=/C4B=30°,

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在Rt/\ADE中，AD=\{2DE—

."C=2&.

故答案为2y.

【点评】本题考查旋转的性质，矩形的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解

决问题，属于中考常考题型.

11.设a,0是方程f-x-2019=0的两个实数根，则a3-2021a-B的值为2018；

【分析】根据一元二次方程跟与系数的关系，结合“a,0是方程W-x-2019=0的两个

实数根”，得到a+0的值，代入a?-2021a-0,再把a代入方程f-犬-2019=0,经过

整理变化，即可得到答案.

【解答】解：根据题意得：a+0=l,

a3-2021a-0

=a(a2-2020)-(a邛)

—a(a2-2020)-1,

Va2-a-2019=0,

Aa2-2020=a-1,

把a2-2020=a-1代入原式得：

原式=a(a-1)-1

=a-a-1

=2019-1

=2018.

【点评】本题考查了根与系数的关系，正确掌握一元二次方程根与系数的关系是解题的

关键.

12.如图放置的两个正方形的边长分别为4和8,点G为C尸中点，则AG的长为2氏

【分析】连接AC、AF,延长C8交/于M,求出CM和根据勾股定理求出CF,

求出NC4F=90°,根据直角三角形的性质求出AG即可.

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F

【解答】解:

连接AC、AF,延长CB交F”于M,

则NFMC=90°,CM=4+8=12,FM=8-4=4,

在RtZ\CM尸中，由勾股定理得：bJcM+F产）122+42=4

•/四边形CDAB和四边形EFHA是正方形，

.,.ZCAB=45°,ZM£=45°,

：.ZCAF=45Q+45°=90°,

；G为CF的中点，

.-.AG=ACF=2Vw.

故答案为：2万.

【点评】本题考查了勾股定理、直角三角形斜边上中线的性质、正方形的性质等知识点,

能求出/C4F=90°和求出CF的长度是解此题的关键.

三.解答题（共5小题，满分30分，每小题6分）

13.（6分）解关于尤的不等式：

【分析】对不等式的左边进行化简，首先提公因式（x-1）,然后不等式两边同时乘以

4

-2,即可化简，然后移项、合并同类项即可求解.

【解答】解：原式变形得：（x-1）（X-1-X-1）W工，

4444

-A（%-A）wL

244

则x-X^-X,

42

移项得：X2--1+1,

24

则X2--1.

4

【点评】本题考查了不等式的解法，正确对不等式进行化简是关键.

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14.(6分)如图，已知在△ABC中，AB=AC=IO,BC=16,。是边8c的中点，E是射线

BA上一动点，直线DE交射线C4于F点.

(1)当QF=DC时，求AF的值；

(2)当点E位于线段AB上时(与B、A不重合)，设AF=y,求y关于x的函

数解析式，并写出它的定义域；

(3)当aAEF为以项腰的等腰三角形时，求x的值.

【分析】(1)易证△ABCSAQFC,根据空•芈即可解题；

DCCF

(2)易证△AFESAMQE,根据空M可求出y关于x的函数解析式;

DMME

(3)分别求E位于线段AB上和54的延长线上时x的值，即可解题.

【解答】解：(1)；A8=AC,

•；DF=DC,

：.ZB=ZC,

：.ZB=ZF,

：.丛ABCs/\DFC,

•ACBC

••----二，“，

DCCF

•.•1—0—~16f

8CF

ACF=12.8,

尸=2.8；

(2)取AB的中点M,联结。M.

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BD

是边BC的中点，

：.DM//AC,OM=/AC=5,

AAFES/XMDE,

••.-A-F~-A-E-,

DMME

•・•—y二10-x,

5x-5

函数定义域为5<x<10；

(3)当点E位于线段ABt：时,

解得x=10舍去,

②若AF=EFcosNFAE=a,

5X_L_=A»(X-5)

252

户毁，

5

当点E位于线段区4延长线上时，此时y=5(x70),

x-5

第16页共31页

E

①若AF=AE,即3(、：,：_1山_=x-]0,

x-5

解得x=10舍去，

②若AF=EFCOSZFAE=-2-,

25

-Z_y=A(x-10),

25,2

解得X=舍去.

5

综上所述，当△AE尸为以砌腰的等腰三角形时，x=39.

5

【点评】本题考查了相似三角形的判定，考查了相似三角形对应边比值相等的性质.

15.(6分)利用平行线的性质探究：

如图，直线AC〃B。，连接AB,直线AC,BO及线段AB把平面分成①②③④四个部

分，规定线上各点不属于任何部分.当动点P落在某个部分时，连接构成NB4C、

NAPB、NPBD三个角.当动点P落在第①部分时，小明同学在研究N»1C、ZAPB.

NP8D三个角的数量关系时，利用图1,过点尸作PQ〃BO,得出结论：ZAPB=ZPAC+

NPBD.请你参考小明的方法解决下列问题：

(1)当动点P落在第②部分时，在图2中画出图形，写出/B4C、ZAPB,NPBD三个

角的数量关系；

(2)当动点P落在第③、第④部分时，在图3、图4中画出图形，探究NR1C、NAPB、

NPBD之间的数量关系，写出结论并选择其中一种情形加以证明.

第17页共31页

②/①

B④D

图3

【分析】（1）过P作E/〃AC,根据平行线性质得出NB4C+NAPF=180°,NPBD+N

BPF=180°,即可得出答案;

（2）①当动点P在射线8A的右侧且在③时，结论是/B4C,②当动

点P在射线8A的右侧，且在④时，结论是：ZPAC=ZPAC-ZPBD,根据三角形外角

性质和平行线性质求出即可.

【解答】解：（1）结论是：ZAPB+ZPAC+ZPBD=360°,

理由是：过P作PM〃AC,

■:AC//BD,

：.AC//PM//BD,

：.ZB\C+ZAPM=\SO°,NPBD+NBPM=180°,

：.ZAPB+ZPAC+ZPBD^360Q,而不能推出NAP8=/B4C+/P8Z）；

（2）当P在③，且P在直线A8的右边时，如图3,结论是：NAPB=NPBD-NaC,

理由是：延长4P交8力于M,

'：AC//BD,

：.ZPAC^ZAMB,

■:NAPB=NPBD-ZAMH,

：.ZAPB=ZPBD--ZPAC；

当P在④，且P在直线AB的右边时，如图4,结论是：ZAPB=ZPAC-ZPBD,

理由是：

'：AC//BD,

：.ZPAC=ZPMD,

"：NAPB=ZPMD-NPBD,

第18页共31页

AZAPB=ZPAC-ZPBD.

③A

图2

【点评】本题考查了平行线的性质，三角形外角性质的应用，解此题的关键是能根据题

意正确画出对应的图形，注意：平行线的性质是：①两直线平行，同位角相等，②两直

线平行，内错角相等，③两直线平行，同旁内角互补，难度适中，证明过程类似.

16.（6分）长城公司为希望小学捐赠甲、乙两种品牌的体育器材，甲品牌有A、B、C三种

型号，乙品牌有。、E两种型号，现要从甲、乙两种品牌的器材中各选购一种型号进行

捐赠.

（1）下列事件是不可能事件的是上

A.选购甲品牌的8型号；

B.选购甲品牌的C型号和乙品牌的。型号•；

C.既选购甲品牌也选购乙品牌；

D.只选购乙品牌的E型号.

（2）用列表法或树状图法，写出所有的选购方案，若每种方案被选中的可能性相同，求

A型号的器材被选中的概率？

第19页共31页

【分析】（1）根据不可能事件和随机随机的定义进行判断；

（2）画树状图展示所有6种等可能的结果数，找出A型器材被选中的结果数，然后根据

概率公式求解.

【解答】解：（DA、选购甲品牌的B型号是随机事件；

B、选购甲品牌的C型号和乙品牌的D型号是随机事件；

C、既选购甲品牌也选购乙品牌是必然事件；

只选购乙品牌的E型号是不可能事件；

故选：。；

（2）用树状图法表不是:

由树状图可知，共有6种等可能的结果，其中A选中有2种结果，即A。、AE,

...选中4型号的概率2=

63

【点评】本题考查了列表法与树状图法:利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果〃,

再从中选出符合事件A或8的结果数目m,然后利用概率公式求事件4或B的概率.

17.（6分）如图，已知A（-4,2）、B（小-4）是一次函数卜=区+匕图象与反比例函数y

=如图象的两个交点.

x

（1）求此反比例函数和一次函数的解析式；

（2）直接写出△AOB的面积；

（3）根据图象直接写出使一次函数的值小于反比例函数的值的x的取值范围.

【分析】（1）把A的坐标代入反比例函数解析式求得机的值，从而求得反比例函数解析

式，然后把B的坐标代入w的值，再利用待定系数法求得一次函数的解析式；

第20页共31页

（2）求得A8与x轴的交点，然后根据三角形的面积公式求解；

（3）一次函数的值小于反比例函数的值的x的取值范围就是一次函数的图象在反比例函

数图象下方的自变量的取值范围.

【解答】解：（1）把（-4,2）代入y=见得2=旦，则，"=-8.

x-4

则反比例函数的解析式是y=-

X

把（小-4）代入y=-2得〃=-方_=2,

x-4

则8的坐标是（2,-4）.

根据题意得：

（2=-4k+b

1-4=2k+b

解得修1,

Ib=-2

所以一次函数的解析式是y=-x-2；

（2）设AB与x轴的交点是C,则C的坐标是（-2,0）.

则OC=2,

S^AOC—2,S^BOC—4,

贝S&AOB=6；

（3）由函数图象可知x的取值范围时-4VxV0或x>2.

【点评】本题考待定系数法求函数的解析式以及函数与不等式的关系，理解求一次函数

的值小于反比例函数的值的x的取值范围就是一次函数的图象在反比例函数图象下方的

自变量的取值范围是关键.

四.解答题（共3小题，满分24分，每小题8分）

18.（8分）4月23日是世界读书日，习近平总书记说：“读书可以让人保持思想活力，让人

得到智慧启发，让人滋养浩然之气.”某校响应号召，鼓励师生利用课余时间广泛阅读.该

校文学社为了解学生课外阅读情况，抽样调查了部分学生每周用于课外阅读的时间，过

第21页共31页

程如下

数据收集随机抽取20名学生，调查他们每周用于课外阅读时间，数据如下（单位：分钟）

30,60,81,50,40,110,130,146,90,100,60,81,120,140,70,81,10,20,

100,81

整理数据按下表分段整理样本数据并补全表格：

课外阅读时间X0WxV4040«8080«120120<x<160

（分钟）

等级DCBA

人数3584

分析数据补全下表中的统计量:

平均数中位数众数

808181

得出结论

（1）用样本中的统计量估计该校学生每周用于课外阅读时间的情况等级为3

（2）如果该校现有学生400人，估计等级为“B”的学生有多少名；

（3）假设平均阅读一本课外书的时间为160分钟，请你选择样本中的一种统计量估计该

校学生每人一年（按52周计算）平均阅读多少本课外书.

【分析】根据中位数、众数的定义可以填表格，利用样本和总体之间的比例关系可以估

计或计算得到（1）（2）（3）结果.

【解答】解：（1）根据上表统计显示：样本中位数和众数都是81,平均数是80,都是8

等级，

故估计该校学生每周的用于课外阅读时间的情况等级为8;

故答案为：B.

（2）V_Lx400=160（名），

20

该校现有学生400人，估计等级为的学生有160名；

（3）以平均数来估计：-12X52=26（本），

160

第22页共31页

•••假设平均阅读一本课外书的时间为160分钟，以样本的平均数来估计该校学生每人一

年（按52周计算）平均阅读26本课外书.

【点评】此题主要考查数据的统计和分析的知识.准确把握三数（平均数、中位数、众

数）和理解样本和总体的关系是关键.

19.（8分）图1是一种折叠门，由上下轨道和两扇长宽相等的活页门组成，整个活页门的

右轴固定在门框上，通过推动左侧活页门开关.图2是其俯视简化示意图，已知轨道AB

=120c〃?，两扇活页门的宽OC=O8=6（km,点2固定，当点C在43上左右运动时，

OC与08的长度不变.

（1）若/O8C=70°,求AC的长；

（2）当点C从点4向右运动（120-60日）（7«时，求点。在此过程中运动的路径长.（所

有的结果保留小数点后一位，参考数据：sin70°-0.94,cos70°~0.34,tan70°弋2.75,

n=3.14）

【分析】（1）如图，作“O_LAB于”，在RtZ\O8H中，cos/OBC=理，求出84,再

0B

由AC=AB-2BH即可求解；

（2）在RtAOBH中，cos/O8C=jjl==返,/=二哩='3。兀><60=1（无〃

0B602180180

31.4；

【解答】解：（1）如图，作于H,

,OC=OB,

:.CH=BH,

在RtaOBH中，cosNOBC=^,

0B

.*.BH=O8Xcos70°^60X0.34=20.4,

：.AC=AB-2BH=120-2X20.4=79.2,

；.AC的长约为79.2cm；

第23页共31页

(2)：AC=120-60«,

：.BC=\20-(120-60A/3)=60«,

,:OC=OB,

:.BH=CH=30M，

在RtZ\OBH中，cosNOBC=®l=遮=返,

OB602

AZOBC=30°,

.../=生旦=30TT><_60_10产3]4,

180180

点O在此过程中运动的路径长约为31.4c〃z；

n

【点评】本题考查解直角三角形的应用；牢记特殊三角函数值，通过作辅助线构造直角

三角形求解是关键.

20.(8分)如图，在△ABC中，NB=45°,8c于点O,tanNACO=2,以。为圆心,

QC为半径作0。，交于点G,F是A8的中点，连接GF.

(1)求证：GP是。。的切线；

(2)连接CG并延长交A8于点”，若AH=2,求AC的长.

【分析】(1)先证明G为4。的中点，可得GF为△ABO的中位线，则可证明/AGF=

90°；

(2)只要证明：△AOB,ACGD,△AGH都是等腰直角三角形，利用等腰三角形的性

质即可解决问题；

【解答】(1)证明：,：tanZACD=-^-=2>ADLBC,

第24页共31页

：.AD=2CD=2GD,

；.G为A£＞的中点，

又为AB的中点，

.,.GF//BD,

'：AD±BC,

：.ZAGF=90Q,

；.GF是O。的切线；

（2）解：'：AD±BC,

：.ZADB=90°,

VZB=45°,

...△ADB是等腰直角三角形，

；.ND48=45°

"：GD=CD,ZGDC=90°,

△CGD是等腰直角三角形，

ZGCD=45Q

；.NAHC=90°,

...△AG”是等腰直角三角形，

\"AH=2,

：.HG=2,AG=2®

:.GD=2M，

；.CG=4,

.".HC=6,

'•AC=yJ22+g2=2^/lQ.

【点评】本题考查切线的判定、等腰直角三角形的性质、中位线定理、勾股定理等知识,

解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型.

五.解答题（共2小题，满分18分，每小题9分）

21.（9分）某商品的进价为每件50元.当售价为每件70元时，每星期可卖出300件，现

需降价处理，且经市场调查：每降价1元，每星期可多卖出20件.在确保盈利的前提下，

解答下列问题：

第25页共31页

(1)若设每件降价X元、每星期售出商品的利润为y元，请写出y与X的函数关系式，

并求出自变量x的取值范围；

(2)当降价多少元时，每星期的利润最大？最大利润是多少？

【分析】(1)根据“总利润=单件利润X销售量”列出函数解析式，由“确保盈利”可

得x的取值范围.

(2)将所得函数解析式配方成顶点式可得最大值.

【解答】解：(1)根据题意得y=(70-X-50)(300+20%)=-20?+100x+6000,

V70-X-50>0,且x>0,

，0«20；

(2)-20，+100x+6(X)0=-20(x-A)2+6125.

2

...当x=5时，y取得最大值，最大值为6125,

2

答：当降价2.5元时，每星期的利润最大，最大利润是6125元.

【点评】本题主要考查二次函数的应用，解题的关键是根据题意确定相等关系，并据此

列出函数解析式.

22.(9分)如图，正方形ABCC的边长为4,点E,F分别在边AB,AQ上，且NECF=45°,

CF的延长线交BA的延长线于点G,CE的延长线交DA的延长线于点H,连接AC,EF.,

GH.

(1)填空：ZAHC=ZACG：(填“〉”或“〈”或“=”)

(2)线段AC,AG,A”什么关系？请说明理由；

(3)设AE=，〃，

①△AG”的面积S有变化吗？如果变化.请求出S与巾的函数关系式；如果不变化，请

求出定值.

②请直接写出使△CGH是等腰三角形的机值.

第26页共31页

备用图

【分析】(1)证明/D4C=/AHC+/ACH=45°,ZACH+ZACG^45Q,即可推出/

AHC=ZACG；

(2)结论：AC2=AG'AH.只要证明△A"CS/\ACG即可解决问题；

(3)①△AG”的面积不变.理由三角形的面积公式计算即可；

②分三种情形分别求解即可解决问题；

【解答】解：(1)I•四边形A8C。是正方形，

：.AB=CB=CD=DA=4,ZD=ZDAB=90°ZDAC=ZBAC=45a,

二叱=、42+42=4圾，

VZDAC=ZAHC+ZACH=45Q,ZACH+ZACG=45°,

/AHC=ZACG.

故答案为=.

(2)结论：AC2^AG-AH.

理由：VZAHC^ZACG,/C4H=NG4G=135°,

：./\AHC^^ACG,

_Mi=AC

ACAG)

：.AC2=AG'AH.

(3)①△AGH的面积不变.

理由：'：SMGH=1'AH-AG=1AC2=1X(4&)2=16.

222

...△AGH的面积为16.

第27页共31页

②如图1中，当GC=G”时，易证△AHG丝△BGC,

可得AG=8C=4,AH=BG=S,

'：BC//AH,

•.•BC_BE_1,

AHAE2

'.AE=2-AB=—.

33

如图2中，当CH=〃G时,

易证4”=BC=4（可以证明△G4H四△HOC得到）

'：BC//AH,

•些=区=1

,,AEAH'

：.AE=BE^