集合与常用逻辑用语专项训练- 高三数学一轮复习

高三数学一轮复习专项训练集合与常用逻辑用语

一、选择题1．已知集合,,若中有两个元素,则实数a的取值范围是()A. B.C.或 D.或2．设集合,,则()A. B. C. D.3．命题，的否定是()A.， B.，C.， D.，4．下列说法错误的是()A.“若,则”的逆否命题是“若,则”B.“,”的否定是“,”C.“”是“”的必要不充分条件D.“或”是“”的充要条件5．给出下列四个结论：①命题“若,则方程有实数根”的逆否命题为：“若方程没有实数根,则”②若,,,则的最小值为③函数的定义域为R的充要条件是④对于函数,则,使得函数在R上有三个零点其中正确结论的个数为()A. B. C. D.6．设集合,,则()A. B. C. D.7．集合的真子集的个数是()A.3 B.4 C.7 D.88．已知集合,,若.则实数a的取值范围是()A. B. C. D.二、多项选择题9．下列命题中正确的有()A.集合的真子集是，B.是菱形是平行四边形}C.设，，，若，则D.10．已知集合,集合,则集合N可以是()A. B.C. D.11．若函数有两个零点,则实数b的取值范围所构成集合的子集为()A. B. C. D.三、填空题12．已知集合,,若,则实数m的取值范围为______.13．若X是一个集合,是一个以X的某些子集为元素的集合,且满足：①X属于,空集属于；②中任意多个元素的并集属于；③中任意多个元素的交集属于.则称是集合X上的一个拓扑.已知集合X＝{,,},对于下面给出的四个集合：①；②；③；④.其中是集合X上的一个拓扑的集合的所有序号是______.14．设集合，，把X的所有元素的乘积称为X的“容积”（若X中只有一个元素，则该元素的数值即为它的“容积”，规定空集的“容积”为0）.若X的“容积”是奇（偶）数，则称X为S的奇（偶）子集，则S的所有偶子集的“容积”之和为___________.四、解答题15．设集合或,中的元素,,定义:.若M为的k元子集,对,都存在,使得,则称M为的k元最优子集.（1）若a,,,且,试写出两个不同的b;（2）当时,集合,,,,证明:A为的2元最优子集;（3）当时,是否存在2元最优子集,若存在,求出一个最优子集,若不存在,请说明理由.16．已知集合,（1）若,写出的所有子集（2）若是的必要条件,求实数m的取值范围.17．含有有限个元素的数集，定义“元素和”如下：把集合中的各数相加；定义“交替和”如下：把集合中的数按从大到小的顺序排列，然后从最大的数开始交替地加减各数.例如，的元素和是；交替和是；而的元素和与交替和都是5.(1)写出集合的所有非空子集的交替和的总和；(2)已知集合，根据提示解决问题.①求集合M所有非空子集的元素和的总和；提示：，先求出x在集合M的非空子集中一共出现多少次，进而可求出集合M所有非空子集的元素和的总和；②求集合M所有非空子集的交替和的总和.18．已知集合,.(1)若A中有且仅有1个元素,求实数m的值;(2)若,求实数m的取值范围.19．已知命题，恒成立，命题，.若p，q中有且仅有一个为真命题，求实数a的取值范围.

参考答案1．答案：C解析：因为,,且中有两个元素,所以或,解得或,所以实数a的取值范围是或.故选：C.2．答案：A解析：依题得,则.故选:A.3．答案：A解析：全称存在命题的否定是存在量词命题，并且否定结论，所以命题，的否定是，.故选：A4．答案：C解析：根据命题“若p则q”的逆否命题为“若则”,可知“若,则”的逆否命题是“若,则”,即A正确；根据全称命题的否定是特称命题可知,“,”的否定是“,,即B正确；不等式的解为或,故“”可推出“”,但“”推不出“”,即“”是“”的充分不必要条件,C错误,“或”是“”的充要条件,D正确.故选：C.5．答案：B解析：①“若,则方程有实数根”的逆否命题为：“若方程没有实数根,则”,正确；②若,,,则,当且仅当时取等号,正确；③当时,函数的定义域为R,显然不是充要条件,错误；④,即为奇函数,而,∴,当,即,故在上递减,则,∴只有一个零点为0,由对称性知：在上无零点,∴,使得函数在R上有三个零点,错误.故选：B.6．答案：D解析：.故选：D.7．答案：A解析：由题知,所以集合A的真子集的个数是.8．答案：B解析：由题可知或,,由,可得,所以.9．答案：BC解析：对于A，集合的真子集是，，，故A不正确；对于B，菱形一定是平行四边形，故B正确；对于C，由题意得，，故，故C正确；对于D，因为，所以无解，所以，故D不正确.故选BC.10．答案：ABC解析：因为集合,对于A：满足,所以选项A符合题意；对于B：满足,所以选项B符合题意；对于C：满足,所以选项C符合题意；对于D：不是的真子集,故选项D不符合题意,故选：ABC.11．答案：AC解析：令,,在同一直角坐标系内,作函数图象如图,因为函数有两个零点,所以与只需两个不同的交点,由图象可知,,所以实数b的取值范围所构成集合为,其子集为,.故选：AC12．答案：或解析：由题知,集合A为一次函数上的点构成的集合,集合B为反比例函数上的点构成的集合,若,则方程有非零解,整理得,则,解得或.13．答案：②④.解析：①,因为,故①不是集合X上的一个拓扑；②满足集合X上的一个拓扑的集合τ的定义；③因为,故③不是集合X上的一个拓扑；④满足集合X上的一个拓扑的集合的定义.故答案为：②④.14．答案：16解析：由题意，X可能情况有，，，，，，，，则8个集合的“容积”分别为：0,1,2,3,5,3,6,6，其中偶数有0,2,2,6,6，故偶子集有，，，，，则S的所有偶子集的“容积”之和为.故答案为：16.15．答案：（1）或;（2）证明见解析;（3）不存在,理由见解析.解析：（1）取或,满足,所以或.（2）任取,则存在,使得,,2,3,4,5,6,7,记,,,若,则结论成立;若,则,所以A为的2元最优子集.（3）先考虑的情况,假设存在2元最优子集R,记,,,,,使,记,则,由,得,,因此,中至少有一个数大于等于4,这与R是最优子集矛盾,由a,b的任意性,可知不存在最优子集,当时,,,,,则,所以没有2元最优子集.16．答案：（1）,,,,,,,（2）解析：（1）,若,则,此时,所以子集为,,,,,,,.（2）若是的必要条件,只需.①若B中没有元素即,则,此时,满足;②若B中只有一个元素,则,此时．则,此时满足;③若B中有两个元素,则,此时．因A中也有两个元素,且,则必有,由韦达定理得,则,矛盾,故舍去．综上所述,当时,．所以实数m的取值范围：．17．答案：(1)12(2)①672②192解析：(1)集合的非空子集为，，，，，，，集合，，的交替和分别为1，2，3，集合的交替和为，集合的交替和为，集合的交替和为，集合的交替和为，所以集合的所有非空子集的交替和的总和为.(2)①集合的所有非空子集中，数字1，2，3各出现次，集合的所有非空子集为，，，，，，，，，，，，，，，其中数字1，2，3，4各出现次，在集合的所有非空子集中，含1的子集的个数为，故数字1在16个子集中出现，即数字1在所有的非空子集中出现了16次，同理，数字2，3，4，5各出现(次)，同理，在集合的所有非空子集中，数字1，2，3，4，5，6各出现(次)，所以集合M的所有非空子集的元素和的总和为.②设集合，，，的交替和分别，，，，集合的所有非空子集的交替和，集合的所有非空子集的交替和，集合的所有非空子集的交替和，集合的所有非空子集的交替和，所以根据前4项猜测集合的所有非空子集的交替和总和，所以集合M的所有非空子集的交替和的总和.18．答案：(1)或(2)解析：(1)若,方程化为,此时方程有且仅有一个根;若,则当且仅当方程的判别式,即时,方程有两个相等的实根,此时集合A中有且仅有一个元素,所以实数m的值为或;(2),因为,所以,由(1)知时,,不符合,当时,若,解得,此时,符合,若,解得,此时方程的根为,集合,符合,若,由,则可得,此时有且,无解,综上所述：实数m的取值