高等数学上册二章ch2 -习题课

第四节一、隐函数的导数二、对数求导法三、由参数方程确定的函数的导数四、相关变化率隐函数和参数方程求导

相关变化率

第二章一、隐函数的导数若由方程可确定y是

x

的函数,由表示的函数,称为显函数.例如,可确定显函数可确定y是x

的函数,但此隐函数不能显化.函数为隐函数

.则称此隐函数求导方法:两边对

x

求导(含导数的方程)例1.求由方程在x=0

处的导数解:

方程两边对

x

求导得因x=0时y=0,故确定的隐函数例2

求由方程y=1+xey

确定的隐函数y的二阶导数。解两边对x求导，得:另解：直接在两边对x求导，得：注：

(1)隐函数求导实质是在方程F(x，y)=0两边对x

求导时，把y看成中间变量，利用复合函数的求导法则。(2)隐函数的高阶导数，可直接在一阶导数的基础上两边求导，不一定要解出y

。例3.求椭圆在点处的切线方程.解:

椭圆方程两边对

x

求导故切线方程为即二、对数求导法观察函数方法：先在方程两边取对数,然后利用隐函数的求导方法求出导数.--------对数求导法适用范围：一般地例3.求的导数。解:两边取对数,化为隐式两边对x

求导另一方法：

y=u(x)v(x)=ev(x)lnu(x)，再利用复合函数的求导法求出。例4

对x

求导两边取对数例5解等式两边取对数得例6

已知xy=yx

确立了y是x的函数，求y的导数。解

法一两边取对数ylnx=xlny

两边对x求导三、由参数方程确定的函数的导数若参数方程可确定一个

y

与

x之间的函数可导,且则时,有时,有(此时看成x

是

y的函数)关系,若上述参数方程中二阶可导,且则由它确定的函数可求二阶导数.利用新的参数方程,可得?例7.设,且求已知解:注意:例8.抛射体运动轨迹的参数方程为求抛射体在时刻t

的运动速度的大小和方向.解:

先求速度大小:速度的水平分量为垂直分量为故抛射体速度大小再求速度方向(即轨迹的切线方向):设

为切线倾角,则抛射体轨迹的参数方程速度的水平分量垂直分量在刚射出(即t=0)时,倾角为达到最高点的时刻高度落地时刻抛射最远距离速度的方向例9解

所求切线方程为：例10解

四、相关变化率为两可导函数之间有联系之间也有联系称为相关变化率相关变化率问题解法:找出相关变量的关系式对

t求导得相关变化率之间的关系式求出未知的相关变化率例7.一气球从离开观察员500m

处离地面铅直上升,其速率为当气球高度为500m

时,观察员视线的仰角增加率是多少?解:

设气球上升t

分后其高度为h,仰角为

,则两边对t求导已知

h=500m时,例8解水面上升之速率4000m内容小结1.隐函数求导法则直接对方程两边求导2.对数求导法:适用于幂指函数及某些用连乘,连除表示的函数3.参数方程求导法极坐标方程求导4.相关变化率问题列出依赖于

t的相关变量关系式对t求导相关变化率之间的关系式转化求高阶导数时,从低到高每次都用参数方程求导公式思考与练习1.

求螺线在对应于的点处的切线方程.解:

化为参数方程当时对应点斜率∴切线方程为2.设由方程确定,解:方程两边对x

求导,得再求导,得②当时,故由①得再代入②得

求①求其反函数的导数.解:方法1方法2等式两边同时对y求导思考题1.

设,求解：2.设方程组两边同时对t求导,得练习题练习题答案二、微分运算法则三、微分在近似计算中的应用四、微分在估计误差中的应用第五节一、微分的概念函数的微分

第二章一、微分的概念引例:

一块正方形金属薄片受温度变化的影响,问此薄片面积改变了多少?设薄片边长为x,面积为A,则面积的增量为关于△x

的线性主部高阶无穷小时为故称为函数在的微分当x

在取得增量时,变到边长由其的微分,定义:若函数在点的增量可表示为(A

为不依赖于△x

的常数)则称函数而称为记作即定理:

函数在点可微的充要条件是即在点可微,定理:函数证:

“必要性”

已知在点可微,则故在点的可导,且在点可微的充要条件是在点处可导,且即定理:函数在点可微的充要条件是在点处可导,且即“充分性”已知即在点的可导,则说明:时,所以时很小时,有近似公式与是等价无穷小,当故当微分的几何意义当很小时,则有从而导数也叫作微商切线纵坐标的增量自变量的微分,记作记例如,基本初等函数的微分公式(见P116表)又如,再如,二、微分运算法则设u(x),v(x)均可微,则(C

为常数)分别可微,的微分为微分形式不变性5.复合函数的微分则复合函数例1.求解:例2.设求解:利用一阶微分形式不变性,有例3.

在下列括号中填入适当的函数使等式成立:说明:

上述微分的反问题是不定积分要研究的内容.三、微分在近似计算中的应用当很小时,使用原则:得近似等式:特别当很小时,常用近似公式:很小)证明:令得的近似值.解:

设取则例4.求的近似值.解:例5.计算例6.有一批半径为1cm的球,为了提高球面的光洁度,解:

已知球体体积为镀铜体积为V

在时体积的增量因此每只球需用铜约为(g)用铜多少克.估计一下,每只球需要镀上一层铜,厚度定为0.01cm,四、微分在估计误差中的应用某量的精确值为A,其近似值为a,称为a

的绝对误差称为a

的相对误差若称为测量

A

的绝对误差限称为测量

A

的相对误差限误差传递公式:已知测量误差限为按公式计算

y

值时的误差故y

的绝对误差限约为相对误差限约为若直接测量某量得x,例7.设测得圆钢截面的直径

测量D的

绝对误差限欲利用公式圆钢截面积,解:计算A

的绝对误差限约为

A

的相对误差限约为试估计面积的误差.计算(mm)五、小结微分学所要解决的两类问题:函数的变化率问题函数的增量问题微分的概念导数的概念求导数与微分的方法,叫做微分法.研究微分法与导数理论及其应用的科学,叫做微分学.导数与微分的联系:★★导数与微分的区别:★思考题思考题解答说法不对.

从概念上讲，微分是从求函数增量引出线性主部而得到的，导数是从函数变化率问题归纳出函数增量与自变量增量之比的极限，它们是完全不同的概念.补充题1.设函数的图形如下,试在图中标出的点处的及并说明其正负.2.5.设由方程确定,解:方程两边求微分,得当时由上式得求6.设且则7.已知求解：因为所以方程两边求微分,得已知求解：8.练习题练习题答案习题课一、导数和微分的概念及应用二、导数和微分的求法导数与微分

第二章求导法则基本公式导数联系高阶导数一、主要内容微分例1.设存在,求解:

原式=例2.若且存在,求解:原式=且联想到凑导数的定义式例3.设在处连续,且求解:例4.设试确定常数a,b

使f(x)

处处可导,并求解:得即是否为连续函数?判别:设例5.解:(1)由于因此当a>0有(2)欲使存在，只要a-1>0，即a>1，且此时(3)当a>1时，由（1）知：只须从而知a>2。例6.设由方程确定函数求解:方程组两边对t

求导,