2025届河北省正定县第三中学数学高二上期末学业质量监测试题含解析

2025届河北省正定县第三中学数学高二上期末学业质量监测试题注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．曲线在处的切线如图所示，则（）A. B.C. D.2．已知在一次降雨过程中，某地降雨量（单位：mm）与时间t（单位：min）的函数关系可表示为，则在时的瞬时降雨强度为（）mm/min.A. B.C.20 D.4003．某商场有四类食品，其中粮食类、植物油类、动物性食品类以及果蔬类分别有40种、10种、30种、20种，现从中抽取一个容量为20的样本进行食品安全检测.若采用分层抽样的方法抽取样本，则抽取的植物油类与果蔬类食品种数之和是（）A.4 B.5C.6 D.74．在正三棱锥中，，且，M，N分别为BC，AD的中点，则直线AM和CN夹角的余弦值为（）A. B.C. D.5．函数的最小值是（）A.3 B.4C.5 D.66．已知函数在处取得极值，则的极大值为（）A. B.C. D.7．函数的递增区间是（）A. B.和C. D.和8．在一次抛硬币的试验中，某同学用一枚质地均匀的硬币做了100次试验，发现正面朝上出现了48次，那么出现正面朝上的频率和概率分别为（）A.0.48，0.48 B.0.5，0.5C.0.48，0.5 D.0.5，0.489．如图，过抛物线的焦点的直线依次交抛物线及准线于点，若且，则抛物线的方程为（）A.B.C.D.10．设是可导函数，当，则（）A.2 B.C. D.11．设O为正方形ABCD的中心，在O，A，B，C，D中任取3点，则取到的3点共线的概率为（）A. B.C. D.12．设是定义在R上的可导函数，若（为常数），则（）A. B.C. D.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．在平行六面体中，点P是AC与BD的交点，若，且，则___________.14．在等差数列中，前n项和记作，若，则______15．函数的导函数___________.16．已知数列满足，，则______.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）蒙古包是蒙古族牧民居住的一种房子，建造和搬迁都很方便，适于游牧生活.其结构如图所示，上部分是侧棱长为3的正六棱锥，下部分是高为1的正六棱柱，分别为正六棱柱上底面与下底面的中心.（1）若长为，把蒙古包的体积表示为的函数；（2）求蒙古包体积的最大值.18．（12分）为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗，房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层．某幢建筑物要建造可使用20年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为6万元．该建筑物每年的能源消耗费用C（单位：万元）与隔热层厚度x（单位：cm）满足关系：C（x）=若不建隔热层，每年能源消耗费用为8万元．设f（x）为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和（Ⅰ）求k的值及f(x)的表达式（Ⅱ）隔热层修建多厚时，总费用f(x)达到最小，并求最小值19．（12分）已知函数（1）当时，求曲线在点（0，f（0））处的切线方程；（2）若存在，使得不等式成立，求m的取值范围20．（12分）已知等比数列的前n项和为，，（1）求数列的通项公式；（2）在与之间插入n个数，使这个数组成一个等差数列，记插入的这n个数之和为，求数列的前n项和21．（12分）已知命题：“，”，命题：“，”，若“且”为真命题，求实数的取值范围22．（10分）已知等差数列的前项和满足，.（1）求的通项公式；（2）求数列的前项和.

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、C【解析】由图可知切线斜率为，∴.故选：C.2、B【解析】对题设函数求导，再求时对应的导数值，即可得答案.【详解】由题设，，则，所以在时的瞬时降雨强度为mm/min.故选：B3、C【解析】按照分层抽样的定义进行抽取.【详解】按照分层抽样的定义有，粮食类：植物油类：动物性食品类：果蔬类=4:1:3:2，抽20个出来，则粮食类8个，植物油类2个，动物性食品类6个，果蔬类4个，则抽取的植物油类与果蔬类食品种数之和是6个.故选：C.4、B【解析】由题意可得两两垂直，所以以为原点，所在的直线分别为轴，建立空间直角坐标系，利用空间向量求解【详解】因为，所以两两垂直，所以以为原点，所在的直线分别为轴，建立空间直角坐标系，如图所示，因为，所以,因为M，N分别为BC，AD的中点，所以，所以，设直线AM和CN所成的角为，则,所以直线AM和CN夹角的余弦值为，故选：B5、D【解析】先判断函数的单调性，再利用其单调性求最小值【详解】由，得，因为，所以，所以在上单调递增，所以，故选：D6、B【解析】首先求出函数的导函数，依题意可得，即可求出参数的值，从而得到函数解析式，再根据导函数得到函数单调性，即可求出函数的极值点，从而求出函数的极大值；【详解】解：因为，所以，依题意可得，即，解得，所以定义域为，且，令，解得或，令解得，即在和上单调递增，在上单调递减，即在处取得极大值，在处取得极小值，所以；故选：B7、C【解析】求导后，由可解得结果.【详解】因为的定义域为，，由，得，解得，所以的递增区间为.故选：C.【点睛】本题考查了利用导数求函数的增区间，属于基础题.8、C【解析】频率跟实验次数有关，概率是一种现象的固有属性，与实验次数无关，即可得到答案.【详解】频率跟实验次数有关，出现正面朝上的频率为实验中出现正面朝上的次数除以总试验次数，故为.概率是抛硬币试验的固有属性，与实验次数无关，抛硬币正面朝上的概率为.故选：C9、D【解析】如图根据抛物线定义可知，进而推断出的值，在直角三角形中求得，进而根据，利用比例线段的性质可求得，则抛物线方程可得.【详解】如图分别过点，作准线的垂线，分别交准线于点，设，则由已知得：，由定义得：，故在直角三角形中，，，，从而得，，求得，所以抛物线的方程为故选：D10、C【解析】由导数的定义可得，即可得答案【详解】根据题意，，故.故选：C11、A【解析】列出从5个点选3个点的所有情况，再列出3点共线的情况，用古典概型的概率计算公式运算即可.【详解】如图，从5个点中任取3个有共种不同取法，3点共线只有与共2种情况，由古典概型的概率计算公式知，取到3点共线的概率为.故选：A【点晴】本题主要考查古典概型的概率计算问题，采用列举法，考查学生数学运算能力，是一道容易题.12、C【解析】根据导数的定义即可求解.【详解】.故选：C.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【解析】由向量的运算法则，求得，根据，结合向量的数量积的运算，即可求解.【详解】由题意可得，，则，故.故答案为：14、16【解析】根据等差数列前项和公式及下标和性质以及通项公式计算可得；【详解】解：因为，所以，即，所以，所以，所以；故答案为：15、【解析】利用导函数的乘法公式和复合函数求导法则进行求解【详解】故答案为：16、1023【解析】由数列递推公式求特定项，依次求下去即可解决.【详解】数列中，则，，，，，，故答案为：1023三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1），其中.（2）.【解析】（1）利用柱体和椎体体积公式求得的函数表达式.（2）利用导数求得体积的最大值.【小问1详解】正六边形的边长（0），底面积，于是，其中.【小问2详解】，，当时，单调递增，当时，单调递减，所以当时，.综上，当时，蒙古包体积最大，且最大体积为.18、，因此.,当隔热层修建厚时，总费用达到最小值70万元【解析】解：（Ⅰ）设隔热层厚度为，由题设，每年能源消耗费用为.再由，得，因此.而建造费用为最后得隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和为（Ⅱ），令，即.解得，（舍去）当时，，当时，，故是的最小值点，对应的最小值为当隔热层修建厚时，总费用达到最小值为70万元19、（1）（2）【解析】（1）利用导数求出切线斜率，即可求出切线方程；（2）把题意转化为：存在，使得不等式成立，构造新函数，对m进行分类讨论，利用导数求，解不等式，即可求出m的范围.【小问1详解】当时，,定义域为R，.所以，.所以曲线在点（0，f（0））处的切线方程为：，即.【小问2详解】不等式可化为：，即存在，使得不等式成立.构造函数，则.①当时，恒成立，故在上单调递增，故，解得：，故；②当时，令，解得：令，解得：故在上单调递减，在上单调递增，又，故，解得：，这与相矛盾，舍去；③当时，恒成立，故在上单调递减，故，不符合题意，应舍去.综上所述：m的取值范围为：.20、（1）；（2）【解析】(1)设等比数列公比为q，利用与关系可求q，在中令n＝1可求；(2)根据等差数列前n项和公式可求，分析{}的通项公式，利用错位相减法求其前n项和.【小问1详解】设等比数列的公比为q，由己知，可得，两式相减可得，即，整理得，可知，已知，令，得，即，解得，故等比数列的通项公式为；【小问2详解】由题意知在与之间插入n个数，这个数组成以为首项的等差数列，∴，设{}前n项和为，①①×3：②①－②：21、或【解析】先分别求出，为真时，的范围；再求交集，即可得出结果.【详解】若是真命题．则对任意