2025届山东省新高二数学第一学期期末考试模拟试题含解析

2025届山东省新高二数学第一学期期末考试模拟试题请考生注意：1．请用2B铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。写在试题卷、草稿纸上均无效。2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．2020年12月4日，嫦娥五号探测器在月球表面第一次动态展示国旗.1949年公布的《国旗制法说明》中就五星的位置规定：大五角星有一个角尖正向上方，四颗小五角星均各有一个角尖正对大五角星的中心点.有人发现，第三颗小星的姿态与大星相近.为便于研究，如图，以大星的中心点为原点，建立直角坐标系，，，，分别是大星中心点与四颗小星中心点的联结线，，则第三颗小星的一条边AB所在直线的倾斜角约为（）A. B.C. D.2．已知a、b是两条不同的直线，α、β、γ是三个不同的平面，则下列命题正确的是（）A.若a∥α，a∥b，则b∥α B.若a∥α，a∥β，则α∥βC.若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β D.若a⊥α，b⊥α，则a∥b3．已知命题：，命题：，则是的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件4．函数的图像大致是（）A B.C. D.5．已知，则下列不等式一定成立的是（）A. B.C. D.6．在某次赛车中，名参赛选手的成绩（单位：）全部介于到之间（包括和），将比赛成绩分为五组：第一组，第二组，···，第五组，其频率分布直方图如图所示.若成绩在内的选手可获奖，则这名选手中获奖的人数为A. B.C. D.7．命题“，”的否定为（）A.， B.，C.， D.，8．抛物线y＝4x2的焦点坐标是（）A.（0，1） B.（1，0）C. D.9．曲线在处的切线如图所示，则（）A.0 B.C. D.10．等差数列x，，，…的第四项为()A.5 B.6C.7 D.811．已知，记M到x轴的距离为a，到y轴的距离为b，到z轴的距离为c，则（）A. B.C. D.12．在等差数列中，，，则使数列的前n项和成立的最大正整数n=（）A.2021 B.2022C.4041 D.4042二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．命题“若，则”的否命题为______14．古希腊著名数学家阿波罗尼斯与欧几里得、阿基米德齐名.他发现：“平面内到两个定点A、B的距离之比为定值（且）的点的轨迹是圆”.后来人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆，在平面直角坐标系中，，，点满足，则点P的轨迹方程为__________.（答案写成标准方程），的最小值为___________.15．已知抛物线的准线方程为，则________16．已知空间向量，，且，则值为______三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）已知抛物线C：上有一动点，，过点P作抛物线C的切线交y轴于点Q（1）判断线段PQ的垂直平分线是否过定点？若过，求出定点坐标；若不过，请说明理由；（2）过点P作垂线交抛物线C于另一点M，若切线的斜率为k，设的面积为S，求的最小值18．（12分）某电脑公司为调查旗下A品牌电脑的使用情况，随机抽取200名用户，根据不同年龄段（单位：岁）统计如下表：分组频率/组距0.010.040.070.060.02（1）根据上表，试估计样本的中位数、平均数（同一组数据以该组区间的中点值为代表，结果精确到0.1）；（2）按照年龄段从内的用户中进行分层抽样，抽取6人，再从中随机选取2人赠送小礼品，求恰有1人在内的概率19．（12分）已知等差数列满足（1）求的通项公式；（2）设，求数列的前n项和20．（12分）已知函数，.（1）当时，求不等式的解集；（2）若在上恒成立，求取值范围.21．（12分）如图，一个湖的边界是圆心为的圆，湖的一侧有一条直线型公路，湖上有桥（是圆的直径）.规划在公路上选两个点、，并修建两段直线型道路、.规划要求，线段、上的所有点到点的距离均不小于圆的半径.已知点到直线的距离分别为和（为垂足），测得，，（单位：百米）.（1）若道路与桥垂直，求道路的长；（2）在规划要求下，点能否选在处？并说明理由.22．（10分）已知等差数列中，首项，公差，且数列的前项和为（1）求和；（2）设，求数列的前项和

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、C【解析】由五角星的内角为，可知，又平分第三颗小星的一个角，过作轴平行线，则，即可求出直线的倾斜角.【详解】都为五角星的中心点，平分第三颗小星的一个角，又五角星的内角为，可知，过作轴平行线，则，所以直线的倾斜角为，故选：C【点睛】关键点点睛：本题考查直线倾斜角，解题的关键是通过做辅助线找到直线的倾斜角，通过几何关系求出倾斜角，考查学生的数形结合思想，属于基础题.2、D【解析】根据空间线、面的位置关系有关定理，对四个选项逐一分析排除，由此得出正确选项.【详解】对于A选项，直线有可能平面内，故A选项错误.对于B选项，两个平面有可能相交，平行于它们的交线，故B选项错误.对于C选项，可能相交，故C选项错误.根据线面垂直的性质定理可知D选项正确.故选:D.3、B【解析】利用充分条件和必要条件的定义判断.【详解】因为命题：或，命题：，所以是的必要不充分条件，故选：B4、B【解析】由函数有两个零点排除选项A，C；再借助导数探讨函数的单调性与极值情况即可判断作答.【详解】由得，或，选项A，C不满足；由求导得，当或时，，当时，，于是得在和上都单调递增，在上单调递减，在处取极大值，在处取极小值，D不满足，B满足.故选：B5、B【解析】运用不等式的性质及举反例的方法可求解.详解】对于A，如，满足条件，但不成立，故A不正确；对于B，因为，所以，所以，故B正确；对于C，因为，所以，所以不成立，故C不正确；对于D，因为，所以，所以，故D不正确.故选：B6、A【解析】先根据频率分布直方图确定成绩在内的频率，进而可求出结果.【详解】由题意可得：成绩在内的频率为，又本次赛车中，共名参赛选手，所以，这名选手中获奖的人数为.故选A【点睛】本题主要考查频率分布直方图，会根据频率分布直方图求频率即可，属于常考题型.7、A【解析】利用含有一个量词的命题的否定的定义求解.【详解】因为命题“，”是全称量词命题，所以其否定是存在量词命题，即为，，故选：A8、C【解析】将抛物线方程化为标准方程，由此可抛物线的焦点坐标得选项.【详解】解：将抛物线y＝4x2的化为标准方程为x2＝y，p＝，开口向上，焦点在y轴的正半轴上，故焦点坐标为（0，）.故选：C9、C【解析】由图示求出直线方程，然后求出，，即可求解.【详解】由直线经过，，可求出直线方程为：∵在处的切线∴，∴故选：C【点睛】用导数求切线方程常见类型：(1)在出的切线：为切点，直接写出切线方程：；(2)过出的切线：不是切点，先设切点，联立方程组，求出切点坐标，再写出切线方程：.10、A【解析】根据等差数列的定义求出x，求出公差，即可求出第四项.【详解】由题可知，等差数列公差d＝(x＋2)－x＝2，故3x＋6＝x＋2＋2，故x＝－1，故第四项为－1＋(4－1)×2＝5.故选：A.11、C【解析】分别求出点M在x轴，y轴，z轴上的投影点的坐标，再借助空间两点间距离公式计算作答.【详解】设点M在x轴上的投影点，则，而x轴的方向向量，由得：，解得，则，设点M在y轴上的投影点，则，而y轴的方向向量，由得：，解得，则，设点M在z轴上的投影点，则，而z轴的方向向量，由得：，解得，则，所以.故选：C12、C【解析】根据等差数列的性质易得，，再应用等差数列前n项和公式及等差中项、下标和的性质可得、，即可确定答案.【详解】因为是等差数列且，，所以，，.故选：C.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、若，则【解析】否命题是对命题的条件和结论同时否定，同时否定和即可.命题“若，则”的否命题为:若，则考点：四种命题.14、①.②.【解析】设点P坐标，然后用直接法可求；根据轨迹方程和数量积的坐标表示对化简，结合轨迹方程可得x的范围，然后可解.【详解】设P点坐标为，则由，得，化简得，即.因为，所以因为点P在圆上，故所以，故的最小值为.故答案为：，15、【解析】由准线方程的表达式构建方程，求得答案.【详解】因为准线方程为，所以故答案为：4【点睛】本题考查抛物线中准线的方程表示，属于基础题.16、【解析】利用向量的坐标运算及向量数量积的坐标表示即求.【详解】由题意，空间向量，可得，所以，解得.故答案为：.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）线段的垂直平分线过定点（2）【解析】（1）设切线的方程为，并与抛物线方程联立，利用判别式求得点坐标，进而求得点坐标，从而求得线段的垂直平分线的方程，进而求得定点坐标.（2）结合弦长公式求得的面积，利用基本不等式求得的最小值.【小问1详解】依题意可知切线的斜率存在，且斜率大于.设直线PQ的方程为，.由消去并化简得，由得，，则，解得，所以，在中，令得，所以，PQ中点为，所以线段PQ的中垂线方程为，即，所以线段的垂直平分线过定点.【小问2详解】由（1）可知，直线PM的方程为，即.由消去并化简得：，所以，而，所以得，，，.所以的面积，所以.当且仅当时等号成立.所以的最小值为.18、（1）中位数为38.6，平均数为38.5岁；（2）.【解析】（1）由中位数分数据两边的频率相等，列方程求中位数；根据各组数据的中点数乘以频率即可得平均数；（2）由分层抽样确定从中各抽4人、2人，列举出随机选取2人的所有组合，得到恰有1人在的组合数，即可求概率.【详解】（1）中位数在中，设为，则，解得.平均数为岁.所以样本的中位数约为38.6，平均数为38.5岁.（2）根据分层抽样法，其中位于中的有4人，记为，，，；位于中的有2人，记为，.从6人中抽取2人，有，，，，，，，，，，，，，，，共15种情况，恰有1人在内的有，，，，，，，，共8种情况，∴恰有1人在内的概率为.【点睛】关键点点睛：由中位数的性质以及平均数与各组数据中点值、频率的关系求中位数、平均数；根据分层抽样确定各组选取人数，利用列举法求概率.19、（1）（2）【解析】（1）设等差数列的公差为d，由题意得列出方程组，可求得的值，代入公式，即可得答案.（2）由（1）可得，利用等比数列的定义，可证数列为等比数列，结合前n项和公式，即可得答案.【小问1详解】设等差数列的公差为d，由题意得，解得，所以通项公式【小问2详解】由（1）可得，，又，所以数列是以4为首项，4为公比的等比数列，所以20、（1）或；（2）.【解析】（1）解不含参数的一元二次不等式即可求出结果；（2）二次函数的恒成立问题需要对二次项系数是否为0进行分类讨论，即可求出结果.【详解】（1）当时，，即，解得或，所以，解集为或.（2）因为在上恒成立，①当时，恒成立；②当时，，解得，综上，的取值范围为.21、（1）15（百米）（2）点选在处不满足规划要求，理由见解析【解析】（1）建立适当的坐标系，得圆及直线的方程，进而得解.（2）不妨点选在处，求方程并求其与圆的交点，在线段上取点不符合条件，得结论.【小问1详解】如图，过作，垂足为.以为坐标原点，直线为轴，建立平面直角坐标系.因为为圆的直径，，所以圆的方程为.因为，，所以，故直线的方程为，则点，的纵坐标分别为3，从而，，直线的斜率