福建省漳州市龙海市程溪中学2025届数学高二上期末达标检测试题含解析

福建省漳州市龙海市程溪中学2025届数学高二上期末达标检测试题考生须知：1．全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。2．请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。3．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．2021年小林大学毕业后，9月1日开始工作，他决定给自己开一张储蓄银行卡，每月的10号存钱至该银行卡（假设当天存钱次日到账）.2021年9月10日他给卡上存入1元，以后每月存的钱数比上个月多一倍，则他这张银行卡账上存钱总额（不含银行利息）首次达到1万元的时间为（）A.2022年12月11日 B.2022年11月11日C.2022年10月11日 D.2022年9月11日2．如图是一个程序框图，执行该程序框图，则输出的n值是（）A.2 B.3C.4 D.53．是数列，，，－17，中的第几项()A第项 B.第项C.第项 D.第项4．用反证法证明命题“a，b∈N，如果ab可以被5整除，那么a，b至少有1个能被5整除．”假设内容是()A.a，b都能被5整除 B.a，b都不能被5整除C.a不能被5整除 D.a，b有1个不能被5整除5．已知等差数列的前项和为，，，则（）A. B.C. D.6．已知双曲线的一条渐近线方程为，且与椭圆有公共焦点.则C的方程为（）A. B.C. D.7．变量，之间有如下对应数据：3456713111087已知变量与呈线性相关关系，且回归方程为，则的值是（）A.2.3 B.2.5C.17.1 D.17.38．在棱长为1的正方体中，为的中点，则点到直线的距离为（）A. B.1C. D.9．若展开式的二项式系数之和为，则展开式的常数项为（）A. B.C. D.10．某综合实践小组设计了一个“双曲线型花瓶”.他们的设计思路是将某双曲线的一部分（图1中A，C之间的曲线）绕其虚轴所在直线l旋转一周，得到花瓶的侧面，花瓶底部是平整的圆面，如图2.该小组给出了图1中的相关数据：，，，，，其中B是双曲线的一个顶点.小组中甲、乙、丙、丁四位同学分别用不同的方法估算了该花瓶的容积（忽略瓶壁和底部的厚度），结果如下表所示学生甲乙丙丁估算结果（）其中估算结果最接近花瓶的容积的同学是（）（参考公式：，，）A.甲 B.乙C.丙 D.丁11．已知抛物线x2＝4y上有一条长为6的动弦AB，则AB的中点到x轴的最短距离为()A. B.C.1 D.212．在等差数列{an}中，已知a1＝2，a2+a3＝13，则a4+a5+a6等于（）A.40 B.42C.43 D.45二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．如图①，用一个平面去截圆锥，得到的截口曲线是椭圆.许多人从纯几何的角度出发对这个问题进行过研究，其中比利时数学家（1794-1847）的方法非常巧妙，极具创造性.在圆锥内放两个大小不同的球，使得它们分别与圆锥的侧面，截面相切，两个球分别与截面相切于，在截口曲线上任取一点，过作圆锥的母线，分别与两个球相切于，由球和圆的几何性质，可以知道，，于是.由的产生方法可知，它们之间的距离是定值，由椭圆定义可知，截口曲线是以为焦点的椭圆.如图②，一个半径为2的球放在桌面上，桌面上方有一个点光源，则球在桌面上的投影是椭圆.已知是椭圆的长轴，垂直于桌面且与球相切，，则椭圆的离心率为___________.14．抛物线的焦点坐标是______.15．已知过点作抛物线的两条切线，切点分别为A，B，直线AB经过抛物线C的焦点F，则___________16．已知函数，则满足实数的取值范围是__三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）已知椭圆的离心率为，以坐标原点为圆心，以椭圆M的短半轴长为半径的圆与直线有且只有一个公共点（1）求椭圆M的标准方程；（2）过椭圆M的右焦点F的直线交椭圆M于A，B两点，过F且垂直于直线的直线交椭圆M于C，D两点，则是否存在实数使成立？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由18．（12分）如图1，已知矩形ABCD，，，E，F分别为AB，CD的中点，将ABCD卷成一个圆柱，使得BC与AD重合（如图2），MNGH为圆柱的轴截面，且平面平面MNGH，NG与曲线DE交于点P（1）证明：平面平面MNGH；（2）判断平面PAE与平面PDH夹角与的大小，并说明理由19．（12分）已知圆的圆心在直线上，且经过点和.（1）求圆的标准方程；（2）若过点且斜率存在的直线与圆交于，两点，且，求直线的方程.20．（12分）已知等差数列的前n项和为，且.（1）求数列的通项公式及；（2）设，求数列的前n项和.21．（12分）如图，在四棱锥中，平面，是等边三角形.（1）证明：平面平面.（2）求点到平面的距离.22．（10分）在矩形中，是的中点，是上，，且，如图，将沿折起至：（1）指出二面角的平面角，并说明理由；（2）若，求证：平面平面；（3）若是线段的中点，求证：直线平面；

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、C【解析】分析可得每月所存钱数依次成首项为1，公比为2的等比数列，其前n项和为，分析首次达到1万元的值，即得解【详解】依题意可知，小林从第一个月开始，每月所存钱数依次成首项为1，公比为2的等比数列，其前n项和为.因为为增函数，且，所以第14个月的10号存完钱后，他这张银行卡账上存钱总额首次达到1万元，即2022年10月11日他这张银行卡账上存钱总额首次达到1万元.故选：C2、B【解析】程序框图中的循环结构，一般需重复计算，根据判断框中的条件，确定何时终止循环，输出结果.【详解】初始值：，当时，，进入循环；当时，，进入循环；当时，，终止循环，输出的值为3.故选：B3、C【解析】利用等差数列的通项公式即可求解【详解】设数列，，，，是首项为，公差d＝－4的等差数列{}，，令，得故选：C4、B【解析】由于反证法是命题的否定的一个运用，故用反证法证明命题时，可以设其否定成立进行推证．命题“a，b∈N，如果ab可被5整除，那么a，b至少有1个能被5整除．”的否定是“a，b都不能被5整除”考点：反证法5、C【解析】利用已知条件求得，由此求得.【详解】依题意，解得，所以.故选：C【点睛】本小题主要考查等差数列的通项公式和前项和公式，属于基础题.6、B【解析】根据已知和渐近线方程可得，双曲线焦距，结合的关系，即可求出结论.【详解】因为双曲线的一条渐近线方程为，则①.又因为椭圆与双曲线有公共焦点，双曲线的焦距，即c＝3，则a2＋b2＝c2＝9②.由①②解得a＝2，b＝，则双曲线C的方程为.故选：B.7、D【解析】将样本中心点代入回归方程后求解【详解】，，将样本中心点代入回归方程，得故选：D8、B【解析】建立空间直角坐标系，利用空间向量点到直线的距离公式进行求解即可【详解】建立如图所示的空间直角坐标系，由已知，得，，，，，所以在上的投影为，所以点到直线的距离为故选：B9、C【解析】利用二项式系数的性质求得的值，再利用二项式展开式的通项公式，求得结果即可.【详解】解：因为展开式的二项式系数之和为，则，所以，令，求得，所以展开式的常数项为.故选：C.10、D【解析】根据几何体可分割为圆柱和曲边圆锥，利用圆柱和圆锥的体积公式对几何体的体积进行估计即可.【详解】可将几何体看作一个以为半径，高为的圆柱，再加上两个曲边圆锥，其中底面半径分别为，，高分别为,,,,所以花瓶的容积，故最接近的是丁同学的估算，故选：D11、D【解析】由题意知，抛物线的准线l：y＝－1，过A作AA1⊥l于A1，过B作BB1⊥l于B1，设弦AB的中点为M，过M作MM1⊥l于M1.则|MM1|＝.|AB|≤|AF|＋|BF|(F为抛物线的焦点)，即|AF|＋|BF|≥6，|AA1|＋|BB1|≥6,2|MM1|≥6，|MM1|≥3，故M到x轴的距离d≥2.12、B【解析】根据已知求出公差即可得出.【详解】设等差数列的公差为，因为，，所以，则.故选：B.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、##0.5【解析】利用球与圆锥相切，得出截面，在平面图形中求解，以及圆锥曲线的来源来理解切点为椭圆的一个焦点，求出，得出离心率.【详解】设球切于，切于E，，球半径为2，所以，，∴，又中，，，故椭圆长轴长为,,根据椭圆在圆锥中截面与二球相切的切点为椭圆的焦点知：球O与相切的切点为椭圆的一个焦点，且，，椭圆的离心率为.故答案：.14、【解析】将抛物线的方程化为标准形式，即可求解出焦点坐标.【详解】因为抛物线方程，焦点坐标为，且，所以焦点坐标为，故答案为：.15、【解析】设出点的坐标，与抛物线方程联立，结合题意和韦达定理，求得抛物线的方程为，直线AB的方程为，进而求得的值.【详解】设，在抛物线，过切点A与抛物线相切的直线的斜率为，则以为切点的切线方程为，联立方程组，整理得，则，整理得，所以，解得，所以以为切点的切线方程为，即，同理，设，在抛物线，过切点B与抛物线相切的直线，又因为在切线和，所以，所以直线AB的方程为，又直线AB过抛物线的焦点，所以令，可得，即，所以抛物线的方程为，直线AB的方程为，联立方程组，整理得或，所以，所以.故答案为：.16、【解析】分别对，分别大于1，等于1，小于1的讨论，即可.【详解】对，分别大于1，等于1，小于1的讨论，当,解得当，不存在，当时，，解得，故x的范围为点睛】本道题考查了分段函数问题，分类讨论，即可，难度中等三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）（2）存在，【解析】（1）求出后可得椭圆的标准方程.（2）设直线，联立直线方程和椭圆方程，消元后利用韦达定理可用表示，从而可求的值.【小问1详解】据题意，得，∴，∴所求椭圆M的标准方程为【小问2详解】据（1）求解知，点F坐标为若直线的斜率存在，且不等于0，设直线据得设，则，∴同理可求知，∴，∴，即此时存满足题设；若直线的斜率不存在，则；若直线的斜率为0，则，此时若，则综上，存在实数，且使18、（1）证明见解析（2）平面PAE与平面PDH夹角大于，理由见解析【解析】（1）由面面垂直证明，然后得证平面MNGH后可得面面垂直；（2）建立如图所示的空间直角坐标系，用空间向量法求出二面角的余弦可得结论【小问1详解】如图O，为圆柱上，下底面的中心，可知，，平面平面MNGH，所以是二面角的平面角，平面平面MNGH，所以，即，，平面MNGH，所以平面MNGH，因为平面PAE，所以平面平面MNGH；【小问2详解】因为，所以得，如图，以为坐标原点，以，,所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，则可知，，，，，则，，，，设平面AEP的法向量为，则，令，得，设平面DHP的法向量为，则，即令，得，，设平面PAE与平面PDH夹角为，则，，因为，即，所以平面PAE与平面PDH夹角大于19、（1）（2）【解析】（1）设圆心，由题意得，，结合两点间的距离公式求解的值，则圆心与半径可求，圆的方程可求；（2）若直线的斜率不存在，设直线的方程为，符合题意，若直线的斜率存在，设直线方程为，即，由圆心到直线的距离与半径关系求得，则直线方程可求【小问1详解】解：（1）设圆心，由题意得，，，解得.圆心坐标为，半径.则圆的方程为；【小问2详解】解：（2）直线的斜率存在时，设直线的方程为，即，，圆心到直线的距离，即，解得，得直线的方程为.20、（1）（2）【解析】（1）设等差数列的公差为，根据已知条件可得出关于、的方程组，解出这两个量的值，利用等差数列的通项公式可求得数列的通项公式，利用等差数列前n项和公式求出；（2）求得，利用裂项相消法即可求得.【小问1详解】设等差数列的公差为，由，解得，所以，故数列的通项公式，；【小问2详解】由（1）可得，所以，所以.21、（1）证明见解析；（2）.【解析】（1）根据等边三角形的性质、线面垂直的性质，结合面面垂直的判定定理进行证明即可；（2）利用余弦定理，结合三棱锥的等积性进行求解即可.【小问1详解】证明：设，因为是等边三角形，且，所以是的中点，则.又，所以，所以，即.又平面平面，所以.又，所以平面.因为平面，所以平面平面.【小问2详解】解